В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Рассмотрим все три ранее перечисленных условия самоподобия. + По определению, Е[В(с)] = О. Поэтому Е[В(аг)1 = О, таким образом, Е[В(Г)1 = = Е[В(аг)1/ае з, что удовлетворяет первому условию. + В разделе 7 3 мы видели, что уаг[В(г)] = г. Следовательно, уаг[В(иг)] = пг= = пЪ'аг[В(г)], что удовлетворяет второму условию. Нелрерывиый ва времеви стахастическии црацес< — зта такой стахастичес И" ическИП црацесс, в катарам вреьы Г изменяется Иелрерывва, тогда как дисктюзиый ва времеви стахастичес кий а гцссс — вта стахастический процесс, в котором переменная времеви Г ариаимает талька Ли ре ск тиые зизченйя Чта тема обсуждалась в разделе 7.3. ати понятия стаиуз яснее из паследуюыега абсужлеаия.
Более цалрабиа аарамегр и агюужлычея в ааклкэгеиии к этой главе. 266 Глава9. Самаподобныйтрафнк 9.2, Самоподобный трафнкданных 267 х Рг[В(»+ Ь) — В(г) <х) = ] е ' ' рггу, ~Г2тй (9.1) По мере продвижения по оси г функция увеличивается и уменьшается на случайную величину за любой интервал времени. Эта величина определяется тем, в каком масштабе вы рассматриваете функцию. Интеграл в уравнении (9.1) указывает на то, что при рассмотрении все меньших интервалов времени изменения функции становятся также все меньше. При рассмотрении меньших интервалов времени обнаруживаются шаблоны, сходные с шаблонами, соответствук>шими поведению функции на больших интервалах, рассматриваемых с меньшим разрешением.
Другими словами, процесс В(») является самаподобным. Процесс дробного броуновского движения Процесс дробного броуновского движения (Ргас»1опа[ Вго>ипаш Моиоп, РВМ) представляет собой важный вариант процесса броуновского движения. Детальное рассмотрение этого процесса выходит за рамки данного обсуждения, однако краткое введение будет полезным, так как процесс РВМ часто используется при анализе самоподобного графика данных.
По сугцеству, процесс РВМ получается из процесса броуновского движения при ослаблении требования к независимости приращений. Существует несколько равноценных определений процесса РВМ. Эдесь мы будем следовать определению из [78). Процесс дробного броуновского движения Вн(») с параметром Херста Н (О < Н < 1) может быть определен следующим способом: + Функция Ви(г) непрерывна. + Вн(О)=0. + Для любых г> 0 и Ь> 0 прирашение В„(»+ Ь) — Вн(г) подчиняется нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией Ьхг( Таким образом, х Рг[В>>(г+ Ь) — Вн(г) <х] = ]г е н >'>и г»У.
1'2 82» (9.2) Обратите внимание на то, что формула (9 2) при Н = О 5 приводится к форму ле (9,1). Кроме того, для Н= 0,5 можно показать, что процесс РВМ обладает независимыми приращениями и поэтому действительно представляет собой процесс броуновского движения. Теперь мы покажем, что процесс ГВМ удовлетворяет трем условиям самоподабного процесса, перечисленным в начале этого подраздела. Во-первых, если в формуле (9.2) мы будем использовать интервал, начинающий ся в Вн(0), и вспомним, что Вн(О) = О, то увидшн, что Ви(г) подчиняется нормальном) + Опять же, в разделе 73 было показано, что Вн(г, х) = пап[», х).
Следовательно, Вн(цг, цх) = ш1п[цг, цх] = и пни[», х] = ц Ан(г, х)„что удовлетворяет третье му условию. Несложно принести аргумент в пользу самоподобия процесса броуновского движения. Вспомним, что для любых значений г > О и Ь > 0 прирашение процесса броуновского движения В(г+ Ь) — В(г) распределено нормально со средним значением О и дисперсией Ь. Таким образом, распределению со средним значением 0 н дисперсией гх".
Таким образом, мы получим ЦВ»(г)] = О. Следовательно, Е[В»(цг)] = О, и поэтому Е[В»(г)] = Е[В»(ц»)]/ци, чтоудавлетворяет первому условию. Во-вторых, Чаг[В»(г)) = г>г( Поэтому >>а»[В»(цг)] = (цг)ги = (ц)'н Ъ аг[Вня], что удг>в>тетваряет второму условию. Прежде чем перейти к рассмотрению третьего условия, пам нужно получить автг>корреляцию Вн(г), выраженную как Ахи (г, х) = Е[В»(г)В»(х)]. Эту величину можно получить следуюшим образом. Сначала, отметим, что Е[(В»Я вЂ” Вн(х))'] = ЦВ'»Я + В'н(х) — 2В»(г)В»(х)]. Преобразуя это равенство, получим Е[В»ЯВи(х)) = — (ЦВ'г>(г)) + Е[В'и(з)] — Е[(В»(г) — Ви(х))')) = 1 2 = — (1»а»[В»(»)) + Ъ аг[В»(х)) — Ъ'аг[Вн(г) — Вн(х))) = 1 2 (гки .> хги )» й>>г) 1 2 Опять же, при Н = О 5 эта формула приводится к автокорреляции процесса броунавскогодвижения.
Итак. третье условие удовлетворено,поскольку о (цг цх) (( ~)гн+ ( > )гн [цг >н) 1 н» 2» (г> н + хи> )г х[ги) 2 -ц>»В (г х) Наконец, отметим, что правая часть равенства (9.2) не зависит от» (таким образом, В»(г) обладает стационарными приращениями) и что 1»а»[В»(г) — Вн(х)]) = Е[(Ви(г) — Вн(х))']) = )г — хг>1 Замечательное отличие процесса броуновского движения ат процесса дробного броуновского движения заключается в том, что первый обладает независимьвги и некоррелированными интервалами, тогда как последний обладает бесконечно длительными корреляциями.
Это легко продемонстрировать, если рассмотреть корреляцию между прирашениями в прошлом и приращениями в будущем. Рассмотрим корреляцию между приращением в интервале ат -» ло 0 и в интервале от 0 до г: Е[(В»(0) — Вн(-г))(В»(г) — Вн(О))] = Е[ — Ви( — г)В»Я] = 1 ((»)>неви ( г г>хи) 2 1 = — (2»)хн — г>», 2 268 Глава 9. Саыоподобный трафнк 9.2, Самоподобный график данных 269 Обратите внимание на то, что при Н = 0,5 корреляция приращений в прошлом и в будущем исчезает, как и требуется для процесса броуновского движения, об падающего независимыми приращениями.
Однако при Н > 0,5 у процесса появля ется замечательное свойство инерционности (регз)згепсе). В данном случае, если где-то в прошлом у нас было положительное приращение, тогда в среднем у нас будет положительное приращение и в будущем. Таким образом, тенденция к росту (или к снижению) в прошлом предполагает такую же тенденцию и в будущем Эта корреляция применима к скаль угодно большим значениям г и становится сильнее с увеличением значения Н. Это инерционное поведение находится в конфликте с тем, что обычно понимается под стохастическим явлением. Некоторые процессы, такие как броуновское движение, обладают независимыми приращениями. Для многих других процессов можно допустить, что события являются коррелированными, если их разделяет небольшой интервал времени Ьг, однако они определенно становятся некоррелированными при Ьà — > Определение дискретного во времени процесса Теперь рассмотрим случай стохастического процесса, определенного в дискретных точках времени, так что стохастический процесс Х(<) определяется как (х„г = О, 1, 2, ...).
Для стационарных временных серий х мы определим т-агрегированные временные серии х<"> = (хе< ', 7< = О, 1, 2, ...1, суммируя исходные временные серии по неперекрывающимся соседним блокам размера т. Это может быть выражена так: 1 хе< "> = — бм х,. т мье-<м-В Например, х<з> определяется следующим образом: хе <3> хзе-3 + хм-< + хм 3 Агрегированные временные серии можно рассматривать как метод сжатия временной шкалы. Мы можем считать х<'> максимальным увеличением или высочайшим возможным разрешением для этой временной серии.
Процесс х<'> представляет собой тот же самый процесс, уменьшенный в три раза. Усредняя по каждому множеству из трех точек, мы теряем мелкие детали, доступные при максимальном увеличении. Если статистические характеристики процесса (среднее значение, дисперсия, корреляция и т. д.) сохраняются при сжатии, тогда мы имеем дело с самоподобным процессом.
Мы также мажем рассматривать каждую точку в серии х<" > как среднее по времени процесса х, для эргодическога процесса (см. раздел 7.3) среднее по времени должно быть равно среднему по ансамблю, а дисперсия среднего по времени атно сительно быстро должна стремиться к нулю при росте т. Этого не происходит в самаподобном процессе, Дисперсия может стремиться к нулю, но в этом случае она будет стремиться к нулю существенно медленнее, чем для стационарного эргодического процесса, Выразим последнее более точно, Процесс х называется в пючпости спмоподобиь<и (ехасс!у зе)рз1ш11аг) с параметром 13 (О < 13 ( 1), если для всех т = 1, 2, ...
мы имеем: + дисперсия: Чаг(х<"') = Чаг(х) тп" + автокорреляция: Нц„)(А) = Н„(й). Можно показать, что параметр 13 связан с определенным ранее параметром Херста как Н = 1 — (13/2). Для стационарного эргодического процесса 13 = 1, и средняя дисперсия времени стремится к нулю со скоростью 1/т. Ддя самоподобного процесса средняя дисперсия времени затухает медленнее, Ослабленное условие выглядит так: процесс х называется аси иптотически салюподобным (азушрго11са11у зе!б>йпц1аг) для всея достаточно больших 1<, если выполняются условия: + дисперсия: Чаг(х) Чаг(х<">)— т" + автокорреляция: Ян )(7<) — > А„(А) при т -е Таким образом, при этом определении самоподобия автокорреляция' агрегированного процесса имеет тот же вид, что и оригинальный процесс.
Из этого можно предположить, что степень изменчивости, или неравномерности, будет той же самой при различных временных шкалах. Интересное свойство предыдущего определения заключается в том, что авто- корреляция агреп<рованного самоподобного процесса не стремится к нулю при т — ) . Это отличает его от сгохастического процесса, используемого, как правило,для моделирования передачи пакетов данных и удовлетворяющего следующему соотношению: Л<">(т) -е 0 при т -> Функция автокорреляции 1<( г) равна нулю в случае белого шума (то есть чисто стохастического процесса с однородным спектром мощности).
Рисунок 9.3 является полезной иллюстрацией к данной теме, На рис. 9,3, б при увеличении уровня агрегации (т растет) процесс приближается к белому шуму. На рис. 9.3, а, напротив, все графики обладают сходной структурой, явно отличной от белого шума. Другая интеРесная особенность п1>едь>лущик определений заключается в том, что дисперсия х<е> уменьшается медленнее, чем 1/т при т — е, то есть она уменьшается пропорционально 1/тз. для стохастических процессов, как правило, используемых при моделировании систем передачи пакетов данных, дисперсия уменьшается пропорционально 1/т, Как было показано в главе 7, дисперсия выборочного среднего равна дисперсии, лежащей в основании случайной перемен- Определение еетекерреляциц см. я разделе 7.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
