О.В.Михайлова, Т.В.Облакова Случайные процессы-2. Стохастический анализ (2014) (1113354)
Текст из файла
МГТУ им. Н.Э. БАУМАНАФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Вычислительная математика и математическаяфизика»О.В. Михайлова, Т.В. ОблаковаСлучайные процессы-2. Стохастический анализЭлектронное учебное изданиеМетодические указания к выполнению домашнего задания по курсу «Теория случайных процессов»Москва(С) 2014 МГТУ им. Н.Э.
БАУМАНАУДК 519.2Рецензент: проф., д.т.н. Сидняев Н.И. Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2. Стохастический анализ. Методические указания к выполнению домашнегозадания по курсу «Теория случайных процессов». - МГТУимени Н.Э. Баумана, 2014. 26 с.Издание содержит материал для самостоятельной проработки базовой части курса «Стохастическийанализ и стохастические дифференциальные уравнения». Материал предназначен для методическогообеспечения специальности 01020062 – Математика и компьютерные науки, а также может бытьиспользован студентами других специальностей, предусматривающих расширенное изложение предмета.Методические указания содержат необходимый теоретический материал, примеры решения типовыхзадач, материал для самоконтроля и варианты типового домашнего задания. Для студентов направления подготовки "Математика и компьютерные науки", специальности"Прикладная математика", а также студентов машиностроительных специальностей, изучающих курстеории случайных процессов и стохастического анализа.Рекомендовано учебно-методической комиссией факультета«Фундаментальные науки»МГТУ им.
Н.Э. БауманаМихайлова Ольга ВладимировнаОблакова Татьяна ВасильевнаСлучайные процессы-2. Стохастический анализ(С) 2014 Михайлова О.В., Облакова Т.В.(С) 2014 МГТУ им. Н.Э. БАУМАНАСодержание.1. Введение. Цели и задачи методических указаний…………………………………………42. Стационарные случайные процессы……………………………………..…………….…...53. Спектральное разложение стационарных случайных процессов………………….……104. Линейные динамические системы…...……………………………………………….……165. Варианты домашнего задания…………………..……………………………………….…246.
Литература………………………………………………………………………………..…25_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.31. Введение. Цели и задачи методических указанийДанное издание предназначено для методического обеспечения направленияподготовки 01020062 – Математика и компьютерные науки, но также может бытьиспользовано студентамидругих специальностей, предусматривающих расширенноеизложение предмета. Общий курс теории случайных процессов, который все чащевключаетсяв программы подготовки инженеров различных специальностей инаправленийподготовки,внастоящеевремядостаточнохорошообеспеченфундаментальными учебниками, например [1], [2], [3]. Данные методические указанияпредназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов при подготовке кпрактическим занятиям и выполнении индивидуального домашнего задания и являютсяпродолжением и развитием работы авторов [4].
Основной темой настоящейработыявляются стационарные в широком смысле случайные процессы, описывающиеустановившиеся режимы функционирования стохастических систем. Примерами такихпроцессов могут служитьколебания напряжения и силы тока в сетях различногоназначения, пульсации скорости или давления газа в газопроводе и т.п. Для успешногоосвоения дисциплины необходимы базовые знания курсов «Математический анализ»,«Дифференциальные уравнения», «Теория вероятностей» и некоторые элементы курса«Функциональный анализ».Целью данных методических указаний является ознакомление студентов, изучающихкурс случайных процессов, со спектральной теорией стационарных случайных процессов,преобразованиемтаких процессов линейной динамической системой и применениемтеории к решению конкретных инженерных задач. Задача указаний – освоение основныхпонятий и отработка навыков определения вероятностных характеристик выходногосигнала () по вероятностным характеристикам входного сигнала ().Методическиеуказаниясодержатнеобходимыйтеоретическийматериал,сгруппированный в трех параграфах, примеры решения типовых задач, материал длясамоконтроля в виде задач с приведенными ответами.
Отдельный параграф содержит 30вариантов типового домашнего задания._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.42. Стационарные случайные процессы.Определение 1. СП X (t , ω ) называют стационарным в узком смысле, если длялюбого N ≥ 1, t k ∈ T , k = 1, , N и h ∈ ℜ , такого, что t k + h ∈ T , имеет место тождествоFX ( x(1) , x( 2 ) , , x( N ) | t1 , , t N ) ≡ FX ( x(1) , x( 2 ) , , x( N ) | t1 + h, , t N + h) или, что то же самое,f X ( x(1) , x( 2 ) , , x( N ) | t1 , , t N ) ≡ f X ( x(1) , x( 2 ) , , x( N ) | t1 + h, , t N + h) , то есть его -мернаяфункция распределения и плотность распределения не изменяются при сдвиге всехего временных аргументов на одинаковую произвольную величину ℎ.Определение 2.
СП X (t , ω ), t ∈ T называется стационарным в широком смысле,если его м.о. – постоянный вектор, а к.ф. зависит только от разности аргументов, тоесть M [ X (t , ω )] = m X = const , K X (t1 , t 2 ) = K X (t 2 − t1 ) = K X (τ ),τ = t 2 − t1 .Замечания.1. Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.Обратное неверно!2. Дисперсия стационарного случайного процесса постоянна при всех значенияхаргумента t и равна значению корреляционной функции в начале координат (τ = 0) :D X (t ) = K X (0) .Свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса:1.
Корреляционная функция стационарного случайного процессачетнаяфункция: () = (−).2. Абсолютная величина корреляционной функции стационарного случайногопроцесса не превышает ее значения в начале координат: | ()| ≤ (0).Определение 3. Нормированнойкорреляционной функцией стационарного ()случайного процесса называют неслучайную функцию аргумента : () = (0).Абсолютная величинаединицы: | ()| ≤ 1.нормированной корреляционной функции не превышаетОпределение 4. Два СП () и () одного и того же аргумента t ∈ T называютсястационарно связанными, если их взаимная к.ф. является функцией разностиаргументов K XY (t1 , t 2 ) = K XY (τ ), τ = t 2 − t1 .Теорема 1. Если () дифференцируемый стационарный случайный процесс, токорреляционная функция производной ′ () равна второй производной откорреляционной функции СП (), взятой со знаком минус:_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В.
Случайные процессы-2.5 ′ () = −′′ ().(1)Теорема 2. Если X (t ) − стационарный случайный процесс, то корреляционнаяtY (t ) = ∫ X ( s )dsфункция и дисперсия интегралаформулам:20находятся, соответственно, по2 −11 (1 , 2 ) = � (2 − ) () − � (2 − 1 − ) () + � (1 − ) () ,00 () = 2 ∫0 ( − ) () .0(2)(3)Пример 1. Является ли стационарным в широком смысле случайный процессX (t ) = U cos 2t , где U − случайная величина, M [U ] = 3 , D[U ] =Решение.
Вычислим характеристики:1?4m X (t ) = M [U cos 2t ] = cos 2tM [U ] = 3 cos 2t ;K X (t1 , t 2 ) = M [(U cos 2t1 − 3 cos 2t1 )((U cos 2t 2 − 3 cos 2t 2 ))] = cos 2t1 cos 2t 2 M (U − 3) 2 == cos 2t1 cos 2t2 DU =1cos 2t1 cos 2t2 .4Поскольку полученнаякорреляционная функция не зависит от разностиаргументов t1 и t2 , то случайный процесс X (t ) не является стационарным.Пример 2. Даны два СП X (t , ω ) = Z cos ωt + U sin ωt ; Y (t , ω ) = − Z sin ωt + U cos ωt , гдеZ и U - некоррелированные СВ, причем = = .
Найдите взаимную к.ф.Являются ли эти СП стационарно связанными?Решение. Находим взаимную к.ф. этих СП: (1 , 2 ) == ��( − ) cos 1 + ( − ) sin 1 �(−( − ) sin 2 + ( − ) cos 2 )� == − cos 1 sin 2 ( − )2 + sin 1 cos 2 ( − )2 = sin (1 − 2 ).Поскольку (1 , 2 ) зависит от разности аргументов, то СП X (t ) и Y (t ) стационарносвязаны.Пример 3.
Задан случайный процесс () = sin( + ), где - случайнаявеличина, распределенная равномерно в интервале (0; 2). Докажите, что () стационарный случайный процесс._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.6Решение. Если - равномерно распределена на (0; 2), то ее плотность имеет1вид: () = �20,∞,(0; 2). Вычисляем характеристики: ∉ (0; 2)21 () = � sin( + ) () =� sin( + ) = 0,20−∞1 (1 , 2 ) = [sin(1 + ) ∙ sin(2 + )] = [cos(1 − 2 ) − cos(1 + 2 + 2)] =221111 1= cos(1 − 2 ) − [cos(1 + 2 + 2)] = cos(1 − 2 ) −� cos(1 + 2 + 2) =2222 210= 2 cos(1 − 2 ).Следовательно, () - стационарный в широком смысле случайный процесс.Пример 4.
Задан случайный процесс () = + cos + sin , где и -некоррелированные случайные величины, причем = = 0, = = .Докажите: а) () - нестационарный случайный процесс; б) ′() - стационарныйслучайный процесс.Решение. Найдем характеристики СП ():[()] = [ 2 + cos + sin ] = + cos + sin = , (1 , 2 ) = [( cos 1 + sin 1 )( cos 2 + sin 2 )] == cos 1 cos 2 + sin 1 sin 2 = cos(2 − 1 ).Поскольку [()] зависит от , СП () – нестационарный.В то же время характеристики ′() гарантируют его стационарность:[′()] = 1 - не зависит от ,2 ′ (1 , 2 ) = 1 2 (1 , 2 ) = cos(2 − 1 ) - зависит от разности аргументов.Пример 5. Случайный процесс () имеет характеристики [()] = 0, (1 , 2 ) = 1+(11 −2t.
Найдите характеристики случайного процесса Y (t ) = ∫ X ( s )ds .)20Являются ли случайные процессы () и () стационарными?Решение. Процесс() является стационарным в широком смысле поопределению 2. Найдем характеристики СП (). Его математическое ожиданиеочевидно равно нулю. Вычислим корреляционную функцию по формуле (2):_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.722 −11 (1 , 2 ) = � (2 − ) () − � (2 − 1 − ) () + � (1 − ) () =2=�0002 −1012 − 2 − 1 − 1 − 12−�+�=arctg|−ln(1 + 2 )|02 −2022221+1+1+0 −1−(2 − 1 )arctg |02011 −+ ln(1 + 2 )|02 1 + 1 arctg |01 − ln(1 + 2 )|01 =2211 + (2 − 1 )2= 2 arctg 2 + 1 arctg 1 −(2 − 1 )arctg(2 − 1 ) + ln ��.(1 + 12 )(1 + 22 )2Тогда из(3) заключаем, что () = 2 arctg − ln(1 + 2 ).Следовательно, СП (), в отличие от СП (), не является стационарным.Задачи для самоконтроля.1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
