Д.П. Костомаров, А.П. Фаворский - Вводные лекции по численным методам (pdf) (1113729), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обычно бывает известна точность ε , скоторой задаются значения функции yi . Например, если речь идет обэкспериментальных данных, то ошибка в определении yi зависит от методикипроведения измерений и точности приборов.Предположим, что в разобранном примере числа yi заданы с точностью ε = 0,1 . Вэтом случае построенная линейная функция согласуется с доступной наминформацией о функции y ( x ) : погрешности (107) по модулю не превышают ε . Врезультате мы можем утверждать, что в пределах точности задания таблицызависимость y от x можно принять линейной.Это видно на рис.4. На нем показаны точки ( xi , yi ) , соответствующиерассматриваемой таблице.
Для каждой из них указан доверительный интервалyi − 0.1 ≤ y ≤ yi + 0.1 , в пределах которого может реально находится значение функцииy ( xi ) с учетом точности задания величины yi . Прямая (106) везде проходит внутридоверительных интервалов, что подтверждает сделанный выше вывод.Рассмотрим теперь противоположный случай: будем считать, что величины yiзаданы с более высокой точностью ε = 0,01 . При такой точность построеннаялинейная аппроксимация (106) не согласуется с данными таблицы: погрешностьаппроксимации (107) превышает по модулю ε . В этом случае нужно либо увеличитьчисло членов в разложении функции F ( x ) , добавив к линейной функцииквадратичный член a2 x 2 , либо заменить систему функций ϕ k ( x ) , по которым ведетсяразложение, на какую-нибудь другую.- 65 -Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ§1.
Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование.Из курса математического анализа Вы знакомы с вычислением определенныхинтегралов с помощью формулы Ньютона-ЛейбницаbI = ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .(1)aгде F ( x) - любая первообразная подынтегральной функции f ( x) на отрезке [ a, b ] .Формула Ньютона-Лейбница играет важную роль, устанавливая связь задачиопределенного интегрирования с задачей отыскания первообразной (с задачейнеопределенного интегрирования). Она позволяет вычислять интегралы отэлементарных функций, первообразные которых тоже являются элементарнымифункциями.
Например,2dx2(2)=lnx= ln 2 .∫1 x1Однако существует много простых функций, первообразные которых не выражаютсячерез элементарные функции. В качестве примера можно привести такие функции как2e − x или sin x/x . Для них описанный способ вычисления определенных интеграловнеприменим. Формула Ньютона-Лейбница не позволяет также вычислять интегралыот функций, которые задаются графиком или таблицей. Иными словами, она не даетобщего, универсального метода нахождения определенного интеграла отпроизвольной функции f ( x) по ее значениям на отрезке [ a, b ] , она не являетсяалгоритмом решения рассматриваемой задачи.Универсальные алгоритмы вычисления определенных интегралов даютформулы численного интегрирования или, как их обычно называют, квадратурныеформулы (буквально формулы вычисления площадей).
Квадратурные формулы имеютвид:bnai =1I = ∫ f ( x ) dx = ∑ ci f ( xi ) + Rn .(3)Здесь точки xi ∈ [ a, b ] называют узлами, коэффициенты ci -весовыми множителямиили просто весами, величину Rn - остаточным членом или погрешностью. Узлы и весаподбираются таким образом, чтобы выполнялось предельное равенство:nlim Rn = 0 , так что lim ∑ ci f ( xi ) = I .n→∞n→∞(4)i =1Суть этого требования заключается в следующем.
Если пренебречь в формуле (3)остаточным членом Rn , то получится приближенное равенство:bnai =1I = ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ ci f ( xi ) .(5)- 66 -Условие (4), которое называют сходимостью, позволяет сделать погрешность вравенстве (5) меньше любого наперед заданного числа за счет выбора достаточнобольшого n .Таким образом, открывается возможность вычислить интеграл I с любойнаперед заданной точностью по значениям функции f ( x) , взятым в разных точках xiотрезка [ a, b ] . Чем выше требование точности, тем больше слагаемых приходитсяудерживать в сумме. За точность приходится платить увеличением объемавычислений.В заключение сделаем следующее замечание.
Подставляя в формулу (3)функцию f ( x) = 1 , получим:n( b − a ) = ∑ ci + Rn .i =1Обычно весовые коэффициенты ci подбираются таким образом, чтобы выполнялосьравенство:n( b − a ) = ∑ ci ,i =1т. е., чтобы при интегрировании константы равенство (5) было не приближенным, аточным.В следующих параграфах этой главы мы обсудим методы построенияквадратурных формул и с разных сторон разберем проблему оценки их точности.§2. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.2.1.
Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и ихособенности.С квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона Вы ужевстречались в курсе математического анализа, поэтому их вывод будет изложенконспективно.Возьмем произвольное целое число n и разобьем отрезок [ a, b ] , по которомуведется интегрирование, на n равных отрезков длиной h = ( b − a ) nточкамиxi = a + ih, 0 ≤ i ≤ n .(6)Для дальнейшего нам также понадобятся средние точки этих отрезковξi = a + ( i − 1 2 ) h, ξi ∈ [ xi −1 , xi ] , 1 ≤ i ≤ n .(7)Идея вывода формулы прямоугольников очень проста. Построим с помощьюпроведенного разбиения интегральную сумму, в которой значения функции f ( x) длякаждого отрезка [ xi −1 , xi ] вычисляются в его средней точке ξ i (7):b−a nPn =(8)∑ f (ξ i ) .n i =1Принимая во внимание то, что интегральная сумма дает приближенное значениеинтеграла, можно написать:I = Pn + α n .(9)- 67 -В квадратурной формуле (9) узлами являются точки ξ i (7), все весовые множителиодинаковы и равны h = ( b − a ) n .
Для остаточного члена введено специальноеобозначение α n .Формулу (9) называют формулой прямоугольников. Причина такого названияимеет простой геометрический смысл. Величина Pn (8) представляет собой суммуплощадей прямоугольников с одинаковыми основаниями h = ( b − a ) n и высотамиf (ξi ) . Она аппроксимирует с точностью до α n площадь криволинейной трапеции,соответствующей исходному интегралу (см. рис. 1).Идея вывода квадратурных формул трапеций и Симпсона иная. Она заключаетсяв том, чтобы сопоставить подынтегральной функции f ( x) близкую ей функциюg n ( x) , которую можно проинтегрировать, и приближенно заменить искомый интегралI интегралом от этой функции.Рассмотрим, как данная идея реализуется при выводе формулы трапеций. В этомслучае в качестве аппроксимирующей функции g n ( x) берется кусочно – линейнаяфункция.
На каждом из частичных сегментов [ xi −1 , xi ] она задается формулойf ( xi ) − f ( xi −1 )(10)( x − xi−1 ) ,hx ∈ [ xi −1 , xi ] , 1 ≤ i ≤ n .В граничных точках отрезка x = xi −1 и x = xi функция g n ( x) принимает те же значения,что и функция f ( x) :(11)g n ( xi −1 ) = f ( xi −1 ) , g n ( xi ) = f ( xi ) ,т. е. она осуществляет кусочно – линейную интерполяцию функции f ( x) на отрезке[ a, b] (см. рис.
2).Вычислим интеграл:xixi⎧⎫f ( xi ) − f ( xi −1 )h( x − xi−1 )⎬ dx = ( f ( xi−1 ) + f ( xi ) ) . (12)∫x gn ( x)dx = x∫ ⎨⎩ f ( xi−1 ) +h2⎭i −1i −1g n ( x) = f ( xi −1 ) +Этот результат имеет простой геометрический смысл: фигура ограниченная снизуотрезком [ xi −1 , xi ] оси x , сверху отрезком прямой (10), с боков вертикальными прямымx = xi −1 и x = xi , представляет собой трапецию, площадь которой дается формулой (12).Интеграл от функции g n ( x) по всему отрезку [ a, b ] является суммой интегралов(12)bnTn = ∫ g n ( x)dx = ∑axi∫ g ( x)dx =i =1 xi −1nb − a ⎧11⎫⎨ f ( a ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + K + f ( xn−1 ) + f ( b ) ⎬.n ⎩22⎭Он дает приближенное значение интеграла I :=(13)- 68 bI = ∫ f ( x ) dx = Tn + β n ,(14)aВ квадратурной формуле (14) узлами являются точки xi (6).
Все весовыекоэффициенты, кроме двух, одинаковы и равны h = ( b − a ) n , а весовыекоэффициенты при i = 0 и i = n имеют значения в два раза меньше. Для остаточногочлена введено специальное обозначение β n . Формулу (14) называют квадратурнойформулой трапеций. С точностью до β n она выражает площадь криволинейнойтрапеции, соответствующую интегралу I , через сумму площадей трапеций (12) (см.рис. 2).Формула (8) для величины Pn изначально строилась как интегральная сумма.При выводе формулы (13) для величины Tn понятие интегральной суммы неиспользовалась.
Однако теперь, когда формула уже получена, видно, что величину Tnтоже можно интерпретировать как интегральную сумму. Чтобы убедиться в этом,рассмотрим разбиение отрезка [ a, b ] на частичные отрезки точками ξi (7). Оно даетn + 1 отрезок. Два крайних [ a,ξ1 ] и [ξ n , b ] имеют длину h / 2 , а остальные - длину h .Выберем для образования интегральной суммы на крайних отрезках значенияфункции f ( x) в точках a и b , а на остальных отрезках [ξi ,ξi +1 ] - значения функцииf ( x) в их средних точках xi (1 ≤ i ≤ n − 1) .
Образованная таким образом интегральнаясумма соответствует выражению (13) для Tn .Вывод квадратурной формулы Симпсона развивает описанный подход дальше.Теперь для аппроксимации функции f ( x) используется не кусочно – линейное, акусочно – квадратичное интерполирование.Будем считать n четным и сгруппируем отрезки [ xi −1 , xi ] парами: первая пара[ a, x1 ] , [ x1 , x2 ] , вторая пара [ x2 , x3 ] , [ x3 , x4 ] и т. д. Для каждого двойного отрезка⎡⎣ x2 j −2 , x2 j ⎤⎦ построим интерполяционный полином второй степени в форме Лагранжа,принимающий в узлах x2 j −2 , x2 j −1 , x2 j значения функции f ( x) . В результате получимаппроксимирующую функцию g n ( x) на отрезке [ a, b ] в виде кусочно – квадратичнойфункции:( x − x2 j−1 )( x − x2 j ) + f x ( x − x2 j−2 )( x − x2 j ) +g n ( x ) = f ( x2 j −2 )( 2 j−1 )2h 2( −h 2 )(15)( x − x2 j−2 )( x − x2 j−1 ) ,+ f ( x2 j )2h 2x ∈ ⎡⎣ x2 j −2 , x2 j ⎤⎦ , 1 ≤ j ≤ n 2.Проинтегрировав полином второй степени (15) по отрезку ⎡⎣ x2 j −2 , x2 j ⎤⎦ , получим- 69 x2 j∫x2 j − 2g n ( x )dx =b−ah.f ( x2 j −2 ) + 4 f ( x2 j −1 ) + f ( x2 j ) , h =n3{}(16)Интеграл от функции g n ( x) по всему отрезку [ a, b ] равен сумме интегралов (16)x2 jbnaj =1 x2 j − 22Sn = ∫ g n ( x)dx = ∑∫g n ( x)dx =(17)b−a{ f ( a ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + K + 2 f ( xn−2 ) + 4 f ( xn−1 ) + f ( b )}.3n(Напомним, что число n должно быть обязательно четным.) Величина Sn (17) даетприближенное значение интеграла I :=bI = ∫ f ( x ) dx = S n + γ n .(18)aУзлами квадратурной формулы (17), как и формулы трапеций (14), являются точки xi(6).
Весовые коэффициенты в узлах с четными и нечетными номерами имеют разныезначения. Для остаточного члена введено обозначение γ n . Формула (18) называетсяквадратурной формулой Симпсона.Представление (17) для Sn как и представление (13) для Tn , также можнорассматривать как интегральную сумму. Для ее построения нужно разбить отрезок[ a, b] на (n + 1) частичный отрезок с помощью n внутренних точекη2 j −1 = x2 j −1 − 2 h 3 , η2 j = x2 j −1 + 2 h 3 , 1 ≤ j ≤ n / 2(19)и двух граничных точекη0 = a и ηn+1 = b .(20)В результате получаются отрезки [ηi −1 ,ηi ] , 1 ≤ i ≤ n + 1 различной длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
