Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вычислить погрешность по формуле (60) нельзя,поскольку положение точки η неизвестно, но можно ее оценить. Пусть f (4) ( x) ≤ M 4 ,тогда(b − a ) M 4 .γn ≤45(61)180nДанная оценка позволяет определить, с каким n нужно проводить вычисления, чтобыпогрешность не превышала заданной точности ε . Кроме того, если четвертаяпроизводная функции f ( x) является знакоопределенной, то формула (60) дает знакпогрешности, что также может оказаться полезным при организации вычислений.Метод Симпсона является методом более высокого порядка точности –четвертого.
В этом его преимущество перед методами прямоугольников и трапеций,Правда, приведенные выше оценки остаточного члена, требуют большей гладкостиподынтегральной функции – она должна быть четыре раза непрерывнодифференцируема.Задача 2.Вычислить интеграл (46) по формуле Симпсона при n = 2 .В данном случаеS2 =π ⎛ππ⎞⎜ sin 0 + 4sin + sin ⎟ = 1.002280 ,12 ⎝42⎠γ 2 = −0.002280 .(62)(63)⎡ π⎤Четвертая производная функции sin x на отрезке ⎢0, ⎥ положительна и не⎣ 2⎦превосходит единицы, так что знак погрешности согласуется с формулой (60), а еевеличина – с оценкой (61):51 ⎛π ⎞γ2 ≤⎜ ⎟ < 0.0034.180 ⋅ 16 ⎝ 2 ⎠- 76 -2.3. Апостериорные оценки погрешности при численном интегрировании.В латинском языке существуют два термина – антонима: априори (a priori) иапостериори (a posteriori). Первый означает изначально, независимо от опыта, второй– на основании опыта.
Оба они часто используются в вычислительной математике,подразделяя информацию на ту, которая известна до начала вычислений, и ту, котораяполучается в процессе вычислений.Оценки погрешности квадратурных формул прямоугольников (43), трапеций(44), Симпсона (61) называют априорными.
Они справедливы изначально ипредсказывают точность вычисления интеграла независимо от того, будем мыфактически проводить вычисления или нет. Эти результаты позволяют понятьструктуру остаточных членов, определить скорость их убывания при возрастании n .Однако недаром говорят, что недостатки являются продолжением достоинств.Постановка задачи численного интегрирования предполагает, что известен алгоритмвычисления подынтегральной функции f ( x) при любом значении аргумента x наотрезке [ a, b ] и все. В оценки же (43), (44), (61) входят константы M 2 и M 4 ,мажерирующие вторую и четвертую производные функции f ( x) в асимптотическиеформулы (38) и (59) – значения первой и третьей производных в граничных точкахотрезка [ a, b ] . Такая информация выходит за рамки первоначальной постановки задач.Чтобы ее получить и использовать в процессе вычислений, нужно провестидополнительное исследование функции f ( x) .
В случае, когда функция f ( x) заданасравнительно простой формулой, такое исследование возможно, хотя требуетопределенных усилий и времени. В случае же, когда она задается графиком, таблицей,определяется как сложная неявная функция и т. д., на этом пути возникают большиеили даже непреодолимые трудности.
В связи с этим перейдем к обсуждению методовоценки погрешности численного интегрирования, которые не требуютпредварительного анализа производных подынтегральной функции. Они используютсопоставление результатов вычислений с разным числом точек n и называютсяапостериорными (буквально, основанными на опыте, что в данном случае означаетоснованными на результатах вычислений).Начнем обсуждение идеи апостериорных оценок погрешности с методов второгопорядка – прямоугольников и трапеций.
Предположим, что мы провели расчеты пометоду прямоугольников с числом точек n / 2 ( n - четное число), а потом с числомточек n и в результате получили два числа - Pn / 2 и Pn . Согласно формулам (9) и (32)это позволяет написать соотношения4I = Pn / 2 + 2 ( A + µ n / 2 ) ,n(64)1I = Pn + 2 ( A + µ n ) .nВычитая теперь второе равенство из первого, получим31( Pn / 2 − Pn ) + 2 A + 2 ( 4µ n / 2 − µ n ) = 0nnили- 77 -114A + µ n ) = ( Pn − Pn / 2 ) + 2 ( µ n − µ n / 2 ) .(65)2 (33nnПервый член в правой части этого представления остаточного члена нам известен изрезультатов вычислений.
Он является главным. Второй член неизвестен, но он, посравнению с первым, представляет собой бесконечно малую более высокого порядка.Если им пренебречь, то для погрешности получится простая асимптотическаяформула:1α n ≈ ( Pn − Pn / 2 ) .(66)3Ее относительная точность возрастает при увеличении n .Аналогичные формулы имеют место для погрешности метода трапеций141β n = (Tn − Tn / 2 ) + 2 (ν n − ν n / 2 ) ≈ (Tn − Tn / 2 ) .(67)33n3Для метода Симпсона, который является методом четвертого порядка, формулынемного изменяются. Теперь соотношения, аналогичные (64), будут иметь вид:16I = Sn / 2 + 4 ( C + σ n / 2 ) ,n(68)1I = Sn + 4 ( C + σ n ).n(Здесь число n предполагается кратным четырем, так что n / 2 четное число.) Проводяв (68) вычитание второй строки из первой, получим1116γ n = 4 ( C + σ n ) = ( Sn − Sn / 2 ) +(69)(σ n − σ n / 2 ) .1515n 4nЗдесь опять первый член в правой части равенства известен из вычислений.
Онявляется главным. Второй член неизвестен, но он представляет собой бесконечномалую более высокого порядка по сравнению с первым. Если им пренебречь, тополучим асимптотическую формулу для приближенного вычисления погрешности порезультатам двух вычислений1γ n ≈ ( Sn − Sn / 2 ) .(70)15Ее относительная точность возрастает с увеличением n .Обычно апостериорные оценки погрешности с помощью асимптотическихформул (66), (67), (70) включают в компьютерные программы численногоинтегрирования. Они служат критерием для завершения вычислений после того, какнужная точность достигнута.В заключение отметим следующее.
Можно подставить полученные выражениядля остаточных членов (65), (67), (69) в исходные квадратурные формулы (9), (14) и(18). В результате они примут вид:41I = Pn − Pn / 2 + α% n ,(71)3341I = Tn − Tn / 2 + β%n ,(72)33αn =- 78 -161S n − Sn / 2 + γ%n ,(73)1515где α% n , β%n , γ%n - остаточные члены этих модифицированных формул4α% n = 2 ( µ n − µ n / 2 ) = o ( n −2 ) ,(74)3n4β%n = 2 (ν n − ν n / 2 ) = o ( n −2 ) ,(75)3n16γ%n =σ − σ n / 2 ) = o ( n −4 ) .(76)2 ( n15nФормулы (71), (72), (73), написанные по результатам двух расчетов с числом точекn / 2 и n , являются асимптотически более точными, чем исходные. В исходныхформулах погрешности убывают, соответственно, как n−2 , n−2 , n−4 , вмодифицированных формулах погрешности, согласно (74), (75), (76) являютсябесконечно малыми более высокого порядка.
Однако для исходных формул известныоценки погрешностей (43), (44). (61). Для модифицированных формул в нашемраспоряжении оценок нет. Если мы хотим ими пользоваться, то нужно провестисоответствующее исследование. Исключение составляет формула (72). Согласноформуле (21) ее можно переписать в видеI = Sn + β%n ,(77)т. е. модифицированная формула трапеций оказалась просто формулой Симпсона суже известным остаточным членом γ n = β%n .I=Задача 3.Вычислить по формуле Симпсона интеграл (46) с n = 4 . Используя результаты задачи2, найти приближенную апостериорную погрешность (70).В данном случаеππ3ππ⎞+ sin ⎟ = 1.000135 ,(78)⎜ sin 0 + 4sin + 2sin + 4sin24 ⎝8482⎠γ 4 = −0.000135 .Апостериорная оценка погрешности по результатам двух расчетов дает1γ 4 ≈ ( S4 − S 2 ) = −0.000143 .15Несмотря на маленькое число точек, она хорошо согласуется с фактическойпогрешностью (78), сосчитанной «в лоб» по известному значению интеграла (46).S4 =π ⎛Задача 4.Используя результаты решения задач 2 и 3, посчитать интеграл (46) помодифицированной формуле Симпсона (73).В данном случае- 79 -161S 4 − S2 = 0.999992 ,(79)1515γ%4 = 0.000008 .Модифицированная формула Симпсона (73) без дополнительных вычисленийпозволила на порядок улучшить результат, полученный по обычной формулеСимпсона.
Отметим, что погрешности при расчетах по формулам (78) и (79) имеютпротивоположные знаки.I≈§3. Квадратурные формулы Гаусса.3.1. Задача построения оптимальных квадратурных формул.Точность квадратурной формулы определяется выбором узлов и весовыхкоэффициентов. Например, формулы трапеций и Симпсона имеют одинаковые узлы,но различные веса и, как следствие, их точность оказывается разной.
В связи с этиместественно возникает задача поиска наилучшей квадратурной формулы с заданнымчислом узлов n . Обсудим постановку и решение такой задачи в формулировке Гаусса:построить квадратурную формулу с числом узлов n , которая является точной длялюбого полинома степени ( 2n − 1) или ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
