Никольский Б.П., Григоров О.Н., Позин М.Е. Справочник химика (Том 1) (1113395), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(т -е+ 1) хт (прн целом гп н прн л Ь гп л-н цронзвазнзя резне О) (-1) т(т+П(т+Н...(т+л-и — „„ л 1 ( — 1) — (т — 1) (хт — 1) ... Цн — Пт — П л-! 1 1 тл гп '~ гплг-1 (1ц а) а (Ьгп а) а"» (,л зх (-Пп ! (л-1)! «е ,га — П !и а;с з1п (х+ — ) сОь 1»+ 2 ) вЬ х прн л четном «Ь х прн л нечетном сЬ х прн л четном ьц х прн л нечетном (Л)+л ° (Л -1!+О2ц (Л-2)+Об - (Л-3)+ + (Л!, Таблица разложений в ряды й(аплорена сл --ыцтмнзльнме потуфнцнентм (см. стр, и н ы). Неяоторые формулы дифференциального исчисления Прадеш«ение Формула (правило) Название /и (х)=О Функиин Область схолиыости Разложение в ряды Маклорена -оэ<х<со ап х со<« <оэ со<«< о х' 2«л ! Тх' 52«э «+ — + — + —,+ —. + 3 15 315 23жч 1«1 < —" 2 с12 х ),г !<е.
кроме х О агсэ!и .г !Х>«1 — — асса(п х 2 1«1<1 атосов х аж!2 х 1« !«1 х хл хл лл + 11+ 31 51 "' (2л+1)! х' х' х 1+ — + — +.. + — + 2! 4! "' (2л) ! -со<«<со ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Основные правила интегрированна ХЛ 2ХЛ 17ХЗ х — + — —,+ 3 15 315 !х)«вЂ” 2 !Ьх 1 х «л 2хл —.+(т-45+ж--) Правило Формула еж« 1х1<к, кроме л=о 2лтл х+ — + — +...+ + 3 5 "' 2и+ 1 !х(«1 эг!й х — 1<х«1 1п (1+«> Интегрирование по часшлз «>О >п х 1+.с >гл— 1 — х 1х1«1 зп— х+ ! х — ! )х(>1 если ( /[х) ихй Е (л) + С, то 100 1О1 Таблнца разложений в рядн Маклорена х !и а («1н а)' (х 1и а) л .г — — — + — ".
+( — !)" 1! 31 Ы "' (2л+1) + мз 1 — + — — ° ° ° +( — 1) + "- 2! 41 ''' (2л)! 1 Гх л йгл хг — — ( — + — - — + +...) х 1 3 45 94б Я725 «э зхл 3.5х х+ —,+ — + — + ... 2.3 2.4.5 2.Я б 7 «ЯП+1 х — — + — — + ... +( — Ц 3 5 7 '" 2л+1 + ХЛ «Л ХЗ Л+1 Х х — — + —,— — +...+( — 1) — + 2 3 4 л ДЛ 1-1 2( — + — ( — ).!.— ( — )+ ° .. Необходимое условие длн точек пере гиба ириной у =/(х) Кривизна кривой у=/(х) КсюРдинаты центРа иРивизны (х, Ус) Теорема Рама (лла непрерывной Функции /(х) с непрерывной производной в промежутке от и ло Ы Теорема Лагранжа (О нонечных прирашспних) Рвд Тэйлора (ллн Фупкцин одной переменной! Ряд маклорена (лля Функции олзюй переменной) Постоянный мвонлитель выносится за знак интеграла Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности! интегралов Правило подстановкил если х т(!), то И г грел дроби, э которой чи литель есть производная знаменателе, разве натуральному логариФму знаменателя Линсйныс иолстаноеКи: к= > 11 + (у') 1 ' !з ралн)с кривизны П.= †/ к! у'( "эоу") с= хг,,г л х' (х'э Ф р'д) )с У+ хгу углиг Если /(а)=О и /(Ы О, то сушествует по меньшей мере олно такое число ((а « б < 5), которое уловлстворнет условию: /г(б)=О Если /(х)непрерывна и имеет непрерывную произвол.
ную при а<« <ь, то сушествует б(и «б «Ы кОторое удовлетворяет условию: /(Ы вЂ /'(а) е — и /(х) =/(а)+ — /г (н)+ 11 /и (а!.!..„. 1. ( ! /(л) !а),! В и! /(Х> /(О>+ — „ /'(О> Ь + /ирй !. 1. /!л)(Ы ! л 2! л! а/(х) их=о ~ /(х) дх (и+о — ш! дх ~ и их+ / о О« — ~ ш ах иди=ив ~'оии /(х> их —.. ~ /1, (!> ) зг (О гл — их=-!п /(х)+ С д !«) /(х) ) /(ах) Ох= — Р(аж+С 1 а /(с.( Ы их Р (х->-б).(-С 1 /(их ! Ыих= — Р(ах+5)+С а Неанределенны6 ннтегралы а и с !Чс 1 «с «1с с « М с + -!л ! + ~ь ь + !Н« 1 « + ! ) + 'а !'„ ++ (ь(» 1ь(,а Н к + а + а + к ! а Н « с(,' ь 1 + ь « а (с Н Н + « ь + + 4а «+ а Б с с о с с с с Ф с И а с о а а с О с $ «1ь а й!с ф !, 1сс Ч !Чс + ь « «1ь -!ь Ч ъ+ Н ! ° ! Н 4|+ Ч -"!" с « ЧОЗ а сй н Н с" а ас ха с с о с.
лс са с со $ а с аа а а оо а а М3 й а а с а а о с с Ф а с а а о с Л а ! 4 Ъ. Н сс а а + «а Ч Н «+ 4+ $ + с .-с 1с а !а ь Ч м «!: -!л Н «!ь 1ь Ч е~ ь « »)ь 1 «!« -)ь 4 Я' л 3 -:!: !ь 'с!а !ь Ч кс !е, к ь!« + а а !--: !-: )+«)! « !, -' !! Ч Р'~"' !+ + Н « +„4. % Й Ч -!ь Ч + "3,", 3 „~ ++ «1« 'а. ь « ~Я'! 1 а ! ь ~фс + -! Ч !:: !~ й И ~!ьф «а ь -~ьс Ч Н Я сс « с н « д '1!.
ь й ! о к ,с ь м к й и И к х к Ок, й к а. .о о .о о 11. о о о ь м ! « с иа 1 сй « о о 1 «ь а с ь с + « о 1о ° с + ь о с:с л .о ++ сйс о .о ! ь ,о + ь с о а а 1 « й а + -! ь ь с + о о ! ь с й= ь)л о с 4 Ф .!ь + к ! ~сс 1 ь с !ь ь М с й). 6 3 й ь с 1 ь 2 с 8 к .о ь с й 1 1 ь ! 1 ь со а о с 1ь :„-"!3 И с е а ск к ь с а а о + й 4 ь ь са.
ь М « к й,о й « х с й о Р Й х о с с й х а с. и й с с ч к о х х сй о. г. й с х и и в з с й "о М- сй сс о ч о ! к о й ! ь к 11 ь '4 И Я + 1ь 'с ь о о ! ойь! к! с с + с с « ! 1 с (ь 1 $ с 11 « сй 1 и с и. й к 1 1 сс 'ь ь !ь 4 1с 1 ь сс ь 2 к 104 1 с!м «ь о а о « ь о к 1 а 1ь 'с 'с ! « к ь Ж 6 к 1.» ь| ' .Б,к к 4 д с 1 к к ,)с $ -$ ° -! ° ь « ~« ь ~ь ь«О ь о + ! Неопределенные с + о а « ь + +— ~ о с й 1 1 ««:с ь й ь :.! м '6 с В В:Ъ к и ь пспегралы !! ь -(сс 1 к \ ь ь к с !ре 1 с ь сй~~ )ь с ! -(ь + н 1 « сс "м —, е Ж Й о о к й х й й о о з х о к й о к к с к и к о к х х й Ю й о М а к й х а с а с к к к о й х и к и к а с к а х х с з о о к \с + а Ф И.
3 Определенные ннтегралы интегралы Неопределенные О 'Н. сс 3 к к с х ! ь Н сс 8 (х~ь ч о + тс 1о Н с! о к ч -!д )д сс! Н 4 ч О 8 к!с Н с! \ '6 8 Я « ь ! ь 8 ° 1/~ 8» а а О ! 8 с! О О с! 1 О 1 д О О + О ь е+ а а + 1с Н ъс + э с ! к '1« ъо \ ! ъо ч ь ч + а а )д ! 1с Н в. з ! н 66 )э з" + з 1 Н ь + з ь ч о а 1сс + с к ч ь сс к с- .1- а 1э ь + з О 1 О сс ) Н 'с! а О ) ! 8 Н 4 сс + ч О с\ с! ч а Б с,/; ! э + О ! + а О 4 Н ч Ц' 8с 8 « Н « в 1сс « ! ! 4 8с Р 8к ь«!"« 8с 8 ь Ф О ч Ф 8 + )ь с1 ов % + ь ь ~д Н ь ю О В ! \! О -1ь 4 ь 8 О + ! О а Н ч В ч + ! % ! а 4 ч х и О 3 с! хс в ф в и О а О в а О ! с О О о 1 Е 1 !с Н ь О й + а 1с 1 М Н сс ь М Я + ! сс ч 1с Н ° с сс а а О О х О О Й а сс О Ь + (с» + в ! В ~з + О + з О + + !о 1 $ ~д + Н з О + о + ь + в.
+ а + О ь + з з ! + а О ь Ф В+ ь + + з ы О !о а Н ь ~в + э а с! ь *с О " — СО ! с а О л Н ч ! ь О х а х с с с а к О «1с в| о 8 со Н ч т, ! с "1о о 8 Н Н с/с т ъ ъо х О 8 !" о Л НО к О ! х О О в О Х $~''ж о о л Н ч ь ь ь х О С С О а а а в 1с о « 1с ! о о о л Н ч ь э ь а х х С О а в!с о в! )с)ь 'а ~д Н 4 8 ъо й Приблмукениое вычисление определенных интегралов Про>3ежуток (л, и между прелелаын интеграла разделяется на л равных частей, вычисляются вначения интегрируемой функции у в точках деленна.
Реаультаты яанвсь3важтся в вине твблицыт Интеграл веровтностн х 3* Ф(х)= — ~ л 2 г(Г 2 )' хи х =ь л х, Ь-л в= 33 Ф (х) Ф (х) Ф (х3 Ф (х) Ф (хг >Л-3 ул Уг 1,50 0.00 О! юг 03 04 0,3829 О,ЗИН 0,3969 0,4039 0,4108 0,50 51 52 0,%90 0,87!5 0,6827 О,В>75 0,6%3 0,%70 0,7017 1,СО О! И 04 0,0000 0,00% О,О!60 О,ОНН 0,0319 2,00 05 1О 15 20 0.9545 0,9%6 0,9643 0.9684 0.9722 *1 52 И (н ь ФЮРмУла нРиыоУгольнмков ~ > дх л (Уо.).У .(..., 4-> ) ь ь Фовмгла твацеиий ~ У х — (Ус+27, +2>т+ ... +2Ул +Ул) Формула парабол (Самогона) [л — четное) 0,4177 а!245 0,4313 О,Я381 О,'4448 % 57 58 69 0,03% 0.0478 0,0558 0,0638 0,071 7 56 57 0,8789 0,6812 О,ЮЗВ 0,8559 0,8852 0,9756 0,9786 0.9812 0.9836 0,9857 25 ЗО 35 0,705> 0.7109 0.7154 0,7199 0,7243 0,0797 0.0876 0,0%5 О, 1034 0,1113 0,%15 0,45Я! 0,4647 0,4713 0.4778 0.60 б! 64 0,10 11 32 13 14 0,9876 0.98% 0,99С7 0.9%0 0,9931 1,60 61 0„9903 0,8926 айнв 0.8969 1,1О 11 12 13 !4 0,7%7 0,7333 0,7373 0,7Я15 0,7467 Ь л У х з (>о+473+2>т+ Ув+ "' +Ягл-я+4>л-1+?и) л Все три формтлы тем 3очнее, чем болыне и.
Вторая формуле то Знее первой; третья еще точнее. Гамма-функция Г(и) Г(л) = ~ в "х" 'с(х 0 0,9940 0,9949 0,9956 0,9963 0,9969 О,ЯЙЗ 0,4907 0,4971 аннз 0,%% 15 16 ы 18 !Я 0,1192 0,127! 0,1350 О,И28 О, 1КЛ 15 16 17 18 19 0,9011 0,9331 0,9051 0,9С70 0,9090 65 66 67 68 69 75 80 и % % Я5 0,7499 0,7540 0,7580 0,7620 0,7660 0,5361 абкь 0,52% 0,5346 0,5407 1,20 21 24 0,1585 0,1663 0,1741 0,1819 0,1Ю7 0,99730 О,ЮКИ 0,%563 О,ЮКВ 0,9%33 О.О)09 0,912? 0,9146 0,9164 Ю;9181 0,9199 ОЖ16 ЮГ%65 0,70 т! 72 73 74 0,20 21 22 Ы 24 1.?О 71 72 73 74 0,7699 0,7737 0,7775 0,7813 0,7850 З,ОО 1О 20 30 40 Г(л+1)=нГ(л); Г(л).Г(1- л)= —.— 1 Г(л)=(л — 1)! прн л целом положительном ыннк ' 0,5587 0.5646 0,5У05 0,1974 0,2051 0,2128 0,2205 0,2%2 0,99%5 0,99958 0.9%78 0,%986 0,9%90 25 26 27 28 29 76 ?б 77 78 79 75 76 77 78 79 0,7887 0,7923 0,7%9 0,?КХЯ 0,%29 Г(л) л Г(лг ( и Г (л) г (л> Г(Л) 0,2358 0,2434 0,2510 0,%% 0,2%1 0.57% 0,682! 0,%78 0,59% 0,%91 1,30 3! 32 33 34 0,30 31 32 34 34 0,%81 0,929? 0,9312 0,9327 0,9342 1,80 81 Ю 84 0,8054 0,%98 0,8132 о',В!65 0,8198 0,8%0 0,8262 0,8293 0,6324 0,%55 0,80 81 И % % 0,8%52 ~ 1,50 0.8%58 1 1 — 10 1 Ю-Я 4,417 0.%3% 0,97344 0,975% О,Я5574 0,9641 5 0,95973 0,6047 0,6!Ог 0,6157 0,6211 0,6265 35 36 37 % 39 0,2737 0,9312 0,28% 0,2961 0,3035 35 36 37 88 ЗЯ 85 86 87 % Ю % 86 87 58 Ю 1 — 1О 5,327 0,%546 0.63! 9 0,6372 0,6424 0,6476 0,6528 ойиов 0,3328 0,3401 0,3473 0,3545 0,3616 аз(из 0,3'359 1,40 41 42 43 44 0,40 41 42 43 4Я аоо 91 92 93 94 0,%85 Юем!5 0,8444 0,8473 0,8501 1.90 Я! 92 ЯЗ 94 0,93642 0,93304 0,92980 0,9>ИО 0,92>73 аг920% 0,%79 О,КЙ9 О,бий) 0,6729 0,6778 45 46 47 ЯВ Р3 яз 96 97 98 99 0,85% 0,8557 0,8%4 О,ВВП 0,8638 95 96 Ю 46 1,00 1,08 б 1,10 1 2 1,1б б 7 ь 9 1,20 1 2 3 1,25 б У В ! 30 1 3 4 1,35 б 7 8 Я 0,91817 0,91558 0,913П 0 О1075 0,90%2 О,КИНО 0,90340 0,9?гбО 0.9В?2 О,ЯЯЯОЯ 0,89747 0,8%% 0,894 С> 0,89115 0,89038 0,%93! 0,887% 3,40 1 2 1,45 1,50 1 2 б 7 9 О,Ю?25 0,3%76 0,88636 0.8%04 0,8858! 0,%566 0.%%3 0,88575 0,88595 0,88623 О,Ю659 0,88704 О,ВВ?5? 0,88818 0,%8% 0,%963 0,%0!9 0,89Ц2 0,%2(3 1,60 1 2 1,65 б 8 9 1,70 1 3 Я 1,76 7 8 9 0,89597 0,89724 0,%864 0,90012 0,90167 О,ЯОЗЗЮ О,ЯОВОЮ 0.90578 0,90964 О,Я!057 0,91255 0,93457 0,91683 0,9)ЯО6 0,9>137 Ютн>?б 0,9%3> О,йгз?7 2 1,85 6 1,90 1 2 3 4 (,ос 6 7 8 аоо 0,93138 0,93408 О.ЯЖь 0,93969 0,942% 0,94561 0,94869 0,%184 0,%507 Ю,ЯИиз 0,96177 0,96523 0,9%77 0,9724> 0,%510 О,УЛИН 0,9%74 0,95768 0,9917! 0,%581 гг>>ЙИ 0,9357 0,9371 0,9365 0,9399 0.9412 0,94% а94% 0,9451 0,9464 0,9476 0.94% 0,95% 0,9512 0,%28 0,%34 АИФФЕРЕНЦИАЛЬН24Е УРАВНЕНИЯ Ураанення не))бого порядка 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
