В. Столлингс - Современные компьютерные сети (2-е издание, 2003) (1114681), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Таким образом, величина чперемещенияь в стохастическом процессе за один интервал времени не зависит от перемещения за любой другой не перекрывающийся интервал. Говорят, что у стохастического процесса стационарно независимые приращения, если, кроме того, х(гг + Ь) — х(г1 + Ь) обладаег тем же распределением, что и х(гл) — х(ц) для всех гл > г~ и для всех Ь > О.
Следует отметить два свойства процессов со стационарно независимыми приращениями. Если процесс х(г) обладает стационарно независимыми приращениями и Е[х(ц)] = )л(г) представляет собой непрерывную функцию времени, тогда Р(г) = а+ Ъг, где а и Ъ вЂ” константы. Кроме того, если дисперсия Чаг[х(г) — х(0)] является непрерывной функцией времени, тогда для всех з выполняется условие уаг[х(з + г) — х(з)] = ог, где и' является константой. Два процесса, игракпцие центральную роль в теории стохастических процессов, — процесс броуновского движения и процесс Пуассона — обладают независимыми приращениями.
Ниже приводится краткий обзор обоих процессов. процесс броуновского движения Вроуновское движение представляет собой случайное движение микроскопических частиц, взвешенных в жидкости или газе, вызванное столкновениями с молекулами окружающей среды. Этот физический феномен является основой для ~пределения стохастического процесса броуновского движения, также называемого процессом Винера (ЪЧ(епег) и процессом Винера — Леви (уу(епег — ).ечу). Рассмотрим функцию В(г) для частицы броуновского движения, означагошую зависимость смещения этой частицы от начальной точки в одном измерении от тремени.
Рассмотрим итоговое перемещение частицы за интервал времени (д г), Здесь снова 5(0) представляет собой постоянную составляющую спектра мопшостн и соответствует бесконечной сумме функции автокорреляции. Эта составляющая будет конечной, только если при т — л функция Щ~) уменьшается достаточно быстро, В табл.
7.1 показаны некоторые интересные соотношения между функцией автокорреляции и спектральной плотностью. 210 Глава 7. Обзор вероятностных и стохастических процессов 7 3 Отохастические процессы 21 1 достаточно долпгй по сравнению со временем между соударениями частиц. Величинаа В(г) — В(г) может рассматриваться как сумма большого числа небольших псремещений. Полагаясь на центральную предельную теорему, мы можем предположить, что зта величина обладает нормальным распределением вероятности.
Если допустить, что среда находится в равновесии, то можно считать, что итоговое п ерем спгсььне зависит только от длительности интервала, а не от того момента времени, в которьш начинается этот интервал. Таким образом, распределение вероятности В(г) — В(з) должно быть таким же, как и у В(г+ Ь) — В(з + Ь) для любого значения Ь > О. Наконец, если перемещение частицы целиком вызвано частыми случайными столкновениями, тогда итоговые перемещения за не перекрываюшьиеся временные интервалы должны быть независимыми, и поэтому В(г) обладает незавпсимымп приращениями. Учитывая все сказанное, мы можем определить процесс броуновского движения В(г) как процесс, удовлетворяющий перечисленным ниже условиям; 1. (В(г), 0 < ~ < «] обладает независимыми приращениями.
2. Для любого г > 0 случайная переменная В(г) обладает нормальным распределением. 3. Для всех т > О функция Е[В(г)] =О. 4. В(0)=0. Плотность вероятности процесс» броуновского движения имеет вид .ь г(х Г) = — е ' ' пЛщ Отсюда мы получаем: Уььг[В(гн = С Ъ'аг[В(г) — В(з)] = ]г — з1 Другой важной величиной является автокорреляция В(г), выраженная как Вьь(гь, гг). Мы можем получить эту величину следующим образом. Во-первых, заметим, что для гь > Гг > Гг > Гь имеет место следующее соотношение; Е[(В(га) — В(тг))(В(тг) — В(ть))] ю Е[В(а) — В(Гьь)] Х Е[В(гг) — В(гь)] = = (Е[В(га)] — ЦВ(гь)]) х(ЦВ(гг)] — Е[В(гь)]) = = (Π— 0) х (Π— 0) = О.
Первая строка данного уравнения справедлива, так как два интервала це пересекаются, и поэтому величины (В(га) — В(гг)) и (В(гг) — В(гь)) являются независим ы хщ в силу предположения о независимых приращениях. Вспомним, что для независимых случайных переменных Х и У Е[ХУ[ = Е[Х]Е[У]. Теперь рассмотрим два интервала времени (О, гь) и (гь, гг), где 0 с гь с гк Это не перекрывающиеся интервалы времени, поэтому О = Е[(В(гг) — В(гь))(В(гь) — В(О))] = = Е[(В(гг) — В(гь))В(ть)] = = Е[В(гг)В(гь)] — Е[В'(г,)] = = Е! В(гг)В(гь)] — Уаг[Вг(ть)] = = ЦВПг)В(гь)] — г.
(7.5) имание на то, что это распределение не зависит от Г и зависит только Обратите внимание н ст 8, поскольку В(г) обладает стационарными приращениями. Полезно представить себе процесс броуновского движения в виде предела дискретного во времени процесса.
Здесь мы последуем за рассуждениями, приводимыми в [78]. Рассмотрим частицу, выполняющую случайные прыжки вдоль оси вещественных чисел. Через небольшие интервалы времени т частица случайным образом прыгает на небольшое расстояние влево или вправо. Обозначим полажение частицы в момент времени Ь, как Х,(Ьт). Если прыжки в положительном и отрицательном направлениях равновероятны, тогда Х,((Ь + 1)т) с равной вероятностью равняется Х,(Ат) + 6 илн Х,(Ьт) — 8. Если допустить, что Х,(0) = О, тогда положение частицы в момент времени г будет равно Х,(() =б(У, +У„...+У„,).
Здесь Уь Уг являются независимыми случайнылш переменными, с одинаковой вероятностью равными 1 или — 1, а ] г / т~ означает наибольшее целое число, меньшее или равное г/т. Как правило, длину шага 8 нормализуют как гьт, так что Х,(г)= Б(у+у-+У1 .3). Из центральной предельной теоремы следует, что для фиксированного значения Г, если значение т достаточно малс, то сумма в предыдущем равенстве состоит из нескольких случайных переменных. Поэтому Х,(г) обладает распределением, близким к нормальному, со средним значением, равным О, и дисперсией, равной д так как сРеднее значение Уь Равно 0 и диспеРсиЯ Равна 1, КРоме того, длЯ фиксиРованных значений г и Ь, если значение т достаточно мало, то значения ..„ — Х,(г) распределены приблизительно нормально с нулевым средним значением и диене сией, равной Ь.
Наконец, отметим, что приращения Х,(г) являются незави- Р воз есимыми„Таким образом, Х„(г) представляет собой функцию, дискретную во Р пени, приближенно описывающую броуновское движение. Если разделгпь вре пенную ось точнее, приближение можно увеличить. В пределе эта функция станет процессом броуновского движения, непрерывным во времени. Процесс Пуассона и связанные с ним процессы Вспомним, что если прибытие пакетов является случайным, тогда число пакетов, чрибывших в течение некоторого интервала времени, распределено по Пуассону: Поэтому Яз(ть гг) = ЦВ(гг)В(ть)]В(ть)] = гь, где гь гг. Таким образом, в общем случае автокарреляцию В(Г) можно выразить как Ва(Д з) = ппп [Д з].
ПосколькУ сРеднее значение В(Г) Равно нУлю, автоковаРиациз совпадает с автокорреляцией. Таким образом, Св(д з) = пйп [», з]. Для любого значения г < 0 и 8 > 0 приращение процесса броуновскопг движе( ия В(г+ 8) — В(г) распределено нормально с нулевым средним значением и дисэк ния .г персией, равной 8. Таким образом, 4 Р [(В( +8) В( )) < ] 1 ~ -гйгг ( ъ)2пб 7.3.
Стохесгические процессы 213 Е[Ж(«)1 = Чаг[Ж(«)1 = Л«. Х(1) л«(«+ е) — л«(«) Е Рис. 7.4. Процессы Пуассоне Е(т) = Л',1т1> Е л + — ~1 — — у1т1кд г Л ( 1т1с й 212 Глава 7. Обзор вероятностных и стохасгических процессов Рг[прибытие й элементов за время Т[= — е (Л7) -хт И Мы можем определить считающий процесс Пуассона (Рохззоп соппгшя ргосезз) (й«(«), «> О) следующим образом: 1.
)ч(«) обладает стационарно независимыми приращениями. 2. Ф(0)=О. 3. Для 0 < «с < «ь величина Ж(«х) — Ж(«с) равняется количеству точек в интервале («с, «г) и РаспРеДелена по Пуассону со сРеДним значением, Равным Л(«г — «,), В атом случае мы получим следующие функции вероятности для Ж(«): Рг[сч'(«) = Ц = е (л«)" хн Н ясно, что процесс «хг(«) является нестационарным, так как его среднее значение зависит от времени. Каждая функция времени этого стохастического процесса (один результат) имеет вид восходящей лестницы со ступеньками единичной высоты. Увеличение функции происходит в случайные моменты времени «х Пример функции Ф(«) показан на рис.
7А, а. Стационарный процесс, связанный со считающим процессом Пуассона, представляет собой инкрементный процесс Пуассона (Роивоп 1псгешеп« ргосезз). Для считающего процесса пуассона )хс(«) со средним значением л«и для постоянной е (Е > 0) мы можем определить инкрементный процесс Пуассона Х(«) следующим образом: Среднее значение функции Х(«) равняется й/Е, где «с представляет собой количество точек в интервале (г, «+ Е). Инкрементный процесс Пуассона, полученный из считающего процесса на рис.
7А, а, показан на рис. 7А, б. Справедливо следующее выражение: Е[Х(«)[ = — Е[М(«+ Е) — — Е[)Чс(«) [ = Л. 1 1 Е Е С постоянным средним значением Х(«) представляет собой в широком смысле стационарный процесс и поэтому имеет функцию автокорреляции одной переменной Е(т), сч(ажно показать, что зта функция выглядит следукнцим образом: Таким образом, корреляция достигает максимума, когда дза временных от та находятся в пределах икгервала времени друг от друга„и является небольшой постоянной величиной для больших значений разницы времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
