3 (1113503), страница 7
Текст из файла (страница 7)
12. Пример корреляционных функцийНе менее важна при анализе ЭЭГ и кросскорреляционная функция /7/. Она позволяетопределить такие показатели, как степень связности, корреляции ЭЭГ двух разных точек мозга,выделить периодические составляющие, общие для обеих ЭЭГ, четко идентифицировать наличиеамплитудной или частотной асимметрий левого и правого полушария. Для кросскорреляционнойфункции в соотношение (4.2.14) участвуют не один и тот же, а два процесса, т.е. выражение для нееимеет вид:∞1K xy (τ ) = lim[ X (t )Y (t + τ )dτ ] ,T →∞ T − τ ∫−∞(4.2.23)а в цифровом виде ее можно, соответственно, представить как:K xy (τ ) =1 T −τ[∑ X (t ) * Y (t + τ )] ,T − τ t =0(4.2.24)где 0 < τ < T .Данная функция дает представление о том, коррелированы или нет между собой выбранныеканалы, а также показывает степень связности их между собой.
В случае наличия патологическогоочага, как правило, интересно знать в каких областях головного мозга он присутствует. Анализируя28спектр методов, применяемых для обработки и представления ЭЭГ, следует отметить, что этуинформацию может дать картирование, но при этом учитываются только амплитудные показатели. Аэтого может оказаться мало.
Кросскорреляционная функция, дополняя картирование, представляетинформацию о том, влияет ли ЭЭГ по какому-либо каналу на другие каналы. Причем оценивается этовлияние по параметрам частоты и фазы колебаний. Таким образом, в случае наличия патологическогоочага, распространяющегося сразу на несколько каналов, это четко будет видно на графикекросскорреляционной функции.Степень сходства или связи двух ЭЭГ при кросскорреляционном анализе определяетсявеличиной коэффициента кросскорреляции (Ккр). Ее обычно нормируют к пределам от +1 до -1. Еслидве ЭЭГ являются точными копиями, то фактически кросскорреляционная функция представляетсобой автокорреляционную, и, соответственно, Ккр будет равен +1 (см. рис.
14). Если две ЭЭГ точносоответствуют друг другу, но все их элементы сдвинуты на 180 градусов, т.е. являютсяпротивофазными, то Ккр будет равен -1 (см. рис.13). В тех случаях, когда два исследуемых процессазаключают в себе, кроме общих составляющих, также элементы, свойственные каждому из них вотдельности, величина связи, определяемая по Ккр, будет меньше единицы, и тем меньше, чем большенезависимых элементов или частот в двух исследуемых ЭЭГ (см. рис. 15). В зависимости отсоотношения фаз общих компонентов Ккр может иметь либо положительное, либо отрицательноезначение.
Для анализа ЭЭГ с помощью кросскорреляции были введены следующие параметры:1.степень кросскорреляционной связи - отношение максимального значения кросскорреляционнойфункции к величине максимума автокорреляционной функции каждого из исследуемых процессовпри τ = 0 ;K c = KΦ (0) / AΦ (0) ,2.(4.2.25)временной сдвиг максимума кросскорреляционной функции - ВС, характеризующий временныеотношения двух процессов. При этом отмечается степень корреляционной связи двух процессов как:слабая - Ккр менее 0.3; умеренная - от 0.3 до 0.5; значительная - от 0.5 до 0.7; высокая, или тесная - от0.7 до 0.9; очень высокая, или очень тесная - от 0.9 до 1 /10/.Большое значение при анализе ЭЭГ играет информация о степени связности отдельныхритмов, а также отдельных конкретных частот, причем пользователям желательно представлять ее вудобной и понятной форме. Конечно, можно использовать для этих целей кросскорреляционнуюфункцию, но при этом пришлось бы загромождать экран обилием графиков, что было бы не совсемудобно для врача.Оценивая мнения различных экспертов, здесь предлагается следующий подход к этойпроблеме.
Как было отмечено выше, степень сходства двух процессов оцениваются с помощью Ккр,соответственно, для оценки корреляции между подобными ритмами двух процессов можно,применив полосовые фильтры, выделить их и определить Ккр для каждого ритма отдельно, а затемпостроить график зависимости Ккр от частоты. Аналогично, то же можно проделать и с более узкимичастотными полосами. Для выделения нужной частотной полосы используется полосовой фильтрБаттерворта второго порядка /15, 16/. На рис.
16 приведем график зависимости Ккр от частоты сшагом 1 Гц в полосе от 1 до 35 Гц.Наибольшее распространение в электроэнцефалографии получил метод спектральногоанализа ЭЭГ. Этот метод обладает наибольшей информативностью при оценке составляющих ЭЭГ и,что самое главное, позволяет выявить такие стороны электрических процессов мозга, которыеостаются недоступными при обычной визуальной оценке ЭЭГ.Вычисление спектров мощности (спектрограмм - СГ) позволяет получить энергию каждой изчастотных составляющих данной ЭЭГ и оценить их соотношение. Это дает возможность сравниватьэлектрические процессы разных отделов коры на одном отрезке времени, проводить сравнениеспектров каждой данной области в динамике при повторных исследованиях, а также сравнивать вколичественных величинах ЭЭГ разных больных.29Спектр мощности иначе можно назвать спектральной плотностью рассматриваемогопроцесса. Согласно /9/ спектральную плотность можно ввести как преобразование Фурье отавтокорреляционной функции.
В общем случае спектральную плотность или спектр функции X(t)можно определить какS xx ( f ) =∞∫Kxx(τ ) * e − j 2πfτ dτ ,(4.2.26)−∞а взаимную спектральную плотность двух реализаций X(t) и Y(t) можно определить следующимобразом:S xy ( f ) =∞∫Kxy(τ ) * e − j 2πfτ dτ ,(4.2.27)−∞Рис. 13. Кросскорреляционная функция противофазных процессовРис.14. Кросскорреляционная функция слабо связанных процессов30Рис. 15. Кросскорреляционная функция сильносвязанных процессовРис. 16. График зависимости коэффициента кросскорреляции от частотыУчитывая, что в формулах (4.2.26) и (4.2.27) спектральные плотности определены для всехчастот, как положительных, так и отрицательных, а также тот факт, что корреляционные функции четные функции, то, очевидно, что спектры задаются только действительной частью преобразованияФурье, поэтому формулы (4.2.26) и (4.2.27) можно переписать в следующем виде:∞S xx ( f ) = 4 ∫ K xx (τ ) * cos 2πfτdτ ,(4.2.28)0∞S xy ( f ) = 4 ∫ K xy (τ ) * cos 2πfτdτ ,(4.2.29)0Мнимую часть преобразования Фурье полезно определить для дальнейшего нахожденияфункции фазового сдвига процессов, т.е.∞Q xy ( f ) = 4 ∫ K xy (τ ) * sin 2πfτdτ ,(4.2.30)θ xy ( f ) = arctg (Qxy ( f ) / S xy ( f )) ,(4.2.31)0Второй способ нахождения спектра - это непосредственное преобразование Фурье отрассматриваемого сигнала.
Для практического использования формулы (4.2.29) и (4.2.30) можнозаписать в следующем виде:TS xy ( f ) = 4∑ K xy (τ ) * cos 2πfτ ,(4.2.32)τ =0TQ xy ( f ) = 4∑ K xy (τ ) * sin 2πfτ ,(4.2.33)τ =0где T - величина временного интервала, взятого для анализа.Для корректного использования спектра мощности перед обработкой выбранного участканеобходимо вычесть постоянную составляющую и пропустить сигнал через какое-либосглаживающее окно, например Хэмминга, для устранения боковых лепестков и краевых эффектов/15/.Однако, в случае если нужно более высокое разрешение рассчитываемого спектра, товозможно пользоваться и формулами (4.2.29) и (4.2.30). Это целесообразно также и еще по одной31причине.
В данном случае предлагаемые методы обработки используются врачами, для которыхфизика процесса иногда играет даже большее значение, чем четкие математические расчеты. Вслучае обработки по формулам (4.2.32) и (4.2.33) в результате получается дискретное представлениепроцесса с каким-то выбранным шагом по частоте. Это может привести к ситуации, когда, к примеру,имея шаг 0.5 Гц, на частоте 7 Гц получаем всплеск на графике спектра, на частоте 7.5 Гц - значение,близкое к минимуму, а при 8 Гц - опять всплеск.
И хотя математически это верно, врачу труднопонять и согласиться с таким результатом. Прямое вычисление интеграла устраняет эту проблему все переходы между разными частотами на графике спектра будут плавными и понятными дляпользователя. Принимая во внимание то, что кросскорреляционная функция получена в видепоследовательности отсчетов, то для нахождения интеграла от произведения, согласно формуле(4.2.28), необходимо получить аналитическое выражение этой зависимости /5, 14/. При этом быливыявлены некоторые проблемы, характерные для представления ЭЭГ, и найдены пути ихразрешения, о чем далее и пойдет речь.Для целей получения аналитического выражения целесообразно использовать методыаппроксимации функций различными способами, например, широко известным методом наименьшихквадратов (МНК) /14, 23/. К сожалению, анализ реальных ЭЭГ привел к заключению, что одной«универсальной» функцией обойтись не удастся, поскольку очень велика вариабельностьавтокорреляционных функций ЭЭГ, возникающая из-за того, что ЭЭГ является активностью, близкойк спонтанной и, как следствие, возникает большая погрешность значений сигнала в узлах, особенно кконцу рассматриваемого участка.
Учитывая характер энцефалографического сигнала, в которомнаряду с медленноволновыми компонентами, хорошо описываемыми полиномиальными функциями,имеют место более высокочастотные периодические составляющие, которые можноаппроксимировать тригонометрическими, был поставлен эксперимент, в котором былипроанализированы 80 16 канальных ЭЭГ, принадлежащих пациентам различного возраста с четырьмяразличными патологиями.Целью эксперимента было определение максимальной погрешности представления сигнала втом и другом базисе. Анализ заключался в аппроксимации каждого из 16 отведений всех 80 ЭЭГметодом МНК вначале ортогональными полиномами Чебышева /13/, а затем тригонометрическимиполиномами /14/ вида.k2πit2πit Tk (t ) = α 0 + ∑ α i cos+ β i sin ,TT i =1(4.2.34)и подсчетом максимальной ошибки аппроксимации каждого метода в каждом отведении.
Врезультате были построены графики, изображенные на рис. 17 (для полиномов Чебышева) и рис. 18(для тригонометрических полиномов). Значение ошибки аппроксимации представляет собойотносительную погрешность аппроксимации, определяется как Tk (t i ) − K (t i ) ⋅ 100% i= 1, n ,()Ktiε = max(4.2.35)где Tk - амплитудные значения аппроксимированной функции;K – амплитудные значения реальной функции;t i - текущий временной отсчет.Из этих графиков видно, что при прямом использовании ортогонального базиса, состоящегоиз полиномов Чебышева, максимальная величина такой погрешности составила 27% и пришлась онана затылочные отведения, где, как известно, преобладает периодический или квазипериодическийальфа-ритм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
