Главная » Просмотр файлов » Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf)

Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729), страница 23

Файл №1113729 Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf)) 23 страницаД.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729) страница 232019-05-05СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В этом случаеуравнение (103) допускает двухкратное дифференцирование, что обеспечиваетсуществование у решения краевой задачи (103), (104) четырех непрерывныхпроизводных и позволяет написать разложения111ui −1 = ui − u′ ( xi ) h + u′′ ( xi ) h 2 − u′′′ ( xi ) h 3 + u (4) xi − θ%i h h 4 ,2624(117)111 (4)%234ui +1 = ui + u′ ( xi ) h + u′′ ( xi ) h + u′′′ ( xi ) h + u xi + θ%i h h .2624Подставляя их в формулу (111), получим следующее выражение для ψ i :h 2 (4)%(118)ψ i = {u′′ ( xi ) − qi ui + f i } +u xi − θ%i h + u (4) xi + θ%i h .24Выражение в первых фигурных скобках равно нулю в силу дифференциальногоуравнения (103).

В результате в правой части формулы (118) остается только втораягруппа членов, обязанная своим происхождением остаточным членам в разложениях(117). Оценим ее следующим образом. Функция u (4) ( x ) непрерывна и, следовательно,ограничена на отрезке [ a, b ] . Пусть{()u (4) ( x ) ≤ M 4 , a ≤ x ≤ b ,(()())}(119)тогда из формул (116) и (118) получаемMMψ c ≤ 4 h2 , z c ≤ 4 h2 .(120)12q012Мы видим, что разностная схема (107) обеспечивает второй порядок аппроксимацииуравнения и, как следствие неравенства (116), второй порядок точности дляпогрешности решения.Задача 6.Рассмотреть на отрезке [ −1,1] краевую задачуu′′ − u = −1 ,(121)(122)u ( −1) = u (1) = 0 .Выписать и решить соответствующую разностную задачу с шагом h = 0.5 .Сравнить решение разностной задачи с аналитическим решениемchxu ( x) = 1 −.(123)ch1- 111 -Система трех уравнений относительно y1 , y2 , y3 с учетом нулевых граничныхусловий имеет вид= −0.25⎧−2.25 y1 + y2⎪(124)⎨ y1 − 2.25 y2 + y3 = −0.25 .⎪y2 − 2.25 y3 = −0.25⎩Решение системы (124), как и решение исходной дифференциальной задачи,симметрично относительно средней точки, так что u1 = u3 .

С учетом этой особенностисистема (124) сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными:−2.25 y1 + y2 = −0.252 y1 − 2.25 y2 = −0.25,решение которой имеет вид0.81251.0625y1 = y3 == 0.265306 , y2 == 0.346939 .3.06253.0625В таблице 3 приведены значения xi , соответствующие узлам сетки, решениеразностной задачи yi , аналитическое решение (123), вычисленное в узлах сеткиui = u ( xi ) , погрешность решения zi (110) и погрешность аппроксимации уравнения ψ i(111). Согласно двум последним столбцам(125)z c = 0.005007 , ψ c = 0.015352Таблица 3xiyiziψiu ( xi )-1,0 0,000000 0,000000 0,000000-0,5 0,265306 0,269237 -0,003931 -0,0153520,0 0,346939 0,351946 -0,005007 -0,0136140,5 0,265306 0,269237 -0,003931 -0,0153521,0 0,000000 0,000000 0,000000Погрешность аппроксимации уравнения ψ определена только для внутренних точексетки, поэтому первая и последняя строчки последнего столбца осталисьнезаполненными.Теперь обратимся к теоретической оценке погрешности решения и погрешностиаппроксимации уравнения (120).

В данном случаеchxu (4) ( x ) = −, так что u (4) ( x ) ≤ M 4 = 1 .ch1В результате оценки (120) с учетом того, что q = 1 , дают0.250.25zc≤= 0.020833 , ψ c ≤= 0.020833 .1212Это согласуется с фактическими значениями погрешности (125), подсчитанныминепосредственно по известному решению краевой задачи (123)..

Характеристики

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее