Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Такая постановка задачи вполнеоправдана: квадратурная формула, точная для полиномов, будет хорошо работать длягладких функций.Переходя к решению задачи, поставленной Гауссом, будем считать, чтоинтеграл предварительно приведен к стандартной форме, когда областьюинтегрирования является отрезок [ −1,1] . С учетом этого замечания запишем искомуюквадратурную формулу в виде:1∫−1nf ( x ) dx = ∑ ci f ( xi ) + δ n ,(80)i =1где xi узлы, xi ∈ [ −1,1] , ci весовые коэффициенты, δ n остаточный член.
Для любогополинома степени ( 2n − 1) остаточный член в формуле (80) должен быть равен нулю.На протяжении этого параграфа каждый раз, когда мы будем говорить о произвольныхполиномах какой-нибудь степени, всегда будем включать в их число полиномы болеенизких степеней, не оговаривая это особо.Полагая последовательно f ( x) = 1, x, x 2 ,K, x 2 n−1 и принимая во внимание, что дляэтих функций, согласно требованию Гаусса, остаточный член должен равняться нулю,получим:1n1mm(81)ci xim , 0 ≤ m ≤ 2n − 1 .∫−1 x dx = ( m + 1) 1 + ( −1) = ∑i =1Соотношения (81) представляют собой систему 2n нелинейных уравнений с 2nнеизвестными, в качестве которых выступают узлы xi и веса ci (1 ≤ i ≤ n ) .Уравнение (81), соответствующее индексу m = 0 , дает{}n∑ci =1i= 2.(82)- 80 -Таким образом, сумма весовых коэффициентов в квадратурной формуле Гаусса прилюбом n равна двум.Задача 5.Составить и решить систему уравнений (81) для квадратурной формулы Гаусса содним узлом.В этом случае в задаче подлежат определению два параметра: узел x1 и весовойкоэффициент c1 .
Система уравнений для их определения получается из (81) при m = 0и m = 1:⎧ c1 = 2.⎨⎩c1 x1 = 0Ее решение имеет вид: x1 = 0 , c1 = 2 , так что искомая квадратурная формулазапишется следующим образом:1∫ f ( x ) dx = 2 f ( 0 ) + δ .1(83)−1Выбор в качестве единственного узла средней точки отрезка [ −1,1] выглядит посоображениям симметрии вполне естественно. Требование, чтобы сумма весовыхкоэффициентов равнялась двум (82), определяет в данном случае единственныйвесовой коэффициент c1 .
Квадратурная формула (83) является точной для любойлинейной функции Q1 = a0 + a1 x .3.2. Полиномы ЛежандраМы решили систему уравнений (81) при n = 1 . Однако решить ее «в лоб» вобщем случае при произвольном n сложно. Поэтому мы будем вынужденывоспользоваться обходным путем. Для этой цели нам понадобятся полиномыЛежандра, с которыми Вы уже встречались в курсе линейной алгебры. Ониопределяются формуламиn1 dn 2(84)Pn ( x ) = nx − 1) .n (2 n! dxВыпишем, используя эту формулу, несколько первых полиномов Лежандра3153(85)P0 ( x ) = 1 , P1 ( x ) = x , P2 ( x ) = x 2 − , P3 ( x ) = x3 − x .2222Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:1.
Полином Лежандра Pn ( x ) номера n является полиномом n -ой степени,обладающим той же четностью, что и n :nPn ( − x ) = ( −1) Pn ( x ) .(86)2. Полиномы Лежандра Pn ( x ) в точках x = ±1 принимают следующие значения:Pn (1) = 1, Pn ( −1) = ( −1) .n- 81 -3. Полином Лежандра Pn ( x ) имеет на интервале ( −1,1) n простых корней. В силусвойства 1 корни располагаются симметрично относительно точки x = 0 .4.
Любой полином Qm ( x ) степени m < n ортогонален к полиному Лежандра Pn ( x ) насегменте [ −1,1] :1∫ Q ( x ) P ( x ) dx = 0 .m(87)n−1Докажем перечисленные свойства.1. Свойство 1 напрямую следует из формулы (84).2. Представим выражение ( x 2 − 1) в виде произведенияn(x2− 1) = ( x + 1) ( x − 1)nnnи выполним n - кратное дифференцирование. В результате получим:21 nn −kkPn ( x ) = n ∑ Cnk n!( x + 1) ( x − 1) .2 n ! k =0( )(88)Все члены этой суммы, кроме нулевого, содержат множители ( x − 1) :1 ≤ k ≤ n и при x = 1 обращаются в ноль, а нулевой член дает нужное равенство:nPn (1) = 1. Второе равенство следует из (86): Pn ( −1) = ( −1) .k3. Функция ( x 2 − 1) обращается на концах отрезка [ −1,1] в ноль.
Согласно теоремеnРолля ее первая производная должна иметь по крайней мере один ноль на интервале( −1,1) . Кроме того, производная обращается в ноль в граничных точках x = ±1 .n ″2Применяя таким же образом теорему Ролля ко второй производной x − 1,{()}убеждаемся в том, что она имеет два нуля на интервале ( −1,1) и обращается в ноль вграничных точках x = ±1 .Будем продолжать этот процесс, пока не дойдем до n -ой производнойвыражения ( x 2 − 1) .
Эта производная определяет полином Лежандра с точностью доnмножителя. Она должна иметь n корней на интервале ( −1,1) . Поскольку число корнейравно степени полинома, все они должны быть простыми. Корни, как мы ужеотмечали выше, располагаются на интервале ( −1,1) симметрично относительно егосредней точки x = 0 .4. Подставим в интеграл (87) представлениепроинтегрируем по частям. В результате получим:полиномаЛежандра(84)и- 82 1n1dn 2J = n ∫ Qm ( x ) n ( x − 1) dx =2 n! −1dx11⎫⎪nndQm ( x ) d n−1 21 ⎧⎪d n−1 2x1dx= n ⎨Qm ( x ) n−1 ( x − 1) − ∫−()⎬.n −12 n! ⎪dxdxdx−1−1⎩⎭⎪Подстановки на концах отрезка [ −1,1] обращаются в ноль, поскольку степень n увыражения ( x 2 − 1) больше ( n − 1) -го порядка производной.nВыполняя процедуру интегрирования по частям m + 1 ≤ n раз, получим:1nd m+1Qm ( x ) d n−m−1 2m +1 11J = ( −1)x−dx = 0.()2n n! −∫1 dx m+1 dx n−m−1Здесь под знаком интеграла в качестве множителя стоит ( m + 1) -ая производная отполинома m -ой степени Qm ( x ) , тождественно равная нулю.
Ортогональностьдоказана.Сделаем важное замечание. Соотношение ортогональности (87) справедливо, вчастности, в случае, когда в качестве полинома Qm ( x ) взят полином Лежандра Pm ( x ) :1∫ P ( x ) P ( x ) dx = 0 , при m < n .mn−1Фактически в этом условии ортогональности не важно, какой именно из двухиндексов m или n больше, а какой меньше. Важно лишь, что они не равны. Такимобразом, из свойства 4 вытекает следствие.Следствие 1.Полиномы Лежандра образуют систему полиномов, ортогональных на отрезке [ −1,1]1∫ P ( x ) P ( x ) dx = 0 , при m ≠ n .mn(89)−1Из линейной алгебры известно, что система полиномов, ортогональных на некотороммножестве, определена однозначно с точностью до множителей.
Поэтому следствию 1можно сопоставить обратное утверждение.Следствие 2Любая система полиномов, ортогональных на отрезке [ −1,1] , совпадает сточностью до множителя с системой полиномов Лежандра.3.3. Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса.Изучив свойства полиномов Лежандра, перейдем к решению основной задачи –определению узлов и весовых коэффициентов квадратурных формул Гаусса. Составимполином n -ой степени(90)ω n ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )L( x − xn ) ,где xi - искомые узлы.
Возьмем произвольный полином Qm ( x ) степени m < n ,помножим его на полином ω n ( x ) и проинтегрируем произведение по отрезку [ −1,1] спомощью квадратурной формулы (80). Поскольку это произведение представляет- 83 -собой полином степени m + n ≤ 2n −1, формула Гаусса должна быть для него точной. Врезультате согласно (90) получим:1n∫ Q ( x )ω ( x ) dx = ∑ c Q ( x )ω ( x ) = 0 .m−1ni =1imini(91)Мы видим, что полином ω n ( x ) ортогонален к любому полиному степени m < n в томчисле и к полиномам Лежандра индекса m < n . Это означает, что он с точностью домножителя совпадает с n -ым полиномом Лежандра: ω n ( x ) = An Pn ( x ) . Отсюда следуетвывод: узлы квадратурной формулы Гаусса являются корнями полинома ЛежандраPn ( x ) . Напомним, что корни полиномов Лежандра располагаются на интервале ( −1,1)симметрично относительно его средней точки x = 0 .Для того, чтобы подсчитать весовые коэффициенты ci , введем специальныеполиномы( x − x1 )L( x − xm−1 )( x − xm+1 )L( x − xn ) .(92)Qn−1,m ( x ) =( xm − x1 )L( xm − xm−1 )( xm − xm+1 )L( xm − xn )Каждый из них является полиномом степени ( n − 1) .
В числителе у него стоитполином ω n ( x ) с опущенным множителем ( x − xm ) , в знаменателе - значениечислителя в точке x = xm . В результате такой структуры полином Qn−1,m ( x ) в точках xiудовлетворяет соотношениям:⎧0, i ≠ m.(93)Qn−1,m ( xi ) = ⎨im1,=⎩Для полинома Qn−1,m ( x ) квадратурная формула Гаусса должна быть точной. Сучетом (93) это дает1n∫ Qn−1,m ( x ) dx = ∑ ciQn−1,m ( xi ) = cm .−1(94)i =1В результате получаем следующее интегральное выражение длякоэффициентов квадратурной формулы Гаусса:11( x − x1 )L( x − xm−1 )( x − xm+1 )L( x − xn ) dx .cm = ∫ Qn−1,m ( x ) dx = ∫x − x1 )L( xm − xm−1 )( xm − xm+1 )L( xm − xn )−1−1 ( mвесовых(95)3.4.
Исследование квадратурной формулы.Нам осталось решить последний вопрос – доказать, что квадратурная формула, укоторой в качестве узлов xi берутся корни полинома Лежандра, а весовыекоэффициенты ci вычисляются по формулам (95), действительно решают задачуГаусса, являясь точной для любого полинома степени ( 2n − 1) .Проведем доказательство в два этапа. Сначала докажем, что такая формулаявляется точной для любого полинома Qn−1 ( x ) степени ( n − 1) .
Такой полином можнопредставить в виде суммы специальных полиномов (92)- 84 nQn−1 ( x ) = ∑ Qn−1 ( xm ) Qn−1,m ( x ) .(96)m =1Справедливость данного разложения вытекает из следующих соображений. Здесьлевая и правая части равенства совпадают в n точках xi , 1 ≤ i ≤ n . Но, если дваполинома ( n − 1) -ой степени совпадают в n точках, то они тождественно равны.Интегрируя равенство (96) по отрезку [ −1,1] , получим1n−1m =11n−1m =1∫ Qn−1 ( x )dx = ∑ Qn−1 ( xm ) ∫ Qn−1,m ( x ) dx = ∑ cmQn−1 ( xm ) .(97)Итак, для полиномов ( n − 1) -ой степени утверждение доказано.Теперь рассмотрим произвольный полином Q2 n−1 ( x ) степени ( 2n − 1) .
Разделимего с остатком на полином Лежандра Pn ( x ) и представим в виде:(98)Q2 n−1 ( x ) = Pn ( x ) qn−1 ( x ) + rn−1 ( x ) ,где qn−1 ( x ) и rn−1 ( x ) полиномы степени ( n − 1) . Проинтегрировав равенство (98) поотрезку [ −1,1] , будем иметь:111∫ Q ( x ) dx = ∫ {P ( x ) q ( x ) + r ( x )} dx = ∫ r ( x ) dx =2 n −1−1nn −1n −1n −1−1−1nni =1i =1n= ∑ ci rn−1 ( xi ) = ∑ ci { Pn ( xi ) qn−1 ( xi ) + rn−1 ( xi )} =∑ ciQ2 n−1 ( xi ).(99)i =11Поясним выполненные преобразования. Интеграл∫ P ( x ) q ( x ) dx опущен, посколькуn −1n−1полином Лежандра Pn ( x ) ортогонален к любому полиному ( n − 1) -ой степени.Оставшийся интеграл от полинома rn ( x ) вычислен с помощью квадратурной формулы(97).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
