В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Эргодичность Для стохастического процесса х(«) существует два типа чусредняющихь функций: среднее по ансамблю и среднее по времени. В первую очередь рассмотрим среднее ло ансамблю (епзешЫе ачегайе). Для постоянного значения «функция х(«) представляет собой одиночную случайную пе Ременную, обладающую средним значением, дисперсией и другими распределительными свойствами. для заданного постоянного значении времени «, равного С имеют место следующие величины: Е[х(С)1 = «4(С) = ) х7'(злС)«хх — случай непрерывного значения; Е[х(С)] = Р„(С) = 'У 7«рг[х(С) = Ц[ — слУчай дискРетного значениЯ; 214 Глава 7. Обзор вероятностных н стохастнчесхнх процессов ~'аФ~(СН = самс> = Е((х(С) — р,(С))т) — ц з(С),) 4,(С Каждая нз этих величин вычисляется для всех значений х(г) и всех возмож ных результатов.
Для заданной случайной переменной множество всех возможных результатов называется ансамблем (епзешЫе), н поэтому приведенные выше величины называются средними значениями ло ансамблю, Для среднего по времени рассмотрим один результат х(г). Это одиночная де термннированная функция времени. Если рассматривать х(г) таким образом, мы можем определить среднее значение функции ло времени. Среднее пс времени (1>п>е ачегайе), как правило, выражается следующим образом: Мт = — ) х(Г)с>à — слУчай непРеРывного вРемени; 1 2Т „ т Мт = — ~~> х(Г) — слУчай днскРетнаго вРемени. Т на Обратите внимание, что Мт представляет собой случайную переменную, так как результат вычисления Мт для одиночной функции времени является случайной переменной для одиночного результата, Говорят, что стационарный процесс является эргодичеосгм (егйо>1>с), если среднее по времени равняется среднему пс ансаыблю.
Поскольку Е[х(г)] представляет собой константу для стационарного процесса, мы получаем Е1Мт! = Е1х(г)) = р. Говорят, что стационарный процесс является эргодическим, если выполняет условие 1>ш Ъаг(Мт) = О, Таким образам, если усреднять значение функции по все большим и большим интервалам времени, среднее па времени будет стремиться к среднему по ансамблю. Вопросы условий, при ко>арых стохастнческий процесс является зргоднческим, выходят за рамки данной книги, но предположение об зргадичности процесса, как правило, делается.
Конечно, предположение об эргодичности процесса существенно почти для любой лгатематнческой модели, используемой для стационарных сгахастнческих процессов. Пра>сгическое значение эргодичности заключается в том, что в большинстве практических случаев нет доступа ка всему ансамблю результатов стохастическаго процесса нли даже более чем к одному результату. Таким образом, единственный способ получения оценки вероятностных параметров стохастического процесса заключается в анализе одиночной функции времени в течениедлительного периодавремени.
7.4. Рекомендуемые литература и веб-сайты Теме вероятности и случайных процессов посвящена огромная подборка книг, начиная с Х>>П века. Маей л>обимой является [1091; это не только очень практичная книга па теме вероятности, но н познавательное описание философии >' 7.5. Задания 21 б ьного,бученияхорошопод д ' 1 о ет >961. В этой книге ятнссти. ДлЯ самостоЯ ь гержишя нож во 'д р аз ачс ешениями. хаотическим процессам.
Моей много книг, посвященных стохас ся „"172>. Начиная с г. эта к бимой книгой является „" хо ным пособием лс данно т й еме. Другая хорошая книоб ения — 11011 В ней содержится мно, подходящая д ая ля самостоятельного обучения,— нть также сборник решении. ество задач, ау нзд т . ателя можно получить та РтоЬаЬ>>Ы й>еЬ. Этот сант лосвя>цен теоРекомендуемым веб-сайго. -сайтом является ' у я ссылки на статьи, »сурналы нложениям. На нем имеются осы ни вероятности и ее прн >е, списки электронно рассыл й чки, группы новостей, канне все из них бесплатные), с аботе, обществам, программе на сайты, посвященные людям, ра о б . б б ым поисковым механизмом.
>аму обеспечению, книгам. Сайт сна жен азовым т.5. Задания ь со мной в игру, в которой в однои из трех коробочек 1, Вам предлагается сыграть т ех коробок) в то время, из с авной вероятностью для всех тре аетесь вы должны угадать когда вы выход а ите нз комнаты. Когда вы вазвращ . И остоит из двух этапов. Сначала обо К только вы это сделали я открыобачке х анится приз.
Игра состоит нз ех коробочек. ак толь й ко бочки из двух оставшихся. ваю крышку пустои коро з олженбытьваднойиздвух е с ятан п из. В этот момент приз должен б . В ете продолжать упорствовать оставшихся закр ытымн коробочек. ы может б, казан на вторую оставшуюся зав своем выбор е илн изменить свой выбор, указав на ываете его во второн попытке.
ракеш . Вы получаете приз, если угадываете л шей7 Должны лн вы: а) придерживаться своего изначального выбора; б) выбрать другую кор очку; в ы р ость не имеет значения? из двух коробочек, так как очередность е ьтат теста оказыва- 2. Пациент проходит тест т на некого ое заболевание.
Резул Р . аб ). Учитывая, что реется положительным (у ац п пента есть это з олевание . тн сть того, что з льтат теста оказался положительны, >у р м, чеь авиа вероятность пациент действительно бален, если вам известно: 87 >% + точность теста составляет 87 % (та ест льтат, и если пациент здоров, в, тест случаев тест выдает правильныи результ также в 87 % случаев выдает правильный результат); + аспространенность этого заболевания сред с н населения составляет 1 %. + Ряс . с ось вовлечено такси, скрывшееся с места 3.
В ночной инцидент на дороге оказалось во ,Синие происшествия, чему был свидетель. В город р е аботэют два парка такси, и н Зеленые. Суд проверил надежность свидете етеля в следственном экспернм чнам л исшествию, и пришел к те, при обстоятельствах, аналогичных ночному про заключению, что свидетель правильно указыв цв ал ет машины в случ ев. Чему равна вероятность того, что машина, а вовлеченная в ночное столкновение, была машиной Синих, а пе Зеленых, , если вам известно: + 85 % машин такси в городе принадлежит Зел слепым а 15,4 — Синим свидетель утверждает, что ь ждает, что машина принадлежала Синим.
7 6 Задании 217 6. 7. а) определите функцию вероятности Х; б) вычислите Е[Х). веРаитносги. Эта задача может быть сформ Есть группа из К человек. Чему равно минимальное число К, такое, что ве. роятность дня рождения в один и тот же день года у двух человек нз группы % составляет больше 0,5? Игнорируйте 29 февраля и предположите, что все дни рождении равновероятны.
Разделим задачу на две части. а) определите ЯК) как вероятность того, что в группе из К человек не бу дет совпадающих дат рождения. Выведите формулу для Я(К). Подсказка: сначала определите количество способов Ж, которыми можно получить К значений беэ совпадений; б) определите Р(К) как вероятность того, что в группе из К человек па меньшей мере у двух человек совпадают даты рождения. Выведите формулу. Чему равна минимальное значениеК, при котором Р(К) > 0,5? График Р(К) может оказаться полезным.
Бросаются пара «правильных» (с вероятностью каждого результата 1/6) игральных костей. Пусть Х вЂ” максимальное из выпавших чисел. а) найдите распределение Х; б) найдите ожидание Е[Х), дисперсию»'аг[Х) и среднеквадратичное откло- нение ам Игрок бросает «правильную» игральную кость. Если выпадает простое числа, большее 1, он выигрывает соответствующее количество долларов.
Если же выпадает непростое число, то он проигрывает соответствующее количестводолларов. а) обозначьте выигрыш или проигрыш игрока случайной переменной Х. Подсчитайте распределение переменной Х; б) является ли игра честной, то есть Е[Х) = О? В ярмарочной игре сйися-а-1ися игрок платит сумму Е за вход, после чего выбирает число от 1 до 6 и бросает три кости. Если все три кости показывают выбранное игроком число, игрок получает учетверенную входную плату. Если две кости из трех показывают выбранное число, игрок получает утроенную входную плату.
Если только одна кость показывают выбранное число, игрок получает удвоенную входную плату. Если ни одна кость не показывает выбранное игрокам числа, игрок не получает ничего. Пусть переменная Х означает выигрыш игрока в одной игре. Предположим также, что кости честные. 8. Среднее значение случайной переменной Х равно 50, а ее дисперсия равна 4 а) найдите среднее значение Х'; б) найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение 2Х+ 3; в) найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение -Х.
К бладает постоянной плОтнОстью В еп е ывная случайная переменная и 1100 и н левой плотностью ва всех остальных местах, ди го, что Я находится между 950 и 105 . О. Определите вероятность того, что х условиях чем больше коэффициент кор- 10. Докаж иге что при прочих равных ус реляции двух случайных перемени ых, тем больше дисперсия их суммы и тем меньше дисперсия их разности, е положим, что случайные переме еменные Х и У могут принимать тольке 11.
Предполо , О 1. Докажите, что если эти переменные являдва а возможных значения, О и . окажите, , тот а они также являются независимыми. ются некоррелированными, тогда они та т им с чайную перемени ну нг Хсо следующим распределением: — — — г'Х = 1) = 0 25 Пусть У вЂ” Х' Рг[Х= — 1) = 0,25; Рг[Х= О] = 0,5; Ргг а) являются ли Х и независим а) яв Х У имыми случайными переменными? Аргументируйте свой ответ; б) сосчитайте ковариацию Соч(Х, У); в Хи Унекоррелированными? Лргументируйте в) являются ли переменные и не свой ответ. х г = ~г, дставляет собой искусственнын 13. Детерминированный сигнал х(г) = д,г, предста н е, исп сню цесса.
Определите среднее значение, диспер пример стохастического процесса. и автакорреляцию х(г). 14. О еделите средне днее значение, дисперсию и ковариацию ч ных переавляет с менных2=х(5) и =х в — й'= (8) предположении, что х(г) представл стахастический процесс, причем Н(г) = 3' Я(г,, г,) = 9+ 4е~'з" "' . неко ели ованных веществен- 15. П сть [У ) представляет собой множество н рр р пусть чайная пе менная обладает нулевым средним значением и диспер, р спе сией, авной 1. Для константа«, а«,..., и ь лен пока- определите скользящее сред е нее ло и едставленной ниже рмуле и по йд функцию жите, что значение х является стационар ным, а также на ите его автоковариацни Ъ'.= ч~~ сИ -*.
»а 16 Х А соз(пй) + В з1п(п) ) где А и В лредставлиют обо влиют собой некоррелнрованные случайные переменные, причем среднее зн , что пе еменная стациоменной равно О, а дисперсия равна 1. Покажите, р парная со спектром, содержащим ровно одну точку. 8.1. Простой пример поведения очередей 219 Глава 8 Анализ очередей Снова и снова прогн1озы обеих разведок — армейской н фхотской — сбывались к удивлению друзей и к неудовольствию врагов. уинсюон Черь имь.
Мировой кризис В области обмена данными и компьютерных сетей вам часто может понадобиться умение предсказывать результат определенных изменений в системе, таких как увеличение нагрузки нли доработка конструкции. Например, организация поддерживает определенное количесгво терминалов, персональных компьютеров и рабочих станций, подключенных к 100-мегабитной локальной сети. Предполагается подключение к локальной сети дополнительного отдела в здании. Сможет ли существующая локальная сеть выдержать увеличение нагрузки или лучше создать вторую локальную сеть и соединить ее с первой сетью мостом? Бывают другие случаи, в которых сеть еще не существует, но на основе имеющихся требований нужно создать проект сети. Например, руководство собирается установить в некоем отделе персональные компьютеры и создать нз ннх локальную сеть с файловым сервером.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
