Никольский Б.П., Григоров О.Н., Позин М.Е. Справочник химика (Том 1) (1113395), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Уравнение с отделяющимися переменными: Р, [х) Р, [У) дк+ Р, (к> Р, [у> ду = О Обшил шпеграл ) — — + ~ =С. Г Р,[х>дх Г Р,[У>ау .)! Р,(к> .) Р ( ) 2. Уравнение в полных лиффереапналахг !'(К, У1 дк+ [) [Х, У) ау=О др дф Если — — , то лева» часть уравнения в полный диффереиииал, в общий интеграл д>' дк ' булат: ,А .~ — д');-С 3.
Однородюе уравнение Бели Р(х, у) и Я(х, у) — оююрадиые функпии от х и у одной и той же степени, то уравнение Рек+Яду=О подстановкой у=аг (или х !У) приводится к уравнению с отделяюшимиса ° временными. 4. Линейное уравнение У + Р [х> У+ Р [л>= О -) Рдк( Г ) рдк имеет общее решение у=в !ьС вЂ” ) ре дх~, 6. Урьвиениа Бернулли У'+Р (к) У+4 [х) У"=-0 зюлсгаьчэкай л у приводится и линейному уравнению. 6, Уравнение: [а,хфьа'+гд дх+(аьс+Ьгу+гз>ду О Если — та —, та находим [ н г> из системы УРавиенмйа,[+ЬМ+г, 0: ат[+Ьгд-Рсг О.
а, Ь, аг Ьз' поагтановка х=х, + Ц у+у, + 3 привалит к олноролиаму уравнению. ЕСЛИ а,зг Ь,аь Ю Внадны ИааУЮ ФУНЮЗИЮ г=а,к+Ь,У. ". Уравнение Клеро: У .«у'+т'(У') Общее решение у Сх+ г (С) — семейстю прямых. Особое репюние получаетсв исключением С нз уравнений У=Сх+р(С)1 О х+р'[С). У)родне»ня второго порядка 1. Уравнение виаа У" У(х) Общее решение у=-~ ~ /(х)екал+С к+Ср. 2. уравнение вида Р(к,у',у")=О полста»анкой у'=-л; у*=.к' приводите» к уравнению первого варюша. 3. уравнение вила Р (у, у', у")=0 пожтаиовкой у' Р; у"=Р— приволиш» к у! вен»и»~о др ду перього порялка.
4. Олиоролное лишйиое уравнение с посюяниымп коэффиииентамн у -(-а,у' + Состзвлаем хаРакгеРнстичсское УРзш~сние й'+а,й +аз О и накопим его коРни 2, и й.. Если 2, и й, вещественны и Различны, то У С,аЕ + Сзс гх, .ь,х Если й,=йз, то У=(С|+Сгк) ей~к. Если 2, н й» вЂ” комплексные числа, причем й,=а+12, 1ь= — Н. то у е (С, соз)х+С,юн зх) или У=Сев сов(рх+зб 6. Неоднородное линей~аз уравнение с пщюкниыми коэффипиентами у + а,у'+ау=а !Х>. ПУсть У=и (х, Сн Ст!- общее Решение соатветствУющего Однородною Урез»сина У" + а У' Р .!.ау=О И ПУСТЬ У=..а[Х> — «аКОЕ НибУЛЬ ЧаатНОЕ РЕШЕНИЕ Да»ната НЕОЛНОРОЛиато УРанисана. Тогла его общее решение будет: у- (х, Сьсд+ (х> СТАТИСТИКА Если й шй = ...
йн то: 1 х,+к + ... +х„ х= 2) среднее квазратическое й!Х2+й г2+ ... +й„хй хор. кв 1+ 2+" +кйз х (если 2 .. 3) ср. кв а 1 "' и Н среднее геометрическое (если все к! положительны) и "Е = 1 ("д '(ха) ' " (= ) " 4) среднее юрмоиическое Н й+2+...+й л й й ' 1 1 1 (если й =й ... =й ) 1» — + — + -" +— х к к 1 2 н 6) среднее логарифмическое двух значений к, н х, к, — хз ср. лаг Хг 2,303 1й — ' Хг 6) мода (обозначается Мо)-то значение х!. ютарому соответствует наибольшая частота й .. 7) медиана (обозначаетса Мс)-значение х, обладающее тем свойстюм, чта число иаблвшенвых значений, ббльшил Ме, равно числу наблюденных значений, меньших Ме.
дла оденки расссюшя величиим Х применвются следующие статистические характеристикнг Ц дисперсии ,2 тй!(х! †")2 ъ гк 2) среднее квадратическое отклонение [срелнян квадратическая ошибка) зй!(х! — х)2 хй, Е нй мй м...=й,то; 1 2 " Н' ! (х[-х)» . ° 3 (х -«)з а Х л Если н мала, та следует применять формулы '( ! — ")', и — 1 х (к[-х)2 а к в-1 При вычислении аисперсии удобгю гальзоваться формулойг Ххт 1 -г зй — — к' л" — к' (если а велико) Х и 2 и а =,х- — хт) к а — 1' [если и мало! Пусть в реэультзте л мвблюдений над величиной Х получены вначеии» х, к ... х с воат ветствеииыми частотами й .
32 ... 2„1 (21+2»+ ... +Ь„а). для опенки среднего значсиая величины Х применяютю следующие статистические карактериагики: 1) срелнее арнфмепгческое к= ' ' 22+ "+"лкп 21+22+" +йн 1(О СТАТИСТИКА Паадалже««е 3) вераят«ае отклонение (вероятная ошибка) Е О,бтба х ' х Вероятное отклонение прииеняетса в саучае, когда величина Х подчинастся нормальному взкону распределении. Дисперсия и средняя квадратичаская ошибка срсаисго арифметического апрелелаютси по ормулам| Ф 2 2 з е-= —,' л *, Правило трех сигм Если величина Х Распределена нормально, то отклонении, абсолютная величина которых превышает За „ имеют вероятность, рзв«ую 0,99. Если этой вероятностью можно про«саре |ь, то отклонения. «ревышаюшне Зз, следует считать неаозможнымн.
Точность и нааежнасть среднего арифмбтИЧСС«аго Пусть х — среднее арифметическое л измерений некоторой величины, истинное значение которой есть а. Построим интервал длины 2а с серединой в точке х. Верозтность того. что этот интервал покроет точку а, апреле|жется формулой «Ф( ) где Ф вЂ Функц Лапласа, таблица которой приведена на стр. 109. ЧислО З наэываетси точностью величннм х, рассматриваемой как статистическая сцен«е величины а! вероятность « называется надежностью этой оценки. Наименьшее число измерений, которое нужна сделать для тога, чтОбы орви|ее армфмети|еское этик измерений «мело точность а и «адсжиасгь а, определяетск формулой| 2 2 х п=з «а Здесь л — корень уравнсшш Ф (л )=«. Ои находиша из таблицы Функпии Лапласа Ф(х) н а (с Р. Ке).
Корреляция Пусть (х, у ), (х, у ), ..., (х, у ) — н пар измерений двух вели |ии Х н 1'. Коэффициент корреляции )? слуи|нт для опенки силы линейной зависимости, свизыва|ащей величины Х н У. Если Х и У связаны строгой линейной зависимостью, та Р=зн если линейной зависимости ыеылу Х и У нет, та Р=б.
Коэффициент Р оценивается по бюрмуле! „ш'х!у! "' Р а а х у Козффнциеит «орреляции Р ивлаетса случайной велнчи|юй, срелнин «вадратическая ошибка которой определяется формулой: 1 — Рэ а Ун Уравнение примой регрессии величины у по ж зу у-у? Р— (х — х! а Уравнение прямой регрессии величины х по у| х х-х=Р— (у — у) У Если !Р! < Зз, то нет уверенности в наличии ливен«он связи нежш х «у. Р' Способ наименьших квадратов Найти наиболее вероятные значения неизвестиык х. у ...
л из системы условньш уравнений а|х +Ь!у + ... +с,я =а| «щх+Ьшу+" +агля? йш если число уравнений превышает числа неизвестных. Свободные члены уравнений а ... а солержат погрешности. Прелложеииая система несовместна. Обозначиле ! !аа)=а!+ай+ ... +а „! !аЫ=а Ь(+агЬУ+ ... +а, Ь и т. д. 2 2 2. Наиболее вероятные значения лля шизвествых апре«злю«щи нэ следующей системы «оджалан«к уравнений, число уравнений которой уже равно числу неизвестных; !аа!х-! (аЬ!у+ ... +1ас!л=!«й! (ьа! х+!Ьь! У+ ... + (ь 1 л=(ьа! 1са1 х+!сь! у+ ...
+!сс! л=!шг! ГРАФИКН ФОРМУЛ И ПРИЕМЫ Ик ВЫРАВНИВАНИЯ В таблице приведены сиедении, облегчающие выбор вида эмпирической формулы, и апре. деление вкалящик в нее постоянных. Дла каждой формулы приведено несколько графиков, соответстаующик рааличным значения« входюцих в эту форыулу параметров. При выборе Фориулы следует учитывать, чта эмпиричесная крива« может быть поаобна ли|пь части типичной кривой лля нснатарых ыределои изыенения аргумента. Этого достаточно для применныасти формулы в данных пределах.
В таблице указаны замены переменных, приводящие к выравниванию Формул, и вид получаемого после выравнивания линейного уравнения. Кроме того. даны указание, относишнесв н методам опрелелении постОянных коэффициентов, к приемам преобразования формул н втаричнага вырез«иванн» Коэффициент и ва всех Формулак считается постоянным полажншльным числом. Графики Формул приведены только дла положительиык значений х и у. Более полные данине по вмциричссннм формулам можно найти в кингах: 1. К А. С еме навез, Эмпирические форыулы, Госшхиздат, 1333.— 2. и.
Н. Бронштейн, К. А. Сене«- а« е в. Справочник но матеыатике, Гсстехизлат, 10лзй. 1. У=ах!' Положив Х !Ех! У=!Еу, яолучиш У 13 «+ЬХ И.у=с+ах График получается иэ графика Формулы 1 путем смещения его на отрезок л параллельно оси Оу. Если с неизвестна, то лля его определения на заданной ириной берут лве точки с пронэвольнымн або«исса«и х, и «г н соответственными оРдннатами У, и У, и тРстыо п|ч«У с абсциссой х| 1'х,х» н орхииатой уь Параметр с аиределиатся из формулы: 2 У(уг-УЗ )З+ Ут 2У| 8 Зак. 2П|.
Справочник химика, т. 1 Продолжение 1И. у аебл Положив 1' 1йу, получим: У 1й а+Ьх12 в У=(2 а +О,ЕЫЬХ х — х, Положив 1'=, получим: У 1'г У вЂ”.. А+ ВХ У= 1Е а+ Ьх 12 е У )й а+О.ЕМЬХ или Х. у=асс"+слч Положив У 12 У, получим формулу ЧИг у=12 а+(Ьх.(-ох*) 12 е У (ба+О;и( Фбхз( илн (ег<М „з х гг -Е(е о) Х(. у 1 а + ох+ слч 1 Положив У= — получим бюрмулу Ч1Н у г с Х Положив У= — „получимг У У=ь+ах Г= а+ Ьх+гх' -Г(з Ы з — (ага! л х ХИ у=- к положив У вЂ”, полтины формулу Ч1И у Г=а+ьл-1-сгг 114 115 ГРАФИКИ ФОРМУЛ И ПРИЕМЫ ИХ ВЫРАВНИВАНИЯ Для вырввииванна налагаем! Х (Ел! У=12(У-е) Получнщ У=!Е а+ЬХ !Ч.
у с+асах График получаежя из графика формулы И! путем смещения его на отрезок г пврэллелыю оси Оу. Если с неизвестно, то в~а его определении берут ив заданной кривой лве точки с пронавольнымн вбсннссами х, и хг и «остветствуюогим» ордиаатами у,и ут и третью точку с абспис- 1 Сай Хв= — (Х,+Х,) И ОРЛИНатсй Ун ПаРаМЕтР С ОПРЕДЕЛнтЩ Иа ФОРМУЛЫ: 2 2 У1У2 УЗ с Уг+ Уа — 2уе для выравнивание полагаем У=1Е(у — с). Получим: 1 Ч. у= а +ьх — гиперболы, однз из ынмптот которьщ совналает а Ох,зару пща е а Оу.ц р — о ( — —.О). Ь 1 Положив 1'= —, получим: У ч1, у= —, — -гиперболы, одна из асимптот которыд параллельна х Ь ' ах Ь 1ч оси Оу, а аругая параллельна осн Ох.
Пентрг — в точне (- —; — ). а' а)' Чя. у —.— а+Ьх+схе — параболы, осн которыя параллельны оси Оу, Для еыравннваниа аужво на змпнрической кривой взять про. У вЂ” Уг вязальную точку (хь у,!. Если положить Г= — н обозначить 3 Ь, Ь+Сль та Г.=Ь,+СХ. Дпа НааажДЕИНЯ а СЛЕДУЕТ ПвлетазнтЬ ВСЕ нмеющиес» значения х и у в уравнение у=а+ ьхфгл' и полученные Равенства сложить; а опрелелится из уравнения: Ху=ла+ьхх+сХ " ГРАФИКИ ФОРМУЛ И ПРИЕМЫ ИХ ВЫРАВНИВАНИЯ ЧП1. У а + Ьх с+ах — гиперболы, одна нз зснмптот которык параллельна в с Ьт Ох, а другая параллельна Оу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
