2 (1113501), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Этот полином называют кубическим сплайном,который на интервале х∈[xi-1 ,хi] записывают в видеϕ i ( x) = ai + bi ( x − xi −1 ) + ci ( x − xi −1 ) 2 + d i ( x − xi −1 ) 3 , (1.14)где аi, bi, сi, и di, - коэффициенты сплайна, определяемые из дополнительных условий; i = 1,2,..., n - номер сплайна.В отличие от полиномиальной интерполяции, когда всяаппроксимируемая зависимость описывается одним полиномом, при сплайновой интерполяции на каждом интервале [xi-1,хi] строится отдельный полином третьей степени (1.14) сосвоими коэффициентами.Коэффициенты сплайнов определяются из условий сшивания соседних сплайнов в узловых точках:1) равенство значений сплайнов ϕ(x) и аппроксимируемойфункции f(x) в узлах - условия Лагранжаϕi(xi-1)=fi-1,ϕi(xi)=fi;(1.15)2) непрерывность первой и второй производных от сплайнов в узлахϕ i′ ( xi ) = ϕ i′+1 ( xi ),(1.16)ϕ i′′( xi ) = ϕ i′′+1 ( xi ).(1.17)Кроме перечисленных условий, необходимо задать условия на концах, т.е.
в точках х0 и хn. В общем случае эти условиязависят от конкретной задачи. Довольно часто используютсяусловия свободных концов сплайнов. Если линейка не закреплена в точках вне интервала [х0, хn], то там она описываетсяуравнением прямой, т.е. полиномом первой степени. Следова10тельно, исходя из условий (1.17) непрерывности вторых производных сплайнов на концах интервала, запишем соотношенияϕ1′′( x0 ) = 0,(1.18)ϕ n′′ ( x n ) = 0.(1.19)Для улучшения гладкости аппроксимирующей кривой используют и другие граничные условия.
Например, строят такназываемые нагруженные сплайны, которые в механическоймодели соответствуют подвешиванию грузов к металлическойлинейке на ее концах.Получим алгоритм определения коэффициентов кубических сплайнов из условий (1.15)–(1.19). Условия (1.15) в узлахxi-1 и хi после подстановки i-го сплайна принимают видai=f i-1,(1.20)ai + bi hi + ci hi2 + d i hi3 = f i ,(1.21)гдеhi = xi − xi −1 ,1≤ i ≤ n.Продифференцируем дважды сплайн (1.14) по переменнойх:ϕ i′ ( x) = bi + 2ci ( x − xi −1 ) + 3d i ( x − xi −1 ) 2 ,(1.22)ϕ i′′( x) = 2ci + 6d i ( x − xi −1 ).(1.23)Из условий непрерывности производных (1.16) и (1.17)при переходе в точке хi от i-го к (i + 1)-му сплайну, с учетомвыражений (1.22) и (1.23), получим следующие соотношения:bi + 2ci hi + 3d i hi2 = bi +1 ,(1.24)ci + 3d i hi = ci +1 .(1.25)И, наконец, из граничных условий (1.18) и (1.19) на основании выражения для второй производной (1.23) получим, что11c1 =0,cn+3dnhn=0 .(1.26)(1.27)Соотношения (1.20), (1.21), (1.24)-(1.27) представляют собой полную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов сплайнов аi, bi, сi и di.
Но, преждечем решать эту систему, выгодно преобразовать ее так, чтобынеизвестными была только одна группа коэффициентов сi.Из уравнения (1.25) коэффициенты di выразим через коэффициенты сi:di= (ci+1-ci)/(3ni)(1.28)Объединяя уравнения (1.20), (1.21) с соотношением(1.28),представим коэффициенты bi также через коэффициентысi:b i=(fi-fi-1)/hi-(Ci+1+2ci)hi /3 .(1.29)После подстановки выражений (1.28) и (1.29) в соотношение (1.24) получим уравнение, в которое входят только неизвестные коэффициенты сi. Для симметричности записи в полученном уравнении уменьшим значение индекса i на единицуhi −1ci −1 + 2(hi −1 + hi )ci + hi ci +1 = 3[( f i − f i −1 ) / hi − ( f i −1 − f i − 2 ) / hi −1 ] , (1.30)где 2 ≤ i ≤ п.При i = n, учитывая условие свободного конца сплайна, вуравнении (1.30) следует положитьсn+1 = 0 .(1.31)Таким образом, п – 1 уравнение вида (1.30) вместе с условиями (1.26) и (1.31) образует систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов сi.
Коэффициенты di и bi вычисляются после нахождения сi по формулам(1.28) и (1.29), коэффициенты аi равны значениям аппроксимируемой функции в узлах в соответствии с формулой (1.20).12В каждое из уравнений типа (1.30) входят только три неизвестных с последовательными значениями индексов ci-1, сi,сi+1. Следовательно, матрица системы линейных алгебраических уравнений относительно сi является трехдиагональной, т.е.имеет отличные от нуля элементы только на главной и двухпримыкающих к ней диагоналях. Для решения систем с трехдиагональной матрицей наиболее эффективно применять такназываемый метод прогонки, являющийся частным случаем метода исключения Гаусса.Рассмотрим алгоритм метода прогонки применительно крешаемой задаче.
Для сокращения записи уравнение (1.30)представим в видегдеhi-1 ci-1 + sici + hici+1 = ri ,(1.32)si = 2 (hi-1 – hi),ri = 3[( f i − f i −1 ) / hi − ( f i −1 − f i − 2 ) / hi −1 ] .(1.33)Метод прогонки разделяется на два этапа - прямой и обратный ходы. В процессе прямого хода метода прогонки вычисляют значения коэффициентов линейной связи каждогопредыдущего неизвестного сi с последующим сi+1.Из уравнения (1.32) при i = 2, с учетом граничного условия (1.26), установим связь коэффициента c2 с коэффициентомc3c2 = k2-I2 c3,(1.34)где k2 и I2 - прогоночные коэффициенты,k2 = r2/s2, I2 = h2/s2.Затем, подставляя выражение (1.34) в уравнение (1.32) приi = 3, получим линейную связь коэффициента c3 c коэффициентом с4:c3 = k3 – I3 c4 .13Поступая аналогичным образом для любых соседних коэффициентов с номерами i и i + 1, можно установить линейнуюсвязь в виде(1.35)ci = ki –Ii ci+1 .В процессе выполнения прямого хода метода прогонкинеобходимо вычислить значения всех прогоночных коэффициентов ki и Ii, для которых получим рекуррентные соотношения.Подставим формулу связи (i – 1)-го и i-го коэффициентовci-1 = ki-1 – Ii-1 ciв уравнение (1.32), в результате получимci =ri − hi −1 k i −1hi−ci +1 .s i − hi −1 I i −1 si − hi −1 I i −1Сравнение последнего соотношения с формулой (1.35) позволяет записать рекуррентные формулы для определения прогоночных коэффициентов ki и Ii:ki =ri − hi −1 k i −1,si − hi −1 hi −1Ii =hi.si − hi −1 I i −1(1.36)Учитывая граничное условие (1.26) и соотношениеc1 = k1 – I1 c2 ,а также полагая c2 ≠ 0, задаем начальные коэффициенты k1 = 0 иI1 = 0.
Затем по формуле (1.36) вычислим все n пар прогоночных коэффициентов ki и Ii.На основании соотношенияcn = kn–Incn+1и граничного условия (1.31) получим, чтоcn = kn.(1.37)Далее последовательно применим формулу (1.35) при i = n –1, n – 2,..., 2 и вычислим значения искомых величин cn-1, cn-2,...,c2.Эта процедура называется обратным ходом метода прогонки.14Метод прогонки применяют не только для решения задачисплайн-интерполяции. Он широко используется и при численном интегрировании граничных задач для линейных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.После определения всех коэффициентов сi другие коэффициенты сплайнов вычисляются по формулам (1.20), (1.28) и(1.29), после чего аппроксимирующую функцию ϕ(x) можнорассчитать с помощью соотношения (1.14) в любой точке х наинтервале [х0, хn ].152.
ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНО-КОРРЕЛЯЦИОННЫХМЕТОДОВ АНАЛИЗА БИОМЕДИЦИНСКИХ СИГНАЛОВСогласно теории обработки сигналов к спектральнокорреляционным методам относятся разложение сигнала в рядФурье, построение спектра мощности, спектральной плотностимощности, автокорреляционной и кросскорреляционной (взаимно корреляционной) функции и т.д.Вкачествепримерапримененияспектральнокорреляционных методов рассмотрим анализ электроэнцефалографического сигнала.Электроэнцефалография - метод исследования головногомозга, основанный на регистрации его электрических потенциалов.Электроэнцефалограмма (ЭЭГ) - сигнал, получаемый прирегистрации электрической активности головного мозга.Перед тем, как приступить к описанию методов, с помощью которых автоматизируется анализ ЭЭГ, необходимо сделать одно допущение. Все нижеперечисленные методы, согласно теории обработки сигналов, могут быть применимы для стационарных случайных процессов.
Очевидно, что ЭЭГ таковымпроцессом не является. Обычно в таких случаях при анализевыбирают участки, которые условно можно считать стационарными или, иначе, квазистационарными, и длина которых достаточно велика для получения статистически разумных результатов.Другой особенностью, выявленной при проведении экспериментов с некоторым достаточно большим количеством ЭЭГ,является то, что в данном случае оценка процесса является скорее качественной, чем количественной. По крайней мере, дляэлектроэнцефалографии нет каких-либо нормативных таблицосновных параметров сигнала, как это имеет место в электромиографии или кардиографии, и каждая ЭЭГ может характеризоваться своей определенной совокупностью параметров.
Этипараметры варьируются для разных ЭЭГ, которые при этом могут относиться к одному из классов патологии или быть в нор16ме. Применение алгоритмов обработки стационарных сигналовдля анализа ЭЭГ в данном случае можно считать переходом отодной формы отображения информации к другой, более удобной, компактной и информативной. Также стоит отметить, чтошироко используемые методы обработки ЭЭГ, в общем-то, неучитывают ее биологический генез, а рассматривают ее как некий колебательный процесс и, как следствие, получаемые такимобразом результаты не всегда удовлетворяют пользователя. Итот факт, что ЭЭГ представляет собой интегральную оценкуэлектрофизиологической деятельности миллиардов элементарных источников, к тому же отфильтрованной естественнымикостно-тканевыми распределенными фильтрами, позволяет сказать, что использование рядов Фурье, корреляционного анализадля обработки ЭЭГ можно рассматривать только как болееудобное в некоторых случаях изображение той же ЭЭГ и не более.2.1.
Спектральные оценки ЭЭГНекоторые специалисты считают, что достаточно визуального просмотра ЭЭГ, тем не менее большую популярностьначинают завоевывать методы математической обработки ипредставления сигналов. Так как в электроэнцефалографии основными параметрами являются частота и амплитуда, то необходимо иметь методы оценки сигнала с помощью амплитудночастотных характеристик. Наибольшее распространение получили методы вычисления спектра мощности сигнала и построение топокартограмм головного мозга с помощью цветовогопредставления амплитуды. Для этого обычно используют преобразования Фурье или, адаптированное для спектральногоанализа ЭЭГ, преобразование Berg.
Рассмотрим основные алгоритмы определения спектра сигнала.Первый и наиболее часто используемый способ - использование алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Внастоящее время существует множество программных пакетов,созданных специально для реализации алгоритмов БПФ. Но,как показывает практика, использование классического БПФ не17всегда удовлетворяет пользователя.
Во-первых, несмотря наразнообразие способов ускорения этого алгоритма (оптимизация по периоду анализа, перевод некоторых функций на языкассемблера), работает он достаточно медленно. Во-вторых, преобразование Фурье обладает некоторыми особенностями, которые отчасти затрудняют согласование получаемых с его помощью данных с данными визуального анализа. Суть их заключается в том, что на ЭЭГ медленные колебания имеют большуюамплитуду и длительность, чем высокочастотные. В связи сэтим в спектре, построенном по классическому алгоритму Фурье, наблюдается диспропорциональное преобладание низкихчастот. Для обхождения этого разработано преобразованиеBERG, специально адаптированное к детектированию быстрыхизменений в спектре ЭЭГ и выравнивающее его в зависимостиот частоты.Процедура вычисления преобразования BERG основывается на тех же принципах, что и преобразование Фурье, однакос тем отличием, что для каждой полосы спектра в исследуемойЭЭГ эпоха анализа выбирается обратно пропорционально частоте и составляет T=16/f (c).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
