В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 45
Текст из файла (страница 45)
] УЫйу=1. Для дискретной случайной переменнои ее распре е сп деление вероятности характеризуется следующими уравнениями: Рх(й) = Рг[Х = й]; Часто нас интересует не все распределение, а к а какая нибчдь одна характеристи ка случайной переменной, например: , ым значением, или пеРвым + Среднее значение (также называемое ожидаемым моментом) Е[Х] = йх = ~ хг(х)йх — непРеРывный слУчай Е[Х] 11 Ч~~~~ ЬРГ[Ха й] — ДИСКРЕТНЫЙ Сяуя 7.2. Случайные переменные 201 + Второй з«онент: представляет собой время передачи данных, и поэтому оно пропорционально длине пакета, Трудно дать четкое теоретическое обоснование тому, почему время обслуживания должно иметь экспоненциальное распределение, но во многих случаях его распределение близко к экспоненциальному.
И это хорошо, так как значительно упрощает анализ очередей. 1.0 1,0 0,8 и $ 0,8 к и 0,4 0,8 у 0,6 «« н 0,4 0,2 0,2 О.О 0 2 3 4 2 3 4 О 1 Экспоиеицивлы«ая отиость вероятности (Х = 1) б Э вспоив напальное „е ~елв«ме вероятности (Х = 1) а О, О, О, О, распределение Пуассона р" ") Норнвльивя плотное«ь вероятности (р = 4, о = 1) е рис. 7.3. Нвкоторыв вероятностные функции распределение Пуассона Другое важное распределение — распределение Пуассона (рис. 7.3, в) с параметром Л ~ О, принимающее значения в точках О, 1, ...: Рг[Х =Ц= — е "; )«=0,1,2..4 )«) Е[Х] = Ъ'аг[Х] = Л. 200 Глава 7.
Обзор вероятностных и стохастичвских процессов ] = )«х = ~ х««(х)«1т — непрерывный случай Х )«'р«[х = Ч дискретный случай + х7ислерсия: Ъ"аг[Х] Е](Х,)т] — Е + Среднекеад)«атичное отклонение: с« = -„)Г~Х]. т Дисперсия (уаг(апсе) и среднеквадратичное отклонение (зтап«)аг«) деу(айоп) являются показателями рассеяния значений вокруг ср дне" . В сре «еи величины.
Высокое значение дисперсии переменной означает, что перемени ч еменная чаще и дальше отклоняется от среднего значения, чем переменная с низким значени м значением дисперсии. Несложно показать, что для любой постоянной а справедливь едливы следующие уравнения: е[ах] = ае[х]; Ъ'аг[аХ] = а'Чаг[Х]. С реднее значение также называют статистикой первого по я ка; вт мент и испе сия д р представляют собоГ«статистику второго порядка.
Из функции плотности вероятности также можно вывести статнсти бол ки ее высокихпорядков. Важные распределения В данном разделе будут описаны некоторые распределения, играющие важную роль в теории анализа очередей. Экспоненциальноераспределение Экс (рис, а и о) описываеткспоненциапьное распределение с параметром Л > О ( с.
7.3, о) ся следу«ощими функциями распределения и плотности: Е(х) = 1 — е '"; у(х) = Ле-'; хс О. с е не Интересное свойство экспоненциального распределения состои в оит в том, что его 'р днее значение равно среднеквадратичному отклонению: Е[х] = а„= —, * Л' такое асп е е ие В случае применения к интервалу времени, например времен б ни о служивания, распределение иногда назь«веют случайным распределением. Эт тем, что если инте ем.
то связано с вольн ерзал времени уже начался, то он может закончи ый момент времени с равной вероятностью. е °, ться в произажность этого распределения в теории очередей связана с тем, что мы часто можем предположить, что в мя ре. я обслуживания распределено экспоненциально. б случае телефонного т афика в емя ефо раф время оослуживания — зто время, в течение которого а онент зан««мает обо о руд ва««ие В сети с коммутацией пакетов время обслуживания 0,20 '1 0,1 и жол в х о,о 0 2 8 10 12 О 2 4 8 7.2. Сп»чейные переменные 208 Причем Рг[Та < г] = 1 — е ~»; Е[Т.] =— 1 г (х) = е ~"'ч'3 ггу оч'2 пи с (х,у) охот (7.2) ] е'"м г'а~, о,/2пи 202 Глава 7. Обзор вероятностных и стохастических процессов Если Л < 1„тогда Рг[Х = к] достигает максимума при к = О.
Если Л > 1, но не является целым числом, тогда Рг[Х= к] достигает максимума при к, равном наиболыпе- а 3 му целому числу, меньшему, чем Л. Если Л представляет собой положительное целое ь число, тогда у функции распределения Пуассона два максимума при А = Л и к = Л вЂ” 1, Распределение Пуассона также представляет важность для анализа очередей, так как мы должны предположить, что частота прибытия пакетов распределена по Пуассону, для того чтобы вывести уравнения очередей (см.
главу 8). К счастью, предположение о подчинении распределения частоты прибывающих пакетов закону Пуассона оказывается справедливым. Распределение Пуассона может быть применено к частоте получения следующим образом. Если элементы поступают в очередь в соответствии с распределением Пуассона, это может быть выражено следующим образом: (ЛТ) -лт . + Рг[к элементов прибывают в течение интервала Т] = — е И + Е[число элементов. прибывших в течение интервала Т] = ЛТ; + средняя скорость прибытия, в элементах в секунду = Л. Пакеты, прибывающие в соответствии с законом Пуассона, часто называют случайно прибывающими.
Это объясняется тем, что вероятность прибытия пакета в течение короткого интервала времени пропорциональна длительности интервала времени и не зависит от времени, прошедшего с момента прибытия последнего пакета Таким образом, если прибытие пакетов подчиняется распределению Пуассона, пакет с равной вероятностью может прибыть в любой момент времени независимо от того, в какие моменты времени прибывают другие пакеты. Другое интересное свойство процесса Пуассона связано с его экспоненциальным распределением.
Оказывается, что интервалы времени между прибывающими в соответствии с распределением Пуассона пакетами распределены экспоненциально: Таким образом, как и следовало ожидать, среднее время между прибытием пакетов представляет собой обратную величину от частоты прибытия. Нормальноераопределение Нормальное распределение с параметрами р ~ О и о имеет следующие функцию плотности (рис. 7.3, г) и функцию распределения: Е[Х] = 1к Ъ'аг[Х] = ог. Вольшое значение представляет центральная предельная теорема, утверждающая, что средняя величина от ичина от большого количества независимых случайных переменных оудет распред елена приблизительно нормально и почти не зависит от их индивидуальных распред .
распределений. Одно ключевое требование заключается в конечности среднего значения ния и дисперсии. Центральная предельная теорема играет в статистике ключевую роль. Множественные случайные переменные Когда имеются две илн е в илн более случайных переменных, нас часто может интересовать, отражаются лн изм изменения одной переменной на другой переменной. В этом еле оп еделяются некоторые важные критерии зависимости.
В общем, для определения статистических характеристик множествен х уны слчайных переменных требуется определение их функции совместной плотности или функции совместного распределения вероятностгс + распределение: г(х»хь ...,х„) =Рг[Х~ <х»Хг хь ...,Л; х„]; «,, х ап + плотностгс г (хо«„...,х„) = г"(хи«и...,«„); ах,а;...ах„ + дискретное распределение: Р(х» хь ..., х.) = Рг[Х~ =х» Хг = хь ..., « = ~ ]. Для любых двух случайных переменных Х и Умы получаем цх+ у]=цх]+ е[у]. Две непрерывные случайные переменные Х и У называются (статистически) яеэаэясимычи ([поерепг]епС), если р(х у) = р(х)яу) и, следовательно,г(х у) =Я«)г (у). Если случайные переменные Х и У дискретные, тогда они являются независимыми, если Р(х, у) = Р(х)Р(у). Для независимых случайных переменных справедливы следующие соотношения: Е[ХУ] = Е[Х] к Е[У]; Ъ'аг[Х+ У] = Ъ'аг[Х] + Ъ'аг[У]. Ковариация (соъапапсе) двух случайных переменных Хи Уопределяется следующим образом: Соч(Х, У) = Е[(Х - 1гх)(У вЂ” 1гт)] = Е[ХУ] — Е[Х]Е[У].
Если дисперсия случайных переменных Х и У конечна, тогда их ковариация также конечна, но может быть положительной, отрицательной или нулевой. Для конечных дисперсий случайных переменных Х и У козф4ищяентл коррелячии (согге!аг1оп сое(йс[еп1) переменных Х и У определяется так: 7 З, Сгохасти«вские процессы 205 сти между случайными переменными Х и К нормализованную относительно вв» личины изменчивости Х и К Справедливо следующее неравенство: -1 < г'(Х, У) < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
