В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Говорят, что случайные переменные Х и Уя вляются позитивно коррелиро ванны ми (раз!1!че)у согге»а1ег»), если г(Х, У) > О, нвгппгивнохоррвлированныии(пеяаг!че!у согге!а1еа), если г (Х, У) < О, и нвкоррвяированными (ппсогге!а1ег»), если г(Х, У) = О Однако случайные переменные Х и Умагут быть некоррелированными и, тем не менее, не являться независимыми (см. задание 7.12 в разделе 7.5). Коэффициент корреляции демонстрирует степень линейной зависимости двух случайных переменных.
Если совместное распределение случайных переменных Х и 1'сконцентрировано на координатной плоскости вокруг прямой линии с положительным наклоном, тогда коэффициент корреляции г(Х, У), как правило, будет близок к 1. Это указывает на то, что изменению переменной Х будет соответствовать сходное по амплитуде и направлению изменение переменной К Если совместное распределение случайных переменных Х и Усконцентрировано на координатной плоскости вокруг прямой линии с отрицательным наклоном, тогда коэффициент корреляции г(Х, У), как правило, будет близок к -1.
Несложно доказать справедливость следующего равенства: Ъгаг(Х+ У) = Ъ'аг(Х) + Ъ"аг(У) + 2Соч(Х, У). Если случайные переменные Х и У обладают одинаковой дисперсией пг, тогда предыдущее равенства может быть записано в следующем виде: Ъгаг(Х+ У) = 2аг(1+ г(Х, У)). Если случайные переменные Х и У являются некоррелированными, то есть г(Х, У) = О, тогда Ъ аг(Х+ У) = 2аг. Эти результаты несложно распространить на случаи более двух переменных.
Рассмотрим множество случайных переменных Хг, ..., Хне одинаковым значением дисперсии аг. В этом случае можно записать: Ъгаг ~ Х,. =пг И+2~,~,г(г,г) . Здесы(г,)) представляет собой сокращенную запись коэффициента корреляции г(Х; Х.). С помощью равенства Ъгаг(Х/Ф) = ЪГаг(Х)/№ мы можем преобразовать эту формулу для вычисления дисперсии среднего значения множества случайных переменных: Фм, — а Ъ'аг(Х) = — 1+~~'г(г,1) . г пв Если все переменные Х; являются взаимно независимыми, тогда мы получим г Ъ'аг(Х) = —. гг' 7.3. Стохастические процессы С хастичвский процесс и о гзсосЬазг(с ргосезз), также называемый случайньгм проз представляет собой семейство случайных переменных цвссом (гап огп ргосезз, предст (х(г), г и, индексированн ванных параметром Г на некотором множестве индексов Т.
Как правило, множество инде индексов интерпретируется как измерение времени, а х(Г) является функцие времени. й ени. Другими словами, стохастический процесс представляет с аи случаину аб " " ю переменную, являющуюся функцией времени. Непрерывный ва времени стохасти«вский и«схий процесс (сопсшпопз-1»тпе зсосЬазс!с ргасеэз) — это стохастически процесс, в ко й , в котором значение времени Г изменяется непрерывно, какправило,вдольосинеотриц е трицательных вещественных чисел (х(г), О < г < Т», хотя иногда оно может изменяться ться вдоль всей оси вещественных чисел.
Дискретный во времени стпахаспгичвский процесс (с»!эсге1е-1ппе з1осЬазГ»с ргосезз) — это стохастический процесс, в котором значение времени Г принимает дискретные, как правило, положительные целые значения (х(г), г =1, 2, ...», хотя иногда оно может принимать и целые значения ва всем интервале от — до + Вспомним, что случайная переменная определяется как функция, преобразующая результат льтат эксперимента в некоторое значение. Учитывая это, выражение для х(г) может быть интерпретировано по-разному: 1.
Как семейство функций времени (переменная ц все возлюжные результаты). 2. Как отдельная функция времени (леременная ц один результат). 3. Как случайная переменная (переменная г фиксированная; все возможные результаты). 4. Как отдельное число (переменная г фиксированная; один результат). Конкретная интерпретация х(г) обычно ясна из контекста. Следует сказать несколько слов а терминологии. епрер ывный по значениям спюхаспт«вский процесс (соп11шюпз-чз! пе зФосЬаз11с ргосеээ) — это стохастический процесс, в котором случайная переменная х(г) с фиксированным г (случай 3) принимает непрерывные значения. Дискретный гю значвн значениям сгпахастичвпаш щюцвсс (Йзсгесе-га!пе з1асЬазГ»с ргосезз) — это стохастически р й л оцесс, в котором случайная переменная в любои момент г принимает кон к печное или счетно-бесконечное количество значений.
И непрерывный, и дискретный во времени стахастнческие процессы могут быть как непрерывными, так и д р иск етными по значениям. Как для любой случайной переменной, функцию х(г) с фиксированным значением Г можно охарактеризовать функциями распределения р ния ве оятнастей и плотности вероятности. Для непрерывного па значениям стохасти ического п цесса эти 1ю функции принимают следующий вид: + функция распределения: Р(л,", г) = Рг(х(г) < х1; Р(-;г)=О; Г(г; Г) = 1; й О о О.
с О х о О т с оо о б РР л О в.в О И х иЫ. ! х м о х о х и 5 О в! а с= м с к> ! х ! всв ! О ОХ Мма а О х Оа х хо М дОО х а ЕО О х и О о х х св х О Х а»х а аР о О СР Й хвХ О х,Я хо х и х -8. ~ ~О О сР О исв Ой о аРв а х и а о о х о Ихм и а.,в со о Д о хо хох РВ о ! О и Ы О х св х .Р с х Р' и св а Рх и И х х а О РВ х о о О ! Д и х Я с.в О О РВ О св х О мха а.х м охи !" а ~ОО с;с св Еххо О й О- и и б б, о сР РВ а о с! м '~ м О Й в О О 1! хх ц О ОО о О»а О и Ц Ж .-, О Е О х Рс св сХ х х 8' б Ь ,Р Й х х д «х «„И ;," о а О. О и~ с ф с РС Ф О Д ~ Я О ~О ! о Р", Р.
х о Р" я х О х ' и ~а И ! х и сх О Х О В в,с О д О Ф Ц Б О О РВ Ф 'Яи Я,ОХ М 'о~~ О о О 9 и м Х с.с О Хйм о и О о хих Ф ~ай :с х а О ОР. х о ю О ахах К охи Фб б оаэи $ й 5 ". Охх х о ахи~ Х О сс х охфо м х „во и О О хх«х ХООЙ а. х х с« РВ и; О ~":~ Ь-- х М м х м ~~ ...О „ООО О а о„о Р Рв Р,с св с,с О.~ ~Я Х О'Х О 'Я "' » Ох 8 хйхо х х х~ «х О ВО О ххх~ -И о о О Х ОХ хх х а х~ц5 Ф О х О и РВ $ в ! РХ !! !! + С~ П И М с" О М всв О. Рв в. и О Х И~ Х о хххЙОЯО Р Рс и О О сс Я О Хо о«О х«оио„ О оа,а.
° О О В4 '- Х» в !' РО О ХХ Х Х О М О О х с:! Е х %.Х с.абв о охах о х и О О Е и ««м ООХООХО" хххйо Их' О,Р ~ цЦ и 3 И Х Оса аР Х ХООХОО Р, Ох%хо и Е О Хм иХ О, О Х ОХо св о Я И х а, о + О а а и » Я Х и сР с 'с и а, Рс М х в»о ооЬ ф я иххОРРО о их«хх О и и ХОХОХох и и и О «Ох хи О ОВ- х о О Х «и »Х О + О~хиа о х хх -' м М х и ф Оххох хООО са х О Х О Х Х х и о хха и х 5» о о х Ь 6 х» х й О О ! РВ Х Я х ! о м» с и» О Д о о х сй вс и х О о х са х о Ис в! Ь, оо и ъ Я Х Й х х о с о х о а. й сО о Р- ж Е о Е вв, И Д '8 + и о О.
Я Р И х св О И х х О о й с о ф х х в .О И м в! а !! 4Р св Ц, о ХХОХ ХХЕОХ охах с ! Р Рс , сХ илаха ~~ Х 3. РХВ О О Ехо Оах ЫМ ДО«х х О О и ах Х хо а ! О и и»~х Р-.. РС и х Ф х о х и О О Р' св И х О Х РС Х Р! РВ вв » х О » 'Я .: а,х о \Р й м х х Я св Х и и сР О О аа О «о Д о х св х и О О о х М о Фб О о О х а о о й И К о © й о Б ссв О Ф О РС Р' ОХ И О РС в й3 в Оа. О О о х л х ,Р О О О х !» % в И б.
!! м а! Ы х О х х а, и х сХ св Р » и И 2 а сР ~Л~ Р И И ав сХ х х .Р х х РХ 1 и а х ъ в! а! сх св У х х й' х сх РВ Р" » и 1 И И3 И Р4 1~ й о св с Х О ~ х а Рв х й и Я Д" Х О' О1 - хЫ Р О О РС м в а О О о м х и ! ва хи Я в! хм М х и !в хм р В. Х ! Рв св и ЪО О > Ох О. м вх О о м О Х О Х с м О и х О Х сд Р! 5 хх 23 Я фФ х сх и о ' са ~О о м ОХ сс х в Х О Ос« О с- РВ РО х и х а х х 208 Глава 7. Обзор вероятностных н стохастнческнх процессов 7гй Стохастнческне процессы 209 Спектральная плотность Спектром мощности (рочгег зрес1ппп), или спектральной пло ( аной плотностью (зресьгз) с)епзйу), стационарного случайного процесса называется преобразование Фурье функции автокорреляции этого процесса: 5(т) = ] )г(т)е '"'"гИ.
Здесь ге — угловая частота в радианах (ге = 2п/) Для детерминированной функции времени спектральная плотность представляет частотное распределение мощности сигнала. Дчя частотным составляющих (ге) представляет собой среднюю плотность мощности частотн х(Г) в окрестности и. Вспомним, что одна из интерпретаций (Г) ре и х( ) представляет со- ультат).
этом случае и одиночную функцию времени (переменная С один реэ ль ). В и, состоит из суммы всех свозта функция времени, как и любая функция времени, состоит из с м их частотных составляющих, и ее спектральная плотность е ст собо отность представляет собой от- е ную мощность каждой составляющей.
Если мы рассма ( ) семейство ф нк ий матриваем х(г) как спе чьная п функции времени (переменная й все возможные езул ктрэ ая плотность представляет собой среднкяо мощность к ой ной составляю ей, с щ, усредненную по всем возможным функциям времени х(г). Обратная формула Фурье позволяет получить функцию времени из ее спектра: Я()= — $Я )е. 1 2п ри т = 0 предыдущее равенство прнобрет в 1 — ~й(т? Ь =А(О)=Е[)х(г))~], Таким об аз мо аким образом, суммарная площадь под кривой э( )/2 щности процесса х(г). Также следует заметить, что во ге)/2п равняется средней 5(0) = ] )г(т)от.
Здесь 5(0) представляет собой и постоянную составляющую спектра мощности и соответствует интег ал от ф р у функции автокорреляцин. Этот компонент будет конечным, только если п и т — л ф н С Р функция г((т) уменьшается достаточно быстро. пектр мощности тшсже может б ыть выражен для стохастического процесса, определенного в дискретных мом ентах времени (дискретного во времени стохастического процесса). В этом случае мы получим: 5( ) =ч„л(Ь)е-"; У(О)= ) Л(Ь), табпица 7.1. Функции автокорреляцин н спектральные плотности Стационарный Функция Спектральная случайный процесс аатокорряляцнн платноать вл(лг) а*вх(лх) лгхах(лх) лх'"Вх(лг) Ях(н' - нь) Я (т) а'Ях(т) — О1Ях( )Д)т (-1 ГсР"Жт)/<н~ ехрйны)щт) Хгй ах(0 Х'(г) Хь|(Г) Х(Г)ехрОкы) Независимые приращения Говорят, что у непрерывного во времени стохастического процесса [х(г), 0 < г < ) независимые приращения, если х(0) = О, и для всех вариантов выборок гл < г, «,, г„ будут иезависимымн и случайных переменных: х(г~) — х(гл), х(гг) — х(г~), ..., х(г„) — х(г„-~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
