О.В.Михайлова, Т.В.Облакова Случайные процессы-2. Стохастический анализ (2014) (1113354), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Докажите, что если () - стационарный случайный процесс, - случайная величина,некоррелированная с (), то случайный процессстационарным.2. Известна корреляционная функция () = −() = () + является2 2стационарного случайногопроцесса (). Найдите корреляционную функцию случайного процесса () = 4().Ответ: () = 16 −2 2.3. Найдите нормированную корреляционную функцию, зная корреляционную функцию2стационарного случайного процесса (): () = 5 − .2Ответ: () = − .4. Случайный процесс () имеет вид: () = cos , где - случайная величина схарактеристиками: = 2, V = 3. Является ли () стационарным?Ответ: Нет.5.
Найдите корреляционную функцию производной случайного процесса (), если () = −|| (1 + ||).Ответ: ′ () = 2 −|| (1 − ||).6. Докажите,чтопроизводныелюбогопорядка(еслистационарной случайной функции также стационарны.7. Сколькоразможнодифференцироватьвсмыслеонисуществуют)среднегоотквадратичногостационарный случайный процесс (), ∈ ℝ , корреляционная функция которогоимеет вид: а) () = 2 −2 2; б) () = ||2+1 || , ≥ 1.Ответ: а) бесконечно много; б) раз._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.88.
Найдите вероятность того, что производная в смысле среднего квадратичного ′ () от нормального стационарного в широком смысле случайного процесса ()примет значение, большее = √5 м/с , если [()] = 10 м, () = −|| �cos + sin ||�, где = 4м2 , = 1с−1 , = 2с−1 .1Ответ: = 1 − Φ �2� = 0,309.9. Пусть 1 , 2 - независимые, одинаково распределенные случайные величины,принимающие значения ±1 с вероятностями 1/2. Докажите, что случайный процесс() = 1 cos + 2 sin , ∈ ℝ, ∈ ℝ, является стационарным в широком смысле.10. Пусть () = 1 () + 2 (), ∈ ℝ, 1 () и 2 () - независимые стационарные вшироком смысле процессы, принимающие значения на множестве ℝ.
Докажите, что() стационарный в широком смысле случайный процесс.11. До какого порядка существуют производные случайного процесса (), если его1корреляционная функция имеет вид () = 2 −|| �1 + || + 3 2 2 �?Ответ: до четвертого включительно.112. Известна корреляционная функция () = 2 −|| �1 + || + 3 2 2 � случайногопроцесса (). Найдите корреляционную функцию СП () = "().51Ответ: () = 2 4 −|| �1 − 3 || + 3 2 2 �.13. Пусть () стационарный случайный процесс, корреляционная функция которогоизвестна. Найдите взаимную корреляционную функцию () и ′().Ответ: ′ (1 , 2 ) = −′ (1 − 2 ).t14.
Найдите дисперсию интеграла Y (t ) = ∫ X ( s )ds , зная корреляционную функцию0стационарного СП (): а) () = −|| ; б) () = −|| (1 + ||).Ответ: а) () =22� −|| − 1 + ||�, б) () =22� −|| (3 + ||) + 2|| − 3�.15. Найдите взаимную корреляционную функцию случайных процессов ()tY (t ) = ∫ X ( s )ds , если известна ().и0 −2Ответ: (1 , 2 ) = − ∫0 1 ()._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.93. Спектральное разложение стационарных случайных процессов.Определение 1. Спектральной плотностью стационарного случайного процесса()называют функцию () которая связана с корреляционной функцией ()взаимно-обратными преобразованиями Фурье:+∞1 () =� () − ,2−∞+∞ () = � () .−∞(4)(5)Эти формулы называют формулами Винера-Хинчина.
В действительной форме онипредставляют взаимно-обратные косинус - преобразования Фурье:+∞1 () = � () cos ,(6) () = 2 � () cos .(7)0+∞0Свойства спектральной плотности действительного случайного процесса.1. () ≥ 0,2. (−) = (),3. lim→∞ () = 0,∞4. = 2 ∫0 ().Определение 2. Нормированной спектральной плотностью стационарногослучайного процесса X (t ) называют отношение спектральной плотности к дисперсиислучайного процесса:норм () = ().+∞∫−∞ ()Определение 3. Взаимной спектральной плотностью двух стационарных истационарно связанных случайных процессов () и Y (t ) называют функцию s XY (ω ) ,определяемую преобразованием Фурье:+∞1 () =� () − .2−∞_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В.
Случайные процессы-2.10Взаимная корреляционная функция выражается через взаимную спектральнуюплотность с помощью обратного преобразования Фурье:+∞ () = � () .−∞Пример 1. Найдите корреляционную функцию стационарного случайного процесса(), спектральная плотность которого: () = �величина, ℎ > 0.Решение. Согласно формулам (3) и (5)∞ () = � −∞() , || ≤ ℎ, где ℎ - постоянная0, || > ℎℎ = 2 � cos = 20sin ℎ.Пример 2. Корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного2 2процесса (), t ∈ R , имеет вид: () = −плотность ()., > 0. Найдите спектральнуюРешение. По определению (4) необходимо вычислить интеграл () =∞∞−∞−∞12 2� () − =� − − = �22 − 22= 42� = 22−2 =2√−�=22�= = � +242 .Предпоследнее равенство в этой цепочке имеет место в силу теоремы Коши изкомплексного анализа.
В самом деле, рассмотрим контур = ′ ∪ ′′ ∪ + ∪ − ,изображенный на рисунке 1. Здесь ± - отрезки прямых = ± + , заключенные междудействительной осью и прямой = 22 .Посколькувездеподынтегральнаяаналитична,2∫ − = 0.Интегралы по отрезкам ± стремятся кнулю:�� ±−(±+)2C R′′функция� ≤ � �±−(±+)2l R+l R−-R�|| = � ±C R′− 2 +2 ||≤RРис.1− 2 +244∙⟶ 0.22 →∞_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.11Следовательно, получаем в пределе равенство:� =22−2∞2 = � − = √.−∞Задачи для самоконтроля.1. Найдите корреляционную функцию стационарного случайного процессапостоянной спектральной плотностью () = 0 .(), сОтвет: () = 20 () .2.
Найдите спектральную плотность стационарного случайного процесса, зная егокорреляционную функцию: () = −|| .1Ответ: () = (1+2).3. Найдите дисперсию стационарного случайного процесса (), зная его спектральную10плотность: () = (1+2).Ответ: = 10.4. Найдите спектральную плотность случайного процесса (), если его корреляционнаяфункция () = −|| cos .Ответ: () =2 + 2 +2∙ (2 +(+)2 )(2 +(−)2 ).5. Найдите спектральную плотность стационарного случайного процесса с корреляционнойфункцией: () = −|| (2() − ), > 0.
2Ответ: () = (2 +2).6. Корреляционнаяфункция ()стационарногослучайногопроцесса() заданавыражением () = −|| (1 + ||), > 0, > 0. Найдите спектральную плотность ().Ответ: () =7. Дана23(2 +2 )2спектральная.плотность2 () = � exp �− 4 �стационарногослучайногопроцесса (), > 0, > 0.
Найдите корреляционную функцию ().2Ответ. () = √ − ._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.128. Докажите, что не существует никакого стационарного случайного процесса (),корреляционная функция которого () постоянна в каком-то интервале (−1 ; 1 ) иравна нулю вне его.9. Определите, обладает ли функция () = −|| �ch + sh ||�, > 0, > 0,свойствами корреляционной функции.Ответ. Да.10.
Найдите его корреляционную функцию ()и спектральную плотность ()случайного процесса () = ′ (), если случайный процесс () имеет корреляционнуюфункцию () = −|| �ch + sh ||�, > 0, > 0.4 2 �2 − 2 �Ответ: () = ( 2 − 2 ) −|| �ch − sh ||� , () = (2 +(−)2 )(2 +(+)2 ).11. Найдите спектральную плотность () стационарного случайного процесса () скорреляционной функцией () = −|| �cos + sin ||�.Ответ: () =�2 +2 �22 (2 +(−)2 )(2 +(+)2 )12. Найдите спектральную плотность () стационарного случайного процесса () скорреляционной функцией: () = �2 2 �1 −0,Ответ: () = 2 (1 − cos ).||�,|| ≤ || > .13. Случайный процесс () имеет математическое ожидание () = 8 и спектральнуюплотность () =20 2 +5∙ 4 +62 +25. Найдите корреляционную функцию СП ().Ответ: () = 10 −2|| cos .14.
Найдите спектральную плотностькорреляционной функцией () =Ответ: () =24 () стационарного случайного процесса () с22cos 3 K X (τ ) =A2cos 3τ .2(( − 3) + ( + 3)).15. Стационарный случайный процесс имеет корреляционную функцию1 () = 2 −|| �1 + || + 3 2 2 �. Найдите спектральную плотность этого процесса.85 2Ответ. () = 3(2 +2)3.1016. Задана спектральная плотность () = (2 +2 ) стационарного случайного процесса(). Найдите нормированную спектральную плотность._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.13Ответ: норм () = (2 +2 ).17.
Заданаспектральнаяплотность2дифференцируемого () = (2 +2)2 , > 0,стационарного случайного процесса (). Найдите дисперсию производной случайногопроцесса ′().Ответ. () =22.18. Докажите, что зная спектральную плотность дважды дифференцируемого стационарногослучайного процесса (), можно найти спектральную плотность второй производной ′′ () по формуле ′′ () = 4 (). () = −|| (1 + || + 2 ) быть корреляционной функцией19. Может ли функциястационарного случайного процесса ()?Ответ. Нет.20. Докажите, что для стационарных и стационарно связанных случайных процессов () и()справедливо соотношение, связывающее (−) = ().взаимные спектральныеплотности:21.
Задана спектральная плотность () = (2 +2 ) , > 0, стационарного случайногопроцесса (). Найдите спектральную функцию () = ∫−∞ ().11Ответ: () = � arctg + 2�.22. Докажите, что взаимные спектральные плотности дифференцируемого стационарногослучайного процесса () и его производной ′ () связаны равенством: ′ () = − ′ ().23.
Докажите, что, зная спектральную плотность () дифференцируемого стационарногослучайного процесса (), можно найти взаимную спектральную плотность случайногопроцесса () и его производной ′ () по формуле: ′ () = ().24. Найдите взаимную спектральную плотность стационарного случайного процесса () и2его производной ′ (), зная корреляционную функцию () = 2 − .Ответ: ′ () =√2− 4 .25. По виду спектральной плотности случайного процесса ()определите, сколько1производных имеет этот процесс, если () = 2 −|| �1 + || + 3 2 2 �.1Ответ.
Две производные, так как () с ростом убывает, как 6._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.14_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.154. Линейные динамические системы.Определение. Стационарной линейной динамической системой называютустройство, которое описывается линейной динамической системой с постояннымикоэффициентами, видаa 0Y ( n ) (t ) + a1Y ( n −1) (t ) + + a nY (t ) = b0 X ( m ) (t ) + b1 X ( m −1) (t ) + + bm X (t ) = f (t )(8)где () - стационарный случайный процесс на входе устройства (воздействие,возмущение), () - случайный процесс на выходе устройства (реакция, отклик)Случайные воздействия (ошибки измерения, помехи и т.д.) приводят к тому, что навход системы подается не функция (), а некоторая функция () = () + () - где() - это случайный процесс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
