Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В этом случаеуравнение (103) допускает двухкратное дифференцирование, что обеспечиваетсуществование у решения краевой задачи (103), (104) четырех непрерывныхпроизводных и позволяет написать разложения111ui −1 = ui − u′ ( xi ) h + u′′ ( xi ) h 2 − u′′′ ( xi ) h 3 + u (4) xi − θ%i h h 4 ,2624(117)111 (4)%234ui +1 = ui + u′ ( xi ) h + u′′ ( xi ) h + u′′′ ( xi ) h + u xi + θ%i h h .2624Подставляя их в формулу (111), получим следующее выражение для ψ i :h 2 (4)%(118)ψ i = {u′′ ( xi ) − qi ui + f i } +u xi − θ%i h + u (4) xi + θ%i h .24Выражение в первых фигурных скобках равно нулю в силу дифференциальногоуравнения (103).

В результате в правой части формулы (118) остается только втораягруппа членов, обязанная своим происхождением остаточным членам в разложениях(117). Оценим ее следующим образом. Функция u (4) ( x ) непрерывна и, следовательно,ограничена на отрезке [ a, b ] . Пусть{()u (4) ( x ) ≤ M 4 , a ≤ x ≤ b ,(()())}(119)тогда из формул (116) и (118) получаемMMψ c ≤ 4 h2 , z c ≤ 4 h2 .(120)12q012Мы видим, что разностная схема (107) обеспечивает второй порядок аппроксимацииуравнения и, как следствие неравенства (116), второй порядок точности дляпогрешности решения.Задача 6.Рассмотреть на отрезке [ −1,1] краевую задачуu′′ − u = −1 ,(121)(122)u ( −1) = u (1) = 0 .Выписать и решить соответствующую разностную задачу с шагом h = 0.5 .Сравнить решение разностной задачи с аналитическим решениемchxu ( x) = 1 −.(123)ch1- 111 -Система трех уравнений относительно y1 , y2 , y3 с учетом нулевых граничныхусловий имеет вид= −0.25⎧−2.25 y1 + y2⎪(124)⎨ y1 − 2.25 y2 + y3 = −0.25 .⎪y2 − 2.25 y3 = −0.25⎩Решение системы (124), как и решение исходной дифференциальной задачи,симметрично относительно средней точки, так что u1 = u3 .

С учетом этой особенностисистема (124) сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными:−2.25 y1 + y2 = −0.252 y1 − 2.25 y2 = −0.25,решение которой имеет вид0.81251.0625y1 = y3 == 0.265306 , y2 == 0.346939 .3.06253.0625В таблице 3 приведены значения xi , соответствующие узлам сетки, решениеразностной задачи yi , аналитическое решение (123), вычисленное в узлах сеткиui = u ( xi ) , погрешность решения zi (110) и погрешность аппроксимации уравнения ψ i(111). Согласно двум последним столбцам(125)z c = 0.005007 , ψ c = 0.015352Таблица 3xiyiziψiu ( xi )-1,0 0,000000 0,000000 0,000000-0,5 0,265306 0,269237 -0,003931 -0,0153520,0 0,346939 0,351946 -0,005007 -0,0136140,5 0,265306 0,269237 -0,003931 -0,0153521,0 0,000000 0,000000 0,000000Погрешность аппроксимации уравнения ψ определена только для внутренних точексетки, поэтому первая и последняя строчки последнего столбца осталисьнезаполненными.Теперь обратимся к теоретической оценке погрешности решения и погрешностиаппроксимации уравнения (120).

В данном случаеchxu (4) ( x ) = −, так что u (4) ( x ) ≤ M 4 = 1 .ch1В результате оценки (120) с учетом того, что q = 1 , дают0.250.25zc≤= 0.020833 , ψ c ≤= 0.020833 .1212Это согласуется с фактическими значениями погрешности (125), подсчитанныминепосредственно по известному решению краевой задачи (123)..

Характеристики

Список файлов лекций