О.В.Михайлова, Т.В.Облакова Случайные процессы-2. Стохастический анализ (2014) (1113354), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Дано: Y ′′(t ) + 8Y ′(t ) + 7Y (t ) = X (t ) , () = 4 −2 2гдеα1 = h ,. Найдите корреляционную функциюY (t ) для моментов времени, превосходящих время переходного процесса.Ответ.⋅e− 7τ +12 , 25α2K y (τ ) =π336−τ +7e14α 2− 7τ + 1  1+Ф2ατ−−e2α   12 , 25α2 3,5    +1 + Ф 2  ατ −α   τ+ 2   1  3,5    .  + 7e 4α 1 − Ф 2  ατ +1 + Ф 2  ατ +2α  α    113. Воспользовавшись спектральным разложением стационарного случайного процесса(), определите для момента времени t >>1дисперсию интеграла уравненияaY ′(t ) + aY (t ) = tX (t ) при нулевых начальных условиях, если s X (ω ) =Ответ. DY (t ) =σ x2 22a + α t + 2(1 − 2at  .a(a + α ) 2a ( a + α )σ x2α.2π ω +α 214.

Два стационарных скалярных случайных процесса X (t , ω ) , t ∈T = [0;+∞) и Y (t ) ,t ∈T = [0;+∞) ,связаныравенством5Y ′(t , ω ) + Y (t , ω ) = 4 X ′(t , ω ) + 3 X (t , ω ) ,t ∈T .Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного процесса Y (t , ω ) , t ∈ T ,если m x = 0 и () = 2 −|| , где α − известная положительная величина.Ответ.

mY = 0 , DY =0,4(16α 2 + 45).5α + 1_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.2215. Найдитедисперсиирешенийсистемыуравненийвмоментвремениt:Y1′(t ) + 3Y1 (t ) − Y2 (t ) = tX (t )2, если начальные условия нулевые, а s X (ω ) =.π (ω 2 + 1)Y2′ (t )(t ) + 2Y1 (t ) = 0DY1 (t ) =Ответ.DY2 (t ) =(3 − 4t 4  220 511231;e +  − t + 4t − e −3t +  t 2 −2t + e − 2t + t 2 − t +293 496 1082)()3 − 4t 882089.e −3t 2 − 6t + 14 e −3t + 2t 2 −4t + 1 e − 2t + t 2 − t +227995416.

Найдитедисперсиирешенийсистемыуравненийприt = 0,5 сек:Y1′(t ) + 3Y1 (t ) − Y2 (t ) = tX (t )2, если s X (ω ) =, а начальные условия нулевые.π (ω 2 + 1)Y2′ (t ) + 2Y1 (t ) = 0Ответ. DY1 (t )(0,5) = 0,01078 , DY2 (t )(0,5) = 0,00150 .17. Спроектированы две линейные стационарные динамические системы, на входкоторых поступает стационарный случайный процесс (). Передаточные функциисистем соответственно равны: Ф 1 ( p ) =4p +1p +1, Ф 2 ( p) =.

Известна спектральная3p +13p +1плотность выходного процесса: s X (ω ) =12. Какая из систем обеспечиваетπ (ω 2 + 4)наименьшую дисперсию выходного процесса?Ответ. Вторая система: DY1 (t )(0,5) = 10 , DY2 (t )(0,5) = 10 7 .18. Случайный процесс Y (t ) связан со случайным процессом ()уравнениемY ′(t ) − tY (t ) = X (t ) . Найдите K Y (t1 , t 2 ) , если () = −|| , а при t = 0 Y (t ) = 0 .aπ 2 (t112 +t22 + 2α 2 ){(Ф(t 1 − α ) + Ф(α ) )(Ф(t 2 + α ) + Ф(t 1 + α ) ) −e21Ответ.−42πK Y (t1 , t 2 ) =t1∫e1− (ξ −α ) 220Ф(ξ + α )dξ  , t 2 ≥ t1 .19.

Стационарный случайный процесс Y (t ) связан со стационарным случайнымпроцессом(),спектральнаяY ′′(t ) + 2hY ′(t ) + k 2Y (t ) = k 2 X (t ) , гдеплотностькоторогоизвестна,уравнениемk ≥ h > 0 . Найдите взаимную спектральнуюплотность sYX (ω ) и корреляционную функцию связи RYX (τ ) .Ответ. sYX (ω ) =+∞iωτk 2 s x (ω )k 2 s x (ω )2,R=keYX∫−∞ (k 2 − ω 2 ) − 2hiω dω .(k 2 − ω 2 ) − 2hiω_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.235. Варианты домашнего задания.Стационарные случайные процессы связаны соотношением:1+ 1 = 2+ 2 Найдите (), если известна ().Варианты функции () :1) () = −|| cos ; 2) () = −|| (1 + ||);Вар. ()2213410111213141502135492 Вар.

()338 1 1 21272161453) () = −|| (cos ) + sin ||); 4) () = −|| �cos − sin ||�.12341231456788605211 612 010 413 515 3230112343413456734316710 825121432543263163438443254422738733254328 1416412182633481412543217192021222324252627282930134123412341255843579 30 46 27 54 60 41 1 223443223440112 12 11 11 53 5357 9483 710 0 7349 30 621252210124752414612220031203263033312754961_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.246.

ЛИТЕРАТУРА.1. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005, 400 с.2. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2003.3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные4.приложения. М.: Высшая школа, 2000.Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-1. Основные понятия.

Методическиеуказания к выполнению домашнего задания по курсу «Теория случайных процессов» М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 24с.5. Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике итеории случайных функций. М., Наука, 1970.6. Случайные функции: Учеб. Пособие. Тескин О.И., Цветкова Г.М., Козлов Н.Е., ПашовкинЕ.М. М, Изд-во МГТУ, 1994._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.25.

Характеристики

Список файлов книги