В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Сабьпия А и В назывиот взаимно исключающими (шцгцаИу ехс1цз»че), если эти события не могут произойти одновременно, то есть одно событие исключает другое. Собьпие, называемое дополнением (сошр!ешепг) события А„представ- А, ляет собой событие, происходяшее, когда событие А не происходит, то есть зто множество всех результатов прострзнства выборок, не входящих в пространство события А. Эти понятия легко представить наглядно при помощи диаграмм Вен на (депп), представленных на рис, 7.1. На каждой диаграмме заштрихованная часть соответствуег выражению под диаграммой.
Части на рис. 7.1, в и г соответствуют случаям, в которых события А и В не являются взаимно исключающими, то есть некоторые результаты являются частью обоих событий; и А и В. Части на рис. 7.1, д и в соответствуют случаям, в которых события А и В являются взаимно исключающими. Обратите внимание на то, что в этих случаях пересечение этих двух событий является пустым множеством.
Обычно для определения понятия вероятности используется следуюший набор аксиом: 1. О < Рг[А] < 1 для любого события А. 2. РгЩ=1. 3. Рг[А н В] = Рг[А] + Рг[В], если события А и В являются взаимно исключающими, Аксиому 3 можно сформулировать для более общего случая нескольких событий. Например, Рг[А и В н С] = Рг[А] + Рг[В]+ Рг[ С], если события А, В и С являются взаимно исключающими, Обратите внимание на то, что в аксиомах ничего не сказано о том, как вероятности ставятся в соответствие отдельным результатам или Опираясь на эти аксиомы, можно вывести много законов, Ниже перечислены некоторые из наиболее значимых: если события А и В являются взаимно исключающими; Рг[А и В] = Рг[А] + Рг[В] — Рг[А г В]; Рг[А н В н С] = Рг[А] + Рг[В]+ Рг[С] — Рг[А л В] — Рг[А г~ С]— — Рг[ВлС]+ Рг[АлВл С]. В качестве примера рассмотрим бросание одной игральной кости.
У этого эксперимента может быть шесть возможных результатов. Достоверным событием является выпадение любой из шести граней игральной кости, Объединение событий (чет» и (меньше трех» представляет собой событие (или 1, или 2, нли 4, или 6». ПеРе сечение этих же событий является событием (2». Собьггия (чет» и (нечет» являются ~заимно исключающими, Если мы предположим, что каждЫй из шести резуль:, . татов равновероятен, и присвоим каждому событию вероятность 1/6, то нетрудно 196 Глава 7.
Обзор вероятностных и стохасгичесхих процессов 7 1. Вероятность 197 видеть, что все три аксиомы выполнены. Законы вероятности можно применить следующим образом: Рг(чег» = Рг(2) + Рг(4) + Рг(6) = 1/2; Рг(меньше трех) = Рг(1) + Рг(2) = 1/3; РгЦчет) !.! (меньше трех)] = Рг(чет) +Рг[меньше трех» — Рг[2» = = 1/2+ 1/3- 1/6=2/3. Определение вероятности через относительную частоту В методе относительной частоты используется следующее определение вероятности. Выполните эксперимент несколько раз. Каждое проведение эксперимента называется попытх!я1 (Гг)а»). При каждой попытке наблюдайте, происходит ли событие А, В этом случае вероятность Рг[А] события А представляет собой предел: Рг[А] = 1пп — ' ""и Здесь и представляет собой общее число попыток, а пз — число удачных попыток, то есть попыток, результатом которых было событие А.
Например, мы могли бы подбрасывать монету много раз. Если после очень большого количества бросков отношение выпавших орлов к общему числу бросков монеты колеблется вокруг значения 0,5, тогда мы можем предположить, что это правильная монета с равной вероятностью выпадения орла и реп!ки. Классическоеопределение Пусть Ж представляет собой количество возможных результатов, при этом все эти результаты равновероятны, а № — число результатов, при которых происходит событие А. В этом случае вероятность события А определяется так: Рг[А] = — ~ !!! Например, если мы бросаем одну игральную кость, тогда !!' равно 6 и событию [чег» соответствуют три результата.
Таким образом, получаем, что Р(чет) = 3/6 = 0,5. Вот более сложный пример: мы бросаем две кости и хотим определить вероятность р того, что сумма очков двух костей будет равна 7. Вы можете вычислить количество различных вариантов сумм, которые можно получить этим способом (от 2 до 12), то есть 11, и прийти к неверному умозаключению, что вероятность такого события равна 1/11.
Мы должны рассматривать равновероятные результаты. Для этого следует учитывать все комбинации выпадения двух костей и различать первую и вторую кости. Например, результаты (3, 4) и (4, 3) должны рассматриваться как два отдельных события. При таком походе мы получим 36 равновероятных результатов, из которых нас будут интересовать шесть пар: (1, 6), (2, 5) (3, 4) (4, 3), (5, 2), (6,1). Такиы образом, получаем, что вероятность р = 6/36 =1/6.
Условная вероятность и независимость й Нам часто бывает нужно узнать вероятность события, зависимого от некоего другого события. Эффект условия состоит в удалении некоторых результатов из про ранства вы рок. бо, Например чему равна вероятность того, что сумма выпадения двух игральных костей костей равна 8 при условии, что хотя бы одна кость выпадаег четной гранью ы мо 7 М ожем рассуждать следующим образом. Поскольку одна кость четная и сумма также чет акже четная, это значит, что вторая кость также должна показывать четное число.
ело. Таким образом, нас устроят три следующих равновероятных результата: (, : (2, 6), (4, 4) и (6, 2) иэ общего набора возможных результатов, которых [36 — (число с ыти, когда — ( обытий, когда обе кости нечетные)] = 36 — 3 ° 3 = 27. Итого, условная но условная вероятность (соп!»!Поп а1 ргоЬаЬ11йу) собьггия А, предпоформально условя лягающая, что с ы о событие В произошло, обозначается как Рг[АЩ и определяется отношением Рг[АВ] Р [В] Здесь предполагается, что Рг[В] не равно нулю. В нашем примере А = (сумма 8», а В = (как минимум, одна кость четная». Величина Рг[АВ] соответствует тем результатам, при которых сумма равна 8 и по меньшей мере одна кость четная.
Как мы видели, таких результатов три. Таким образом Рг[АВ] = 3/36 = 1/12. Несложно убед!ггься„что Рг[В] = 3/4. Теперь мы можем ! сосчитать: Р [А»В]= 1/12 1 Этот результат согласуется с предыдущими вьгчислениями. Два события А и В называются явзависииыли (1п!»ереп!»епг), если Рг[АВ] = = Рг[А]рг[В]. Нетрудно видеть, что если события А и В являются независимыми, то Рг[А[В] = Рг[А], а Рг[В[А] = Рг[В]. Теорема Байеса В аавершение этого раздела мы рассмотрим один из важнейших результатов теоРии вероятности, известный как теорема Байеса (Вауез). Сначала нам необходимо сформулировать формулу полной вероятности.
Если имеется множество взаимно исюпочающих событий Е!, Еь ..., Е„, так что объединение этих событий гюкРывает все возможные результаты, и произвольное событие А, тогда можно показать, что Рг[А]= !! Рг[А»Е,.]Рг[Е,.]. ! ! Теорема Байеса может быть сформулирована следующим образом: рг[Е» А Рг[А ~ Е!]Р[Е!] Рг[А» Е!]Р[Е!] '~~" Рг[А» Е, ]Рг[Е!] !=! На рис. 7.2, а показана диаграмма, иллюстрирующая концепцию полнои вероятности и теорему Байеса.
7 2 Слу,ейные переменные 199 + функция плотности: 7(х) = — г( )' ах Р(-)=] УЫ4л ~~Г Р„(я) = 1 198 Глава 7. Обзор вероятностных н стохастнчесхнх процессов ЮРЕДЕНО О ВВВ Ио; Пс гчено Э Н "Э1; передано 1 И] = По. „„„ е б Рно. 7.2. Иллюстрация полной вероятности н теоремы Бейесе Теорема Байеса используется для вычисления «апостериорной вероятностиь, то есть вероятности того, что некое событие действительно имело место при условии наличия свидетельства в его пользу. Например, предположим, что мы передаем по каналу с шумом последовательность нулей и единиц. Пусть 50 и 51 представляют собой события, соответствующие передаче в определенный момент 0 и 1, а КО и К1 соответствуют событиям приема 0 и 1 получателем. Допустим, мы знаем вероятность событий 50 и 51 у отправителя, а именно Рг[51] = р, а Рг[50] = 1 — р.
Пусть производятся наблюдения за линией, чтобы определить, как часто происходит ошибка при передаче нуля и единицы. В результате вычисляются следующие вероятности: Рг[КО]51] =р и Рг[К1~50] =рь. Если получателем принимается ноль, то при помощи теоремы Байеса мы можем вычислить условную вероятность ошибки, а именно условную вероятность того, что была послана единица: Рг[К0~51]рг[51 ] р„р Рг[К0~51]рг[51]+Рг[К(~50]Рг[50] р„р+ (1 — рь)(1 — р) ' Это уравнение иллюстрирует рис.7.2, б. На рисунке пространство выборок представлено в виде квадрата. Одна половина квадрата соответствует событию 50, а другая — событию 51, так что Рг[50] = Рг[5Ц = 0,5.
Аналогично, половина квадрата соответствует событию КО, а другая — собьпию К1, так что Рг[КО] = Рг[К1] = 0,5. Внутри половины„представляющей событие 50, 1/4 соответствует событию К1, так что Рг[К1~50] = 0,25. Аналогично, очевидны другие условные вероятности. 7.2. Случайные переменные Случайная переменная (гапдош чапаЪ]е) представляет собой отображение множества всех возможных событий в пространстве выборок на пространство вещественных чисел. Таким образом, случайная переменная связывает с каждым событи ем вещественное число. Эта концепция иногда выражается е виде эксперимента с множеством возможных результатов. При этом случайная переменная при сваивает значение каждому результату.
Таким образом, значение случайнг, ои является случаинои величи ной Мы дадим следУюшее ФоРмальное случ ние. С чайная переменная предста Х авляет собой функцию, ставящую в п юстранстве выборок число, удовлетворя- в Оютв етствие каждому результату в щю следующим условиям". Юнг)ЧО событием лля каждого значения х. 1.
Множество ]Х < х] является с 2. Рг[Х= ]=Рг[Х=- ]=О. рерыеной (соптьппопв), если она может приСу й йная пе менная является нелрер ых значений Случайная переменная яв нимать бесконечное множество различных з ), ожет принимать конечное или ограничен- ляется Йьсхреьлной (Пьвсгете), если она может п й.
иое мно ножество различных значени . ф кции распределения и плотности ж нхывнзя случайная переменная м ж Х ожетбытьописаналибоспомощьюфу распре '. ' ' 1 пстьоп) Р(х), либо с помощью функьрьи ллоьлносгрьи распре распределения (цьзтпЪцтюп ппстьоп х, п1И (11епв1гу гппсг1оп) 1 (х); + функция распределения: Р(х) = Рг[Х < х] Р(- ) = О; Р(-) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
