В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 60
Текст из файла (страница 60)
270 Глава 9. Самоподобный график 5(и) = ~~~, гг(й)е зы з(0) = ~1~ Я(lг). 2-- ы- ной, деленной на т. Однако благодаря инерционности статистических характери. стик во времени для самоподобного процесса агрегаг[ия с коэффициентом гп — зго не то же самое, что вычисление выборочного среднего при размере выборки пг Теперь мы перейдем к рассмотреник> двух понятий„относяшихся к самоподобню.
долгосрочной зависимости и медленно затухающих распределений (распределе ний с «тяжелыми хвостамиь). В действительности эти два понятия никак не свя завы ни друг с другом, ни с самоподобием. Однако все три понятия можно найти в литературе по самоподобному трафику, что может запутать случайнопз читателя Долгосрочная зависимость Определение долгосрочной зависимости основывается на поведении функции автоковариации' С(т) стационарного процесса при увеличении т. Для многих процессов с ростом т автоковариация быстро уменьшается. Например, для пуассоновского инкрементного процесса с прирашепием А и средним значением ) (определения см.
в разделе 73) автоковариация для значений т > А равна (см. формулу (7,5)) С(т) = Л(т) — Х2 = ).2 — ).2 = О. В общем, крапгкосрочиа зависимый (зЬозт-гапй г)ерепг)епт) процесс удовлетворяет условию, заключающемуся в том, что его автоковариация убывает по меньшей мере так же быстро, как экспонента: С( г) - а" при ٠— «», 0 < а < 1. Здесь символ - гьзначает, что обе части формулы асимптотически пропорциональны друг другу. В моделях трафика данных, рассматриваемых в литературе, как правило, используются только краткосрочно зависимые процессьь Глядя на следующее соотношение, можно заметить, что для краткосрочно зависимого процесса сумма Х2С(и) является конечной: У долгосрочно зависимого (1опя-гапй с1ерепйепг) процесса, напротив, автоковариация убывает гиперболически: С(А) - у()-р при ٠— «, 0 < р < 1.
Здесь р — тот же параметр, который был определен ранее и который связан с параметром Херста как Н = 1 — ())/2). В этом случае Г«С(72) = Обратите внимание на то, что услоние 0 < р < 1 в формуле (9.3) эквивалентно условию 0,5 < Н < 1. Ранее мы отмечали, что процесс может быть самоподобным ' Некоторые свойства как с амоподобиаго, так и долгосрочно завигим ого процесса могут быть вираже ны при поь2огци функции автокарреляции я(т), тогда как другие свойства лучп~е нсего описываются функцией автоковариации С(т) - я(т) — Пг, глс П - Е(я(г)1.
К сажатению, в литературе по самоподаб ному графику термин аваюкорреляция (аатасогге!атюп) иногда используется для обозначения аалю. каваряаямя (аогосочапансе),а иногда для обозначения ногьяаляззааягюйаетакааарялама(попнайтеб апгасочапапсе), называемой (см. г)юрл2улу (7 4)) козл Фячаеюлоч корреляции (саггеьпов сое(бысвс). Читателю следует быть осто(юягныь~ в зтих случаях. 9.2 Самоподобный график данных 271 при значении Н= 0,5. Для долгосрочной зависимости мы должны иметь Н ъ 0,5 так что процесс броуновского движения является самоподобным. но не долгосрочно зависимым.
Существуют также стохастические процессы, являюшиеся долгосрочно зависимыми, но не самоподобными. Однако в интересуюших нас случаях самоподобного трафика данных самоподобие подразумевает долгосрочную зависимостгч и наоборот 1175]. Таким образом, эти два понятия часто взаимозаменяемы. Долгосрочная зависшность интуитивно отражает явление инерционности в само- подобных процессах, а именно существование кластеризации и непостоянство ' характеристик во всех временных масштабах. Спектральная плотность Эквивалентная г)юрмулировка долгосрочной зависимости может быть выражена в терминах частотьь В частности, плотность спектра мощности около начала координат подчиняется закону мощности; 1 Я(ге) — — при ге — ь, 0 < у < 1, ! !" Как было показано в разделе 7.3, спектральная плотность дискретного во времени стохастического процесса определяется следукнцим образом: Можно показать, что у = 1 — ~3 = 2Н вЂ” 1.
Краткосрочно зависимый процесс, напротив, характеризуется спектральной плотностькь остающейся конечной при ге — з . Это происходит при у = О, или, что то же самое, при И= 0,5, Применительно к функции автокорреляции Я(0) принимает бесконечные значения, если функция А(72) не убывает достаточно быстро для больших й.
Медленно затухающие распределения Другой концеппией, связанной с самоподобием, являются медленно затухающие распределения, или распределения с «тяжелыми хвостам иь (Ьеауу-га(1ес) г) 1згпЬц(1опз). По существу, самоподобный стохзстический процесс можно определить при помощи таких распределений, причем подобный класс процессов подразумевает больше, чем предыдушие формулировки. Одно из достоинств подхода медленно затухаюших распределений заключается в том, что он позволяет получить управляемые модели. В данном подразделе мы представим краткий обзор данной темы.
Медленно затухакнцие распределения могут использоваться для представления плотностей вероятностей, описывающих процессы передачи данных, такие как интервалы между поступлениями пакетов и продолжительности пакетов. Говорят, что распределение случайной переменной Х медленно затухает, если 1 1 — Р(х) = Рг(Х ) х) - — „при х -+, 0 < о. х" В целом, случайная переменная с медленно затухаюшим распределением облада.
ет бесконечной дисперсией и, возможно, бесконечным средним значением. Случай- 272 Глава Я. Самоподобный график Ях) = —— 1 /гт Цх) = 1 — — (х > А; а > 0); ~х~ Е1Х1 = — й (а > 1). а — 1 Трафик сетей ЕМзегпеФ 10с 10 — з 10-2 10 з 1О 10 40 ная переменная с медленно затухающим распределением может принимать очень большие значения с вероятностью, которой нельзя пренебречь. Как правило, если производится выборка такой случайной переменной, будет получено мнсскество от носительно малых значений, хотя некоторые значения будут относительно велики Самым простым медленно затухающим распределением является распределе ние Парето (Раге1о) с параметрами и и и (/г, а < О) и следующими функциями плот ности, распределения вероятностей и среднего значения 7(х) =Е(х) =0 (х</г); Рис. 9.4.
Функции Парето и вксппненцивльнпй плотности вероятностей Параметр /г определяет минимальное значение, которое может принимать случайная переменная. Параметр а определяет среднее значение и дисперсию случайной переменной. Если а < 2, тогда распределение обладает бесконечной дисперсией, а если и < 1, тогда распределение обладает бесконечными средним значением и дисперсией. На рис. 9.4 сравниваются Функции распределения Парето и экспо- й ненциальной плотности вероятностей, представленные в полулогарифмическок ~в 9.3. Примеры самоподобного графика 272 масшта е.
штабе. Обратите внимание на то, что в подобном масштабе 4>ункция экспоненциально иальной плотности вероятностей представляет собой прямую линию, Хвост распределе еделения Парето убывает значительно медленнее, чем у экспоненциального расщ ас., еления. Отсюда и термин тлзкелый хвосгп (Ьеауу га11). р определение Парето можно наблюдать в широком спектре социальных и саспред лзизических явлений, а также в области передачи данных. Краткое обсуждение эгон темы мо й темы можно натьти в (1701 В 117я у опред определенных сетевых переменных (например, размеров файлов и длитсльностисое и соединений) является основной причиной долгосрочной зависимости и само- подобия сетевого трафика.
9.3. Примеры самоподобного трафика С 1993 г. множество исследований, о которых сообщается в литературе; показало, что тип графика данных в широком спектре сетевых ситуаций реального мира хо- рошо моделируется самоподобными процессами. Данный раздел содержит отрыв- ки из этих статей, а также проливает свет на причины самоподобия. Множество плодотворных идей, касающихся темы самоподобного трафика, содержится в статье 11431, впоследствии исправленной и дополненной 11441.
Хотя в некоторых предшествующих статьях описывалось поведение трафика данных, хорошо описываемого самоподобными процессами, однако в них не вводилось ключевое в данном случае понятие самоподобия'. Эта статья разрушила иллюзию о том, что анализ очередей с использованием предположения о пуассоновском потоке представляет собой адекватную модель сетевого графика. Опираясь на большое количество исходных данных и тщательный статистический анализ, статья утверждает, что для трафика в локальных сетях ЕгЬегпес требуется новый метод моделирования и анализа. Эта статья вызвала поток исследовательских работ по данному вопросу. Месяц за месяцем появлялись новые статьи, подтверждавшие наличие самоподоб ия у графиков других типов. В оригинальной статье сообщается о результатах детальных измерений графика в сетях Е1Ьегпец выполненных между 1989 и 1992 1т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
