2 (1113501), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Кросскорреляционная функция противофазных процессов26Рис.4. Кросскорреляционная функция слабо связанныхпроцессов2. временной сдвиг максимума кросскорреляционнойфункции - ВС, характеризующий временные отношения двухпроцессов. При этом отмечается степень корреляционной связидвух процессов как: слабая - Ккр менее 0,3; умеренная - от 0,3до 0,5; значительная - от 0,5 до 0,7; высокая или тесная - от 0,7до 0,9; очень высокая или очень тесная - от 0,9 до 1.Большое значение при анализе ЭЭГ играет информация остепени связности отдельных ритмов, а также отдельных конкретных частот, причем пользователям желательно представлять ее в удобной и понятной форме.

Конечно, можно использовать для этих целей кросскорреляционную функцию, но приэтом пришлось бы загромождать экран обилием графиков, чтобыло бы не совсем удобно для врача.Оценивая мнения различных экспертов, предлагается следующий подход к этой проблеме. Как было отмечено выше,степень сходства двух процессов оценивается с помощью Ккр,соответственно для оценки корреляции между подобными ритмами двух процессов можно, применив полосовые фильтры,выделить их и определить Ккр для каждого ритма отдельно, а27затем построить график зависимости Ккр от частоты.

Аналогично, то же можно проделать и с более узкими частотными полосами. Для выделения нужной частотной полосы используетсяполосовой фильтр Баттерворта второго порядка. На рис. 5 приведен график зависимости Ккр от частоты с шагом 1 Гц в полосе от 1 Гц до 35 Гц.Рис.5.

График зависимости коэффициента кросс-корреляцииот частотыНаибольшее распространение в электроэнцефалографииполучил метод спектрального анализа ЭЭГ. Этот метод обладает наибольшей информативностью при оценке составляющихЭЭГ и, что самое главное, позволяет выявить такие стороныэлектрических процессов мозга, которые остаются недоступными при обычной визуальной оценке ЭЭГ.Вычисление спектров мощности (спектрограмм - СГ) позволяет получить энергию каждой из частотных составляющихданной ЭЭГ и оценить их соотношение.

Это дает возможностьсравнивать электрические процессы разных отделов коры го28ловного мозга на одном отрезке времени, проводить сравнениеспектров каждой данной области в динамике при повторныхисследованиях, а также сравнивать в количественных показателях ЭЭГ разных больных.Спектр мощности иначе можно назвать спектральнойплотностью рассматриваемого процесса.

Спектральную плотность можно ввести как преобразование Фурье от автокорреляционной функции. В общем случае спектральную плотностьили спектр функции X(t) можно определить как∞S xx ( f ) = ∫ K xx (τ ) ⋅ e − j 2πf τ dτ ,(2.16)−∞а взаимную спектральную плотность двух реализаций X(t) иY(t) можно определить следующим образом:∞S xy ( f ) = ∫ K xy (τ ) ⋅ e − j 2πf τ dτ .(2.17)−∞Учитывая, что в формулах (2.16) и (2.17) спектральныеплотности определены для всех частот, как положительных, таки отрицательных, а также тот факт, что корреляционные функции - четные функции, очевидно, что спектры задаются толькодействительной частью преобразования Фурье, поэтому формулы (2.16) и (2.17) можно переписать в следующем виде:∞S xx ( f ) = 4 ∫ K xx (τ ) ⋅ cos 2πf τdτ ,(2.18)0∞S xy ( f ) = 4 ∫ K xy (τ ) ⋅ cos 2πf τdτ .(2.19)0Мнимую часть преобразования Фурье полезно определитьдля дальнейшего нахождения функции фазового сдвига процессов, т.е.29∞Q xy ( f ) = 4 ∫ K xy (τ ) ⋅ sin 2πf τdτ ,(2.20)θ xy ( f ) = arctg (Qxy ( f ) / S xy ( f )) .(2.21)0Второй способ нахождения спектра - это непосредственное преобразование Фурье от рассматриваемого сигнала.

Дляпрактического использования формулы (2.19) и (2.20) можнозаписать в следующем виде:TS xy ( f ) = 4∑ K xy (τ ) ⋅ cos 2πf τ ;(2.22)τ =0TQ xy ( f ) = 4∑ K xy (τ ) ⋅ sin 2πf τ ,(2.23)τ =0где T - величина временного интервала, взятого для анализа.Для корректного использования спектра мощности передобработкой выбранного участка необходимо вычесть постоянную составляющую и пропустить сигнал через какое-либосглаживающее окно, например Хэмминга, для устранения боковых лепестков и краевых эффектов.Однако в случае, если нужно получить более высокое разрешение рассчитываемого спектра, возможно пользоваться иформулами (2.19) и (2.20).

Это целесообразно также и еще поодной причине. В данном случае предлагаемые методы обработки используются врачами, для которых физика процессаиногда играет даже большее значение, чем четкие математические расчеты. В случае обработки чего по формулам (2.22) и(2.23) в результате получается дискретное представление процесса с каким-то выбранным шагом по частоте. Это может привести к ситуации, когда, к примеру, имея шаг 0,5 Гц, на частоте7 Гц получаем всплеск на графике спектра, на частоте 7,5 Гц значение, близкое к минимуму, а при 8 Гц - опять всплеск.

Ихотя математически это верно, врачу трудно понять и согласиться с таким результатом. Прямое вычисление интеграла устраняет эту проблему - все переходы между разными частотами30на графике спектра будут плавными и понятными для пользователя. Принимая во внимание то, что кросс-корреляционнаяфункция получена в виде последовательности отсчетов, для нахождения интеграла от произведения, согласно формуле (2.19),необходимо получить аналитическое выражение этой зависимости. При этом были выявлены некоторые проблемы, характерные для представления ЭЭГ, и найдены пути их разрешения,о чем далее и пойдет речь.Для целей получения аналитического выражения целесообразно использовать методы аппроксимации функций различными способами. К сожалению, анализ реальных ЭЭГ привел кзаключению, что одной «универсальной» функцией обойтись неудастся.

Причина этого в большой вариабельности автокорреляционных функций ЭЭГ, возникающей из-за того, что ЭЭГ является активностью, близкой к спонтанной, и, как следствие,возникает большая погрешность значений сигнала в узлах.Учитывая характер энцефалографического сигнала, в которомнаряду с медленноволновыми компонентами, хорошо описываемыми полиномиальными функциями, имеют место болеевысокочастотные периодические составляющие, которые можно аппроксимировать тригонометрическими полиномами, былпоставлен эксперимент, в котором были проанализированы 8016-канальных ЭЭГ, принадлежащих пациентам различного возраста с четырьмя различными патологиями.Целью эксперимента было определение максимальной погрешности представления сигнала в том и другом базисе длянахождения оптимальной аппроксимирующей функции. Анализзаключался в аппроксимации каждого из 16 отведений всех 80ЭЭГ вначале полиномами Ньютона, а затем с помощью тригонометрических полиномов следующего вида (по методу наименьших квадратов):2πit2πit Tk (t ) = α 0 + ∑  α i cos+ β i sin.TT i =1k31(2.24)Далее подсчитывается максимальная ошибка аппроксимации каждого метода в каждом отведении.

Такая оценка позволила выявить, что при прямом использовании базиса, состоящего из полиномов Ньютона, максимальная величина погрешности составила 27% и пришлась она на затылочные отведения,где, как известно, преобладает периодический или квазипериодический альфа-ритм. При использовании тригонометрическогобазиса для описания ЭЭГ максимальная погрешность была влобных отведениях, и она составила 22%. Это объясняется доминированием в области лба низкочастотных непериодическихритмов.Естественно, при наличии других патологий процессы могут трансформироваться, что еще более усложнит задачу аппроксимации. Для решения этой проблемы предлагается применить два различных подхода.При рассмотрении первого, во время постановки эксперимента, был также проведен анализ этих 80 ЭЭГ, который позволил найти наиболее часто встречаемые формы автокорреляционных функций. К таким формам относятся:1.

затухающая экспонентообразная форма;2. в виде затухающей синусоиды;3. в виде незатухающей синусоиды;4. шумоподобная незатухающая автокорреляционнаяфункция;5. вариант автокорреляционной функции 1–4 со смещением относительно нулевой линии.Анализ вариантов форм автокорреляционных функцийпривел к необходимости искать их аппроксимацию в виде двухвозможных форм:♦ аддитивной формы представления (АфАФ);♦ мультипликативной формы представления (МфАФ).Возможны и комбинации таких форм, но для анализадальше одного уровня разделения компонент, как правило, идтине требуется.32Итак, АфАФ имеет видf (ω ) = A(ω ) + G (ω ) ,(2.25)где A(ω ) - медленно изменяющаяся компонента, а G(ω ) - быстро осциллирующая компонента.Для МфАФ выражение может быть таким:f (ω ) = A (ω )P (ω ) ,(2.26)где A(ω ) - медленно изменяющаяся амплитудная компонента,а P(ω ) - компонента заполнения.Общий алгоритм аппроксимации автокорреляционнойфункции состоит из последовательности этапов:1.

определение формы представления автокорреляционной функции;2. аппроксимация медленно меняющейся компоненты;3. компенсация медленно меняющейся компоненты;4. выбор типа аппроксимации для быстроменяющейсякомпоненты;5. аппроксимация быстро меняющейся компоненты.Форму представления автокорреляционной функции можно определить, анализируя ее симметрию. Например, пусть задана автокорреляционная функция, изображенная на рис. 6.Для определения ее формы представления необходимоопределить положительные и отрицательные экстремумы (кроме первого на оси ординат) и провести огибающие, используятехнологию сглаживающих сплайнов, (рис. 7).Далее производится оценка симметрии путем сравненияплощадей криволинейных трапеций. Если они отличаются более чем на 10%, то имеет смысл говорить о наличии аддитивнойкомпоненты в автокорреляционной функции.

Сама компонентаопределяется как сумма огибающих. Здесь же можно определить и амплитудную медленно затухающую компонентуAm = ( A+ − A− ) / 2 ,33(2.27)Am - амплитудная медленно меняющаяся компонента;A+ - положительная огибающая автокорреляционнойфункции;A− - отрицательная огибающая автокорреляционнойфункции.гдеРис.6. Пример автокорреляционной функцииРис.7. Построение огибающих автокорреляционной функции34После определения аддитивной компоненты и амплитудной составляющей мультипликативной составляющей необходимо произвести коррекцию автокорреляционной функции дляопределения быстро меняющейся компоненты:P(ω ) = ( АФ(ω ) − Aa (ω )) / Am (ω ) .(2.28)Затем можно проводить аппроксимацию P(ω ) , причемначинать с аппроксимации тригонометрическими рядами.

Характеристики

Список файлов учебной работы