О.В.Михайлова, Т.В.Облакова Случайные процессы-2. Стохастический анализ (2014) (1113354), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В результате выходной сигнал () - также являетсяслучайным процессом. В этом случае принято говорить о стохастическомдифференциальном уравнении.вЗадача интегрирования стохастического дифференциального уравнения состоитопределении вероятностных характеристик выходного сигнала ()вероятностным характеристикам входного сигнала ().поПусть случайные процессы () и () стационарные случайные процессы,связанные дифференциальным уравнением вида (8).
Найдем математическоеожидание , зная . Для этого приравняем математические ожидания левой иправой частей уравнения (8). Учитывая, что () и () - стационарные случайныепроцессы, а, следовательно, математические ожидания их производных равно нулю,получим, что = , откуда = .Далее введем обозначениеоператорной форме:= , что позволяет переписать уравнение (8) в(a 0 p n + a1 p n −1 + + a n )Y (t ) = (b0 p m + b1 p m −1 + + bm ) X (t )Разрешая (9) относительно Y (t ) , получаем:b0 p m + b1 p m −1 + + bmY (t ) =X (t )a 0 p n + a1 p n −1 + + a nОпределение.(9)(10)Передаточной функцией линейной динамической системыназывают отношение многочлена от переменной при () к соответствующемумногочлену при Y (t ) в операторном уравнении (9): Ф( p) =b0 p m + b1 p m −1 + + bma 0 p n + a1 p n −1 + + a n_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В.
Случайные процессы-2.16Из соотношения (10) следует, что входная и выходная функции связаны равенством:Y (t ) = Ф( p ) X (t ).Определение. Частотной характеристикой линейной динамической системыназывают функцию, которая получается заменой аргумента в передаточнойфункции на аргумент iω (i 2 = −1, ω ∈ R, ω − число)b0 (iω ) m + b1 (iω ) m −1 + + bmФ(iω ) =a 0 (iω ) n + a1 (iω ) n −1 + + a n(11)Теорема. Пусть Φ() – частотная характеристика линейной динамическойсистемы (8). Тогда спектральные плотности входного и выходного СП связаныравенством: () = ()|Φ()|2.(12)То есть, для того, чтобы найти спектральную плотность выходного случайногопроцесса, надо умножить спектральную плотность входного случайного процесса наквадрат модуля частотной характеристики.Зная спектральную плотность выходной функции можно найти ее к.ф.∞ (ℎ) = � () ℎ ,а,следовательно,Пример 1.Некоторая5−∞∞ = � ().идисперсию−∞динамическаясистемаописываетсяуравнениемdY (t )dX (t )+ Y (t ) = 4+ 3 X (t ) .
На вход этой системы подается стационарныйdtdtслучайный процесс () с характеристиками = 3 и (ℎ) = 2 −|ℎ| , > 0. Найдемматематическое ожидание и дисперсию случайного процесса () на выходе.Решение.Приравниваем математические ожидания левой и правой частейзаданного дифференциального уравнения и находим :[5 ′ () + ()] = [4 ′ () + 3()], = 3 = 9.Поскольку X (t ) и Y (t ) - стационарные функции, математические ожидания ихпроизводных равны нулю. Далее, по формуле (6)_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В.
Случайные процессы-2.17+∞+∞00122 () = � (ℎ) cos ℎ ℎ = � −ℎ cos ℎ ℎ =.2( + 2 )Находим частотную характеристику и квадрат ее модуля. Из формулы (11)9+16 24+3Φ() = 5+1, откуда |Φ()|2 = 1+252.Следовательно,Тогда29 + 162∙.( 2 + 2 ) 1 + 25 2 () = ()|Φ()|2 =∞∞49 + 162 (ℎ) = 2 � () cos ℎ =� 2cos ℎ ,( + 2 )(1 + 25 2 )−∞0∞∞49 + 16229 + 162 = (0) =� 2=� =( + 2 )(1 + 25 2 )( 2 + 2 )(1 + 25 2 )0−∞9 + 1629 + 1622∙ 2 � Res 2+ Res 2�==22= ( + 2 )(1 + 25 2 )= ( + )(1 + 25 )59 + 1629 + 162+lim�=22→ ( + )(1 + 25 2 )→ 5( + )( + 5)= 4 � lim59 − 16 29 − 16/252 45 − 80 2 − 225 + 16 2 16 + 45= 4 �+�==.2(1 − 25 2 ) 5( 2 − 1/25)251 − 25 25 5 + 1Пример 2. Следящая система описывается дифференциальным уравнениемd 2YdYdX+2+ 2Y =− X .
На вход этой системы подается стационарный случайный2dtdtdtпроцесс X (t ) с математическим ожиданием m x и корреляционной функцией (ℎ) = −|ℎ| , > 0.плотность на выходе.НайдемматематическоеРешение. Математическое ожиданиеопределяем по формулеmy = −bmmx ,anожиданиеиспектральнуюm y случайного процесса Y (t ) на выходето есть1m y = − m x . Спектральная2плотность () находится аналогично предыдущему примеру:+∞+∞0012 () = � (ℎ) cos ℎ ℎ =� −ℎ cos ℎ ℎ =.( 2 + 2 )_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В.
Случайные процессы-2.18Составляем переходную функцию Ф(iω ) =|Φ()|2 =Применяя формулу (12), получим () = iω − 1и находим(iω ) + 2iω + 221 + 21 + 2=.(2 − 2 )2 + 4 2 (2 + 2 )2()|Φ()|221 + 2=∙.( 2 + 2 ) (2 + 2 )2Можно было бы поставить задачу нахождения корреляционнойфункциивыходного сигнала Y (t ) . Тогда нужно было бы сделать еще один шаг – перейти отфункции () к функции (ℎ), что требует более громоздких вычислений.Задачи для самоконтроля.1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнениемdX (t )dY (t )d 2 Y (t )+ X (t ) , подается стационарный случайный процесс+5+ 6Y (t ) =2dtdtdtX (t ) с математическим ожиданием m x = 4 и корреляционной функцией () = −|| .Найдите математическое ожидание ипроцесса Y (t ) на выходе системы.Ответ: m y = 2 3 , s y (ω ) =спектральную плотность спектрального1 1 22 2 ω + (6 − ω ) .π 2s2.
Динамическая система описывается уравнением a 0где m x = const , K x (τ ) = σ x2 e−α τdY (t )dX (t )+ a1Y (t ) = b0+ b1 X (t ) ,dtdt, α > 0 . Определите математическое ожидание идисперсию стационарного решения этого уравнения.b1σ x2 a1b02α + a 0 b12Ответ. m y = m x , D y =.⋅a1a 0 a1a1 + a 0α3. Передаточная функция системы, на которую подается сигнал (), имеет видФ( p ) =1 + T1 p, где k = 25 [1 c] , T1 = 0,05 [c] . Спектральная плотность входногоT p2 + p + k212сигнала () = 1+22, где T = 1 [с] , δ x = 4 [град 2 с 2 ] .
Найдите дисперсию выходногосигнала.Ответ. DY = 0,0428 [град 2 ] ._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.194. Навходколебательногозвенасистемыавтоматическогопередаточная функция которой имеет вид Ф( p ) =регулирования,k, ξ > 0 , подается белыйTp + ξp + k2шум, спектральная плотность которого равна () = .
Определите дисперсиювыходного сигнала(подразумевается, что речь идет о достаточно удаленныхучастках времени, после окончания переходных процессов).Ответ. D =πkN.ξ5. Случайный стационарный процесс Y (t ) связан со случайным процессомd 3 X (t )dY (t )d 2 Y (t )d 3Y (t )6()7116Yt+++=+ 5 X (t ) .dtdt 3dt 2dt 3уравнением()Найдитеспектральную плотность () для стационарного решения уравнения, если4 () = (2 +1).Ответ. sY (ω ) =4(49ω 6 + 25)π (ω 2 + 1) 2 (ω 2 + 4)(ω 2 + 9)6.
Может ли уравнение Y ′′(t ) − 2Y ′(t ) + 3Y (t ) = X (t ) , содержащее в правой частиравенства стационарный процесс (), иметь стационарное решение?Ответ. Не может.7. Определите спектральную плотность и корреляционную функцию стационарногорешения уравненияd 2Y (t )dY (t )+ 2h+ k 2Y (t ) = X (t ) , k ≥ h > 0 , если можно считать,2dtdtчто () обладает свойствами «белого шума», т.е. () = 2 = .Ответ.sY (ω ) =β = k 2 − h2 .21 2−||(),��cos+sin ||�, где=�224 22 22ℎh (ω − k ) + 4h ω()8.
На вход динамической системы первого порядка, описываемой уравнениемdY (t )+ αY (t ) = X (t ) ,dtα > 0 , поступает случайный процесс (), спектральнаяплотность которого в полосе частот ω ≤ ω 0 ,где ω 0 ≥ α , может быть принятапостоянной: s x (ω ) ≈ c 2 . Найдите корреляционную функцию случайного процессаY (t ) при t >>1α._____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В. Случайные процессы-2.20Ответ. () = 2 −|| .9. Работа динамической системыописывается дифференциальным уравнениемf ( y ′(t ), y (t ), x ′(t ), x(t ), t ) = 0 . На вход системы поступает стационарный, в широкомсмысле случайный процесс(), t ∈ R , с математическим ожиданием m X икорреляционной функцией K X (τ ) .
Найдите математическое ожидание и дисперсиюслучайного процесса Y (t ) на выходе системы, если:а) f ( y ′(t ), y (t ), x ′(t ), x(t ), t ) = 2 y ′(t ) + y (t ) − 3 x(t ) , m X = 1 , K X (t ) = e−2 tб) f ( y ′(t ), y (t ), x ′(t ), x(t ), t ) = 3 y ′(t ) + 2 y (t ) − 2 x ′(t ) − 3x(t ) , m X = 1,5 , K X (t ) = 2eв) f ( y ′(t ), y (t ), x ′(t ), x(t ), t ) = 2 y ′(t ) + y (t ) − x ′(t ) − 3 x(t ) , mY = 1 , K X (t ) = eОтвет. а) mY = 3 , DY =9989; б) mY = , DY =; в) mY = 3 , DY = 2 .542710.
Найдите дисперсию угла крена корабляΘ(t ) ,−2 t−.t3;определяемого уравнением (t ) + 2hΘ (t ) + k 2 Θ(t ) = k 2 F (t ) , k > h > 0 , если угол волнового склона F (t ) имеетΘнулевое математическое ожидание, () = −|| �cos + sin ||�, а процесскачки можно считать установившимся.s X c (k ) =Ответ.k 04 s x (k )− k 2 + 2hik + k 022D X c (t ) =((β1aα (α 2 + β 2 )k 04)()− β ) 2 + (α 1 − α ) 2 ( β 1 + β ) 2 + (α 1 − α ) 2 ( β 1 − β ) 2 + (α 1 + α ) 2 ( β 1 + β ) 2 + (α 1 + α ) 2 (− β 12 + β 2 + α 2 + α 12 ) 2 + 4(α 2 β 12 − 2α 12 β 12 + α 14 − 2α 2α 12 + α 12 β 2 )⋅+α 1 (α 12 + β 12 )(− β 2 + β 12 + α 2 + α 12 ) 2 + (α 2 β 2 − 2α 2 β 2 + α 4 − 2α 2α 12 + α 2 β 12 ) +,α (α 2 + β 2 )β 1 = k 02 − h 2 .где⋅α1 = h ,11. Определите дисперсию ординаты центра тяжести корабля Yc (t ) на волнении, еслиY ′′(t ) + 2hY ′(t ) + ω 0 Y (t ) = ω X (t ) , где ордината волнового профиля () имеет22корреляционную функцию () = −|| �cos + sin ||�, h и ω 0 − постоянные,_____________________________________________________________________________Михайлова О.В., Облакова Т.В.
Случайные процессы-2.21определяемыепараметрамиα−корабля,параметр,характеризующийнерегулярность волнения, β − преобладающая частота волнения, ω 0 ≥ h > 0 .Ответ.ТакD X c (t ) =((β1− β ) 2 + (α 1 − α ) 2какX c (t )стационарна,тоs X c (ω ) =ω 04 s x (ω )− ω 2 + 2hiω + ω 022aα (α 2 + β 2 )ω 04⋅( β1 + β ) 2 + (α 1 − α ) 2 ( β1 − β ) 2 + (α 1 + α ) 2 ( β1 + β ) 2 + (α 1 + α ) 2)() (− β12 + β 2 + α 2 + α 12 ) 2 + 4(α 2 β12 − 2α 12 β12 + α 14 − 2α 2α 12 + α 12 β 2 )⋅+α 1 (α 12 + β12 )(− β 2 + β12 + α 2 + α 12 ) 2 + (α 2 β 2 − 2α 2 β 2 + α 4 − 2α 2α 12 + α 2 β12 ) +,α (α 2 + β 2 )β1 = ω 02 − h 2 .12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
