Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Два крайнихотрезка [ a,η1 ] и [ηn , b ] имеют длину h 3 . Отрезки, в центре которых лежат точки xi счетными номерами, - длину 2 h 3 , отрезки, в центре которых лежат точки xi снечетными номерами, – длину 4h 3 .Для построения интегральной суммы, соответствующей данному разбиению,возьмем для крайних отрезков значения функции f ( x) в точках a и b , для остальныхотрезков – значение функции f ( x) в их средних точках xi . В результате получиминтегральную сумму в виде выражения (17). Разные длины частичных отрезковприводит к своеобразному чередованию коэффициентов в виде двоек, четверок иединиц в крайних точках.Заканчивая обсуждение формул (13) для Tn и (17) для Sn , установим полезнуюдля дальнейшего связь между этими величинами41Sn = Tn − Tn 2 .(21)33Здесь Tn 2 - сумма (13) с вдвое меньшим числом слагаемых и, соответственно, с вдвоебольшим шагом. Благодаря этому при ее образовании в качестве узлов используютсяточки xi (6) только с четными номерами.
Поскольку в формуле Симпсона n- 70 -предполагается обязательно четным, то n / 2 - целое число, так что выражение Tn 2определено.Соотношение (21) проверяется «в лоб». Из (13) следует, что:4b−aTn ={2 f ( a ) + 4 f ( x1 ) + 4 f ( x2 ) + K + 4 f ( xn−2 ) + 4 f ( xn−1 ) + 2 f ( b )} ,33n1b−aTn 2 ={ f ( a ) + 2 f ( x2 ) + K + 2 f ( xn−2 ) + 2 f ( b )} .33nВычитая теперь вторую строку из первой, получим равенство (21).2.2. Сходимость и точность квадратурных формул прямоугольников, трапецийи Симпсона.После того, как мы установили, что величины Pn , Tn , Sn являютсяинтегральными суммами, проблема сходимости рассмотренных методов численногоинтегрирования решается элементарно.
Их сходимость имеет место для любойинтегрируемой функции:limα n = 0 , lim Pn = I ,(22)n→∞n→∞n→∞n→∞lim β n = 0 , lim Tn = I .(23)lim γ n = 0 lim Sn = I .(24)n→∞n→∞Этот вывод является прямым следствием определения интегрируемости.Предельные соотношения (22) – (24) доказывают принципиальную возможностьвычисления интеграла от произвольной интегрируемой функции каждым из трехметодов с любой точностью ε за счет выбора достаточно большого n и,соответственно, малого шага h = ( b − a ) / n .После общего вывода о сходимости методов перейдем к обсуждению основноговопроса, связанного с организацией реального вычислительного процесса: какимнужно взять n , чтобы добиться при вычислении интеграла нужной точности.
Ответ нанего требует анализа остаточных членов. При этом на функцию f ( x) приходитсянакладывать дополнительные ограничения, выходящие за рамки предположения обинтегрируемости.Начнем с обсуждения остаточных членов в квадратурных формулахпрямоугольников и трапеций. Предположим, что функция f ( x) дважды непрерывнодифференцируема на отрезке [ a, b ] .
В курсе математического анализа при этомпредположении устанавливаются формулыxih3fxdx=fh+f ′′ (ηi* ) ,ξ(25)( i)∫x ( )24i −1xi∫xi −1f ( xi −1 ) + f ( xi )h3f ( x ) dx =h−f ′′ (ηi** ) ,212(26)- 71 -где ηi* и ηi** - некоторые точки отрезка [ xi −1 , xi ] . Существование таких точекгарантировано, но их точное положение неизвестно. (См В. А. Ильин, Э. Г.
Позняк«Основы математического анализа». М. 1965. С. 389-397.)Суммируя равенства (25) и (26) по i , получим формулы (9) и (14) соследующими выражениями для остаточных членовh3 nα n = ∑ f ′′ (ηi* ) ,(27)24 i =1h3 nβ n = − ∑ f ′′ (ηi** ) .(28)12 i =1Рассмотрим суммыnnh∑ f ′′ (ηi* ) и h∑ f ′′ (ηi** ) .i =1(29)i =1Функция f ′′( x) по предположению непрерывна и, следовательно, интегрируема наотрезке [ a, b ] . С учетом этого замечания выражения (29) можно рассматривать какbинтегральные суммы для интеграла∫ f ′′( x)dx . Отсюда следует вывод:anlim h∑ f ′′ (ηb) = ∫ f ′′ ( x ) dx = f ′ ( b ) − f ′ ( a ) ,(30)lim h∑ f ′′ (ηi** ) = ∫ f ′′ ( x ) dx = f ′ ( b ) − f ′ ( a ) .(31)n →∞n →∞i =1*inabi =1aПредельные равенства (30) и (31) позволяют записать остаточные члены квадратурныхформул прямоугольников и трапеций в виде1α n = 2 ( A + µn ) ,(32)n1βn = 2 ( B +ν n ) ,(33)nгде2b − a)(A=(34){ f ′ ( b ) − f ′ ( a )} ,242b⎫b − a) ⎧ n(*(35)µn =⎨h∑ f ′′ (ηi ) − ∫ f ′′ ( x ) dx ⎬ → 0 , при n → ∞ ,24 ⎩ i =1a⎭(b − a )B=−(b − a )νn = −1222{ f ′ ( b ) − f ′ ( a )} ,(36)b⎧ n⎫**(37)⎨h∑ f ′′ (ηi ) − ∫ f ′′ ( x ) dx ⎬ → 0 , при n → ∞ .12 ⎩ i =1a⎭Формулы (32) и (33) выделяют в остаточных членах главные слагаемые A / n2 и B / n2 ,которые при возрастании n стремятся к нулю как n−2 .
Важно подчеркнуть, что- 72 -коэффициенты A (34) и B (36) от n не зависят. Дополнительные слагаемые µ n / n 2 иν n / n 2 являются бесконечно малыми более высокого порядка. Если ими пренебречь посравнению с главными слагаемыми, то получатся простые асимптотическиепредставления остаточных членовα n ≈ An −2 и β n ≈ Bn −2 .(38)Их относительная точность возрастает при увеличении n .Теперь получим другие представления остаточных членов. Из курсаматематического анализа известно следующее утверждение.Лемма.Пусть функция ϕ ( x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и пусть x1 , x2 ,K, xn -некоторыеточки этого отрезка.
Тогда на отрезке [ a, b ] найдется такая точка η , что1 n(b − a ) M 2 .ϕx=ϕη≤(39),β()()∑ inn i =112n 2Иными словами, среднее арифметическое значений непрерывной функции внескольких точках отрезка [ a, b ] , равно ее значению в одной из точек этого отрезка.Применяя это утверждение к суммам (27) и (28), получим другое представлениеостаточных членов α n и β n :3(b − a )αn =23f ′′ (η * ) , a ≤ η * ≤ b ,(40)24n3b − a)(f ′′ (η ** ) , a ≤ η ** ≤ b .βn = −(41)212nФормулы (40) и (41) не позволяют вычислить остаточные члены: существованиеточек η * и η ** на отрезке [ a, b ] гарантировано, но их положение неизвестно.
Однакоэти формулы можно использовать для оценки остаточных членов. Пусть известночисло M 2 , которое является мажорантой для второй производной функции f ( x) :(42)f ′′( x ) ≤ M 2 , a ≤ x ≤ b ,тогда равенства (40) и (41) можно заменить неравенствами:3b − a) M2(αn ≤,(43)24n 23b − a) M2(.(44)βn ≤12n 2При заданной точности ε они позволяют определить число узлов n , которое нужноиспользовать при вычислении интеграла по рассматриваемым квадратурнымформулам.В случае, когда вторая производная функции f ( x) является знакоопределеннойна отрезке [ a, b ] , формулы (40) и (41) позволяют определить знаки остаточных членов.При этом существенно то, что они оказываются противоположными.
Пусть, например,- 73 -f ′′( x) ≥ 0 , в этом случае α n ≥ 0 ,двухсторонняя оценкаβ n ≤ 0 так что для интеграла получаетсяPn ≤ I ≤ Tn .(45)При отрицательной второй производной f ′′( x) сохраняется двухсторонняя оценка, нознаки неравенств (45) меняются на противоположные. Такие оценки очень удобны,поскольку позволяют легко контролировать точность вычислений: в случае (45) Pn иTn дают значение интеграла с недостатком и избытком с ошибкой, не превышающейε n = Tn − Pn , в противоположном случае Pn и Tn меняются ролями.Заканчивая обсуждение методов прямоугольников и трапеций, сделаемследующее замечание. Формулы (32), (33), оценки (43), (44) показывают, что в случаедважды непрерывно дифференцируемой подынтегральной функции остаточные членыα n и β n убывают как n−2 .
Однако, если отказаться от этого требования гладкости, тоданные результаты теряют силу. В этом случае для интегрируемых функций можногарантировать стремление остаточных членов к нулю, но нельзя утверждать, что онопроисходит со скоростью n−2 .Можно поставить прямо противоположный вопрос. Нельзя ли, повышаятребование гладкости подынтегральной функции, увеличить скорость сходимостиметодов? Ответ на него отрицательный. Предположение о существовании у функцииf ( x) четырех или шести производных не может изменить формул (32) и (33), так чтоскорость убывания остаточных членов при возрастании n останется прежней - n−2 .Поэтому методы прямоугольников и трапеций называют методами второго порядкаточности, добавляя при этом – для дважды непрерывно дифференцируемых функций.Задача 1.Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций при n = 2 интегралπ /2I=∫ sin xdx = 1 .(46)0В данном случаеπ3π ⎞(47)⎜ sin + sin ⎟ = 1.026172 ,4⎝88 ⎠π ⎛1π 1 π⎞T2 = ⎜ sin 0 + sin + sin ⎟ = 0.948059 .(48)4⎝24 22⎠Зная точный ответ (46), найдем погрешностиα 2 = -0.026172 и β 2 = 0.051941 .(49)Вторая производная функции sin x на отрезке [ 0,π / 2] отрицательна, ее модуль непревышает единицы: M 2 = 1.
Мы видим, что знаки погрешности α 2 и β 2 (49)согласуются с формулами (40) и (41). Они противоположны, так что для интеграла Iсправедлива двусторонняя оценка, аналогичная (45), но другого знака:T2 ≤ I ≤ P2 .(50)Величина погрешностей (49) удовлетворяет неравенствам (43) и (44):P2 =π⎛- 74 331 ⎛π ⎞1 ⎛π ⎞(51)α 2 ≤ ⎜ ⎟ < 0,041 , β 2 ≤ ⎜ ⎟ < 0,081.96 ⎝ 2 ⎠48 ⎝ 2 ⎠Перейдем к обсуждению остаточного члена γ n в методе Симпсона, котороепроведем при предположении о четырехкратной непрерывной дифференцируемостиподынтегральной функции f ( x) . Напомним, что в методе Симпсона число точек nвыбирается четным, так что n / 2 является целым числом.Рассмотрим отрезок двойной длины 2h , расположенный между точкамиразбиения (6) с четными номерами ⎡⎣ x2 j −2 , x2 j ⎤⎦ , 1 ≤ j ≤ n / 2 .
В курсе математическогоанализа выводится формула:x2 ihh5 (4)∫ f ( x ) dx = 3 f ( x2 j −2 ) + 4 f ( x2 j−1 ) + f ( x2 j ) − 90 f (η j ) ,x2 j − 2{}(52)где η j ∈ ⎡⎣ x2 j −2 , x2 j ⎤⎦ . Существование такой точки гарантировано, но ее точноеположение на отрезке неизвестно.Суммируя равенства (52) по j , получим квадратурную формулу (18) соследующим выражением для остаточного члена:h5 n / 2 (4)(53)γ n = − ∑ f (η j ) .90 j =1Из формулы (53), аналогичной формулам (27), (28), можно вывести различныепредставления остаточного члена и изучить его свойства.Рассмотрим суммуn/22h∑ f (4) (η j ) .(54)j =1(4)Функция f ( x) предполагается непрерывной и, следовательно, интегрируемой наотрезке [ a, b ] .
С учетом этого сумму (54) можно рассматривать как интегральнуюbсумму для интеграла∫f(4)( x)dx . Отсюда следует выводan/2lim 2h ∑ fn →∞j =1b(4)(η ) = ∫ f ( x ) dx = f ′′′ ( b ) − f ′′′ ( a ) .(4)j(55)aПредельное равенство (55) позволяет записать остаточный член квадратурнойформулы Симпсона (53) в виде1γ n = 4 (C + σ n ) ,(56)n4b − a)(C=−(57){ f ′′′ ( b ) − f ′′′ ( a )} ,1804b⎫b − a ) ⎧ n / 2 (4)((4)σn = −(58)⎨2h∑ f (η j ) − ∫ f ( x ) dx ⎬ → 0 , при n → ∞ .180 ⎩ j =1a⎭- 75 -Эта формула, как и формулы (32), (33) для методов прямоугольников и трапеций,выделяет в остаточном члене γ n главное слагаемое C / n4 , которое стремится к нулюкак n−4 . Коэффициент C (57) не зависит от n .
Дополнительное слагаемое σ n / n 4является бесконечно малой более высокого порядка. Если им пренебречь, тополучится асимптотическое представление остаточного членаγ n ≈ Cn −4 .(59)Его относительная точность возрастает с увеличением n .Другое представление остаточного члена γ n можно вывести с помощьюформулы (39). Она позволяет записать формулу (53) в виде5b − a ) (4)(γn = −f (η ) ,(60)180n 4где η - какая-то точка отрезка [ a, b ] .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
