Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729)
Текст из файла
АннотацияКнига содержит материал семестрового курса, который авторы в течение многих летчитали на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ и в егофилиалах в Севастополе и Астане для студентов второго курса. Цель книги –познакомить читателей с численными методами решения основных задач линейнойалгебры, математического анализа и обыкновенных дифференциальных уравнений.Книга предназначена для студентов классических университетов, педагогических итехнических вузов, специальность которых требует применения компьютерныхметодов в их будущей профессиональной деятельности.ПредисловиеКнига содержит материал семестрового курса, который авторы в течение многихлет читали на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ, а впоследние годы и в его филиалах в Севастополе и Астане.Опыт преподавания показал, что для студентов прикладных специальностей,имеющих дело с компьютерами, весьма полезно приступить к изучению численныхметодов по возможности раньше, одновременно с приобретением навыковпрограммирования, закрепляя навыки во время работы в компьютерном практикуме.Это способствует более глубокому неформальному усвоению материала как поматематике, так и по компьютерным технологиям.
Поэтому по инициативе академикаА. А. Самарского был разработан и включен в учебный план факультета курс«Вводные лекции по численным методам», который читается в третьем семестре.Цель курса заключается в том, чтобы рассказать студентам о численныхметодах, которые появляются с самого начала их обучения в базовых математическихкурсах - в линейной алгебре, математическом анализе, обыкновенныхдифференциальных уравнениях. Такой принцип отбора материала и определилвключение в название курса, а теперь и книги термина «Вводные лекции».Теоретическое обоснование методов проводится на достаточно строгом уровне сдоказательством сходимости и оценкой погрешности.
Проводится сравнение разныхметодов решения одной и той же математической задачи, обсуждаются их достоинстваи недостатки. Особое внимание обращается наалгоритмические аспекты иорганизацию вычислительного процесса.Книга построена таким образом, что ее отдельные главы можно читатьнезависимо. Ссылок на материал предыдущих глав практически нет. Этот принципвыдержан также при техническом оформлении материала: нумерация формул,рисунков, таблиц в каждой главе независимая.Книга написана, прежде всего, в расчете на будущих специалистов поприкладной математике и информатике, которых сейчас готовят многие университетыи технические вузы. Ею также могут воспользоваться студенты естественныхфакультетов университетов, педагогических и экономических институтов признакомстве с численными методами решения базовых математических задач икомпьютерной обработкой различного рода информации.Авторы признательны своему учителю академику Александру АндреевичуСамарскому, под влиянием которого сложился подход и стиль изложения книги.Полезные обсуждения ряда вопросов состоялись с А.
В. Гулиным, Г. Д. Ким, С. И.Мухиным. Мы считаем приятным долгом поблагодарить их за это. Благодарим такжеА. Я. Буничеву, А. В. Леоненко, А. Б Хруленко за большую помощь при подготовкекомпьютерной версии рукописи.ОглавлениеГлава 1. Численное решение линейных алгебраических систем (СЛАУ).1. Прямые методы решения СЛАУ.1.1. Формулы Крамера.1.2. Метод Гаусса.1.3.
Системы с диагональным преобладанием.1.4. Системы с трехдиагональной матрицей. Метод прогонки2. Обусловленность СЛАУ.2.1. Норма матрицы.2.2. Корректность решения СЛАУ.2.3. Число обусловленности матрицы. Корректность решения СЛАУ.2.4. Оценка числа обусловленности.3. Итерационные методы.3.1. Построение итерационных последовательностей.3.2.
Проблема сходимости итерационного процесса.3.3. Достаточные условия сходимости итерационного процесса.3.4. Метод простой итерации.3.5. Неявные методы. Метод Зейделя.3.6. Метод верхней релаксации.Глава 2. Численное решение уравнений.1. Метод вилки. Теорема о существовании корня непрерывной функции.2. Метод итераций (метод последовательных приближений).3. Метод касательных (метод Ньютона).4. Заключительные замечания.Глава 3. Приближение функций.1.
Интерполирование1.1. Классическая постановка задачи интерполирования.1.2. Интерполирование полиномами.1.3. Построение интерполяционного полинома в форме Лагранжа.1.4. Интерполяционный полином в форме Ньютона.1.5. Погрешность интерполирования.1.6. О сходимости интерполяционного процесса.1.7. Интерполяционный полином Эрмита.2. Интерполирование сплайнами.2.1. Определение кубического сплайна.2.2.
Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.2.3. Редукция системы.2.4. Замечание о решении системы.2.5. Сходимость и точность интерполирования сплайнами.3. Метод наименьших квадратов.Глава 4. Численное интегрирование.1. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование.2. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.2.1.
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и ихособенности.2.2. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапеций иСимпсона.2.3. Апостериорные оценки погрешности при численном интегрировании.3. Квадратурные формулы Гаусса.3.1. Задача построения оптимальных квадратурных формул.3.2. Полиномы Лежандра.3.3. Узлы и весовые коэффициенты квадратурных формул Гаусса.3.4. Исследование квадратурной формулы.4. Построение первообразной с помощью численного интегрирования.Глава 5.
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.1. Разностная аппроксимация производных.1.1. Сеточные функции.1.2. Разностная аппроксимация первой производной.1.3. Разностная аппроксимация второй производной.2. Численное решение задачи Коши.2.1. Метод Эйлера.2.2. Повышение точности разностного метода.2.3. Метод Рунге-Кутта.2.4. Метод Адамса.3. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциальногоуравнения второго порядка.Подписи под рисункамиГлава 1.Рис. 1. Определение границы интервала сходимости τ 0 метода простой итерации.Рис. 2. Определение оптимального значения итерационного параметра τ * , при которомскорость сходимости метода простой итерации наибольшая.Глава 2.Рис.
1. График функции f ( x ) = x − cos x .Рис. 2. Построение последовательности {xn } по методу касательных.Рис. 3. Случай, когда процесс построения последовательности {xn } обрывается из-заплохого выбора нулевого приближения.Глава 3.Рис. 1. Сравнение графиков функции y = sin ( x ) (сплошная линия) иинтерполяционного полинома P2 ( x ) (пунктир).1 ⎞⎛9⎞⎛Рис. 2.
График функции ω 4 ( x ) = ⎜ x 2 − ⎟ ⎜ x 2 − ⎟4 ⎠⎝4⎠⎝Рис. 3. Сравнение графиков функции y = sin ( x ) (сплошная линия) иинтерполяционного полинома H 2 ( x ) (пунктир).Рис. 4. Сравнение значений функции, приведенной в таблице, и линейной функцииF ( x ) = 1.004 + 0.984 x . Значения yi = f ( xi ) заданы с погрешностью ε = 0.1 .Глава 4.Рис. 1. Геометрическая интерпретация формулы прямоугольников.Рис. 2. Геометрическая интерпретация формулы трапеций.Рис.
3. График интегрального синуса.Рис. 4. График функции ошибок.Глава 5.Рис. 1. Зависимость точности численного решения задачи Коши (51), (52) по схемеЭйлера от шага h . Линии I, II, III соответствуют шагом h1 = 0.25 , h1 = 0.05 , h1 = 0.01 ,При выбранном масштабе линия III практическисовпадает с графикоманалитического решения задачи (53) (пунктирная линия).µ1µn (τ) = 1 − λnτ0τ0 = 2 / λ1µ1 (τ) = 1 − λ1τ-1µ2 (τ) = 1 − λ2ττµ1|µ2(τ)|||C (τ)|||µ1(τ)|0−1|µn(τ)|τ0 / 2τ*τ0τya0c1011000011010100110011010x3 x2 x1 x1010010101010101010101010101010b1xy01100x1ac100110010101010101010101010101011100x00b1xy0ax0x1x2x3x4bxy0ax0x1x2x3x4bx-1-Глава 1.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХСИСТЕМ (СЛАУ)В этой главе рассматривается одна из самых важных задач линейной алгебры –решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравненийравно числу неизвестных:a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn = f1a21 x1 + a22 x2 + K + a2 n xn = f 2KKKKKKKKKKKKили в сокращенной записи:(1)an1 x1 + an 2 x2 + K + ann xn = f nn∑a xj =1ijj= f i , i = 1, 2,K, n .Коэффициенты ai , j при неизвестных x j образуют матрицу системы (1)⎡ a11 a12 K a1n ⎤⎢aa22 K a2 n ⎥21⎥.A= ⎢(2)⎢K K K K ⎥⎢a⎥⎣ n1 an 2 K ann ⎦Всюду на протяжении этой главы мы будем считать определитель матрицы отличнымот нуля∆ = det A ≠ 0 .(3)В этом случае система (1) называется невырожденной.
Решение невырожденнойсистемы всегда существует и является единственным. Обсудим методы фактическогопостроения этого решения.§1. Прямые методы решения СЛАУ.Прямыми называются методы, которые позволяют получить точное решениеневырожденной системы (1) за конечное число операций.1.1. Формулы КрамераФормулы Крамера представляют компоненты x j решения системы (1) в видеотношения двух определителей:x j = ∆ j / ∆ , j = 1, 2,K, n ,(4)где∆ j = det Aj , j = 1, 2,K, n .(5)Здесь матрица Aj получается из матрацы A заменой ее j -го столбца столбцом правыхчастей системы (1)-2⎡ a11 K a1, j −1 f1 a1, j +1 K a1n ⎤⎢a K af 2 a2, j +1 K a2 n ⎥212, j −1⎥(6)Aj = ⎢MMMMMM ⎥⎢ M⎢a K af n an , j +1 K ann ⎥⎦n , j −1⎣ n1С теоретической точки зрения формулы Крамера (4) дают исчерпывающеерешение проблемы.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
