book48_4 (1113188), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1=1 ' с*' -с 1137. 1+ х'<у<1+ х'+ агсФВх. 1141. у = Сге '*, г = ' е 1142. у = Сзе ", г = х ~- — зес'*; у = О, г = х -~- С. 1143. у = у с *з зс -с г = Сх. 1145. д = — с -т -з-(х -~ Сг) — — зг(х+ Сг), г = — 4с(х.т -~- Сг) -~. с . 1146. у = Сух, х = 2д — г -~. Сг. 114Т. х — у = Сы х + у = Сгг.
1148. х — у = Сз(у — г), (х + у -~- г)(х — у)' = Сг. 1149. х+ г = Сы (х+ у+ г)(д — Зх — г) = Сг. 1150. хз — гз = Сы д — и = Сг, (х -~. г) = Сз(и 1 У). 1151. х з- г = Сы У з- и = = Сг, (х — г) -~- (у — и) = Сз. 1152. хз — 2д = Сы Вху — 2х — Згг = Сг. 1153. дг ~- гг = Сы х — уг = Сг. 1154.
х = Сзу, ху — г = Сгх. 1155. х = Суу, ху — 2~/г~+ 1 = Сз. 1156. у = = Суг, х — у — г = Сг». 1157. у -~- г = Сы х(у — г) = Сг. 1158. хг = Сы ху -~- г' = Сг. 1159. х -~- г — у = Сы 1п ~х~ + — ' = Сз. 1160. гз -~ дз -Е гз = Сы Рг = Сгх. 1161 1) да; 2) нет. 1162. 1) нет; 2) да. 1163. Да. 1164. Зависимы. 11ВТ. г = 7(х~ + уг). 1168.
г = = зУ(ху 1- уг). 1169. и = 7(у/х, г/х). 11ТО. и = ~(~-";УУ, ~-"~ — "~Я)-) 1171. Г(хг — уз, х — у -~- г) = О. 1172. Р (е — у, г + = —;-"У)т) = * — у = О. 1173. Р(х — 4г, (х + у)~/х) = О. 1174. Р(х + уз, г/х) = = О. 11Т5. Р ( — ', ху — ~,') = О. 1176. Г (+ + -'., —,' + —,') = О. 1177. Г(хз -> уз у(г -~ тугг ~- 1)) = О. 1178. Г(~ — 1, 1п(ху! — — 'з) = = О. 1179. Г(хз -~- у, атсзВ(х/у) + (г -~- Це ) = О. 1180. Г(гз — уз, хз -~- (у — г) ) = О. 1181. Г ( — ', 2:т — 4г — у") = О. 1182.
Г(г — 1п~х~,2х(г — 1) — у ) = О. 1183. Г(18г+стВх,2у— — ЗВ'г) = О. 1184. Г(-'-'-+ — — 4), (х — у)(х+ у — 2г)) = О. 1185. Г ((х — у)(г -~- 1), (х -~ у) (г — 1)) = О. 1186. Г(и(х — у), и(у — г), (х -~- у т- г)/и~) = О. 1187. Г (х/у, ху — 2и, (г -~- и — ху)/х) = О. 1188. Г((х, — р)(г, (2и -~- х -~ у)г, (и — х — у)/г~) = О. 1189. г = 2ху.
1190. г = уе' — е~'-~-1. 1191. г = у е~т' . 1192. и = (1— — х+ у)(2 — 2х+ г). 1193. и = (ху — 2г) ( — „'+ д) . 1194. у — х'— — !и ~/у~ — з:з = г — 1п ~у~. 1195. 2х (у+ 1) = уз +4г — 1. 1196. (х+ + 2у)' = 2х(у+ хд). 1197. тй/у~япх = явей/у. 1198. 2ху+ 1 = =т,+Зу+г ~. 1199. х — 2у=хг+у +г. 1200. 2хз — уг — гз = = оз.
1201. ((у~г — 2) — хз + г)дзг = 1. 1202. хз + гг = б(хг — у). 1203. З(х + у + г)' = х' + у' + % 1204. хг = (хг — у — х + 170 Ответи ф 2г)г. 1205. (1+ уг) = Зуг(1-~- уг — х) ф уз. 1206. х -~- у -~- г = О 1207 2(хз 4гз Зуг)г 9(у+ гг)з 1208 (х — унЗх+ у+ + 4г) = 4г. 1209. хг+ у = О. 1210.
г = ху+ У(у/х), где 1— произвольная дифференцируемая функция, для которой 7(1) = О. 1211. Р(г:г — уг. 2хг + гг) = О. 1212 2уз + гг г(хг + уг + г ) 1213. Р(ох — ау, сх — ог) = О. 1214. хг+Зу +гг+Зху+хг+Зуг = 1. 1215. Р((у — Ь)/(х — а), (г — с)Дх — а)) = О. 1216. 1т(х~/у, г/у) = О. 1217. г = Схуг. 1218.
Решений нет. 1219. г = О. 1220. Решений нет. 1221. хзугг = С. 1222. г = уг — ху. 1223. хгуз = С вЂ” хз; х = О. ОТВЕТЫ К ДОБАВЛЕНИЮ 9. у' = и, и' = о, о' = уе *(2и — х); уо = 1 ио = 1, оо = 0; уз = 1+:з, из = 1, оз = 1+ (х — 1) е *. 10. Уе = 1, уз = 1 + ! -!- +1~, уз = 1+!+21~+1~+1~/2+!з/5. 11. а) уо = О, уз = =~, уз = з г г з -г зз зз! б) напРимеР: ~х — 1~< з.
12. При х<0 у = — х, при х>0 решение не существует. 13. 5) При а< — 1 и а = О. 14. а) При а70, а~1 требуется аф — 1, хЗ, (у+ 1/2)л (х = = О, х1, х2..... ): при а = 1 требуется аф — 1, хЗ; при а = 0 уравнение не дифференциальное; б) — 3<1< — х/2. 15 уз = уг = = уз = ... — — 4, Пш Уз = 4, 16. У(хз) = Уз, У (ха) = Уг, У (хо) = Зызз = уз, где хзфЬг/2 (х = О, х1, х2, ... ), Уо>0, уз и уз любые. 17.
Начальные условия уг(0) = 1, у',(0) = 1 и уз(0) = 1., уз(0) = з/2 различны. 18. пав!. 19. п>5. 20. а>З. 21. п>4. 22. а>4. 23. а~О, х2 бесконечно много решений, а = 2 и а = 0 одно решение, а = — 2 нет решений. 24. афО, х! бесконечно много решений, а = 0 и а = — 1 одно решение, а = 1 нет решений. 25. и > 3 бесконечна много решений, и = 2 одно решение, при п = 1 для а = х! одно решение, для а~ х 1 нет решений. 26. п>3 бесконечно много решений, и = 2 одно решение, при п = 1 для а = 1 и а = — 2 одно решение, длн аф1, аф — 2 нет решений. 27. При а< — 4 нет решений; при а> — 4 для п>З бесконечно много решений, для п = 2 одно решение; для и = 1 при а = — 3 одно решение, при аф — 3 нет решений.
28. Да. 29. )х)<з/2. ЗО. з) у = 1 /(!из/Гхз — хз~+ С), у = 0; б) у = 1/1п(~к~ — хз — 1), (х)<я. 32. Нет. 34. (З(<1! для х' = х (хЕЙ'), х(0) = 1 имеем х = 1/(1 — Г) (1<1); длн х' = — х', х(0) = 1 имеем х = 1/(1+ З) (1> — Ц. 40. б) (зз,') . 44. б) ззУУ+ 1. 45. гн = 2. 46. Уг = х, уз = х'; И' = хз. 47. а) — 2<х<1; б) да; в) 1/4. 48. а) — 1<1<я/2; б) да; в) — 16(З+ 1) з; г) у = +~уз(1) + -Ь Ьрг(1) — +~'Ззз(1). 49. а = — 5. 50. 2. 51. 4. 52. (хз — 2х)дав — 2(т. — 1)у'+ 2У = О. 53. у = 2+ бх — 2хз. 54. Па. у = Зуз — 2уз.
55. у = Сгх+ Сзхз+Сз(хз+х!п)х — Ц). 57. у = х — 2(е* — х)/(е — 1) . 58. у = х + Сг -!- Сг(х + х ). 59. у = 2 — х . 60. (х -!- 4)уа — 2ху' + -!- 2у = 2. 61. у = —,з- -!- —;з- + х — 1. 62. у = Сзе*-гСз(х -!- 1) з- 172 Ответы л добавлению -~- хо'. 64. Т = Зв/4. 65. Нет. 66. р = ггг. 67. а = 2. 68. х = =( ) 1 = Сг+ Сгт + г ) е + г сов й 69. х = Сг сов 24+ Сг яп 24+ — е (яп 2г— — сов 21) — -'сов 25 70. у = (Сг + х) сов х+ (Сг + хг) вшх. 71.
у = = Сг сов х-ЬСг Яп х-Ь(х -~- 1) ег* — 2х соз х. 72. У = (Сг -~-Сг1) е' жСз ж + 1г (от+ Ь) е' Ь (сг -Ь д) е' сов $+ (71+ 8) е' в|о т Ч- )нг -~ 9 й 73. у = (Сг -Ь 9 Сгх) ег*ч(ах ф Ь)х ег' -~-е™(ссовх-~-дяпх). 74. у = Сг еОтй*-Ь +Сг е 0'ей* ~Ьах еГ'+0"' -ЬЬ ег' 0* .
75. у = (Сг -Ь Сгх) ег* +ах' е" ж +Ье *'. 76. у = Сге" '0*+Сге' ' '*"+ае""'0*+Ьхе" '*' 77. у = Сгее"+СгеГ'з 0'-~-СзеГ "з гр+ахегг<ьбе г". 78. да. 79. Нет. 80. Нет. 81. вг~О, х2. 82. сфО, Ь любое или с = О, Ь = х1. 83. а) ог70, хъ'2; б) у = С ж ~4+ — С -' 4~ япЗВ 84. х = в * ..
> =г > д, ео.. =ь =~.. =о, а = х1. 89. а<0. 90. а~ х 1, ат'- х 2. 91. а = О, а = 4, Д = 2. 92. а = 1, Ь = О, с = — 4; а = О, Д = 2, 7 = О. 93. х = (Сг-~- Сгт) ег'+ +3, у = (Сг ф Сг ф Сгг) ем -ь1. 94. х = Сг ег(сов 31 — 2 як 31) -~- -ЬСг е'(2 сов 31-Ьзш34), у = Сг е.'(сов 31-гвш31)-ЬСг е'(зш31 — сов 31).
95. х = Сг ф [Сг + Сз(1+ 1)) е ', у = (Сг + Сз(1 — 1)) е ', г = Сг -~- ф (Сг + Сз1) е '. 96. Все ВеЛг = 0 и в жордановой форме все вз клетки размера 1. 97. п)7. 98. (,е, г о). 100. х = 2С+ ' — 1 ' — 1 — гд -'; 2япв, у = С-Ьяпй 101. х = — 3 — сов 25 у = — 3 — сов 21 — 2вш25 102. в) х = Сг сов т -Ь Сг вшт — яп21 — 2 сов 2г, у = Сг(солт ж + япг) + Сг(вшг — солт) — 2зш25 б) х = — яп2г — 2 сов 25 у = = — 2вш25 103. а = — 2.
104. При а = — 2Ь. 105. Тот же ответ, г егг Š— г ггг 114. а) 1; Лг, г = соз Схг яп й б) (""",,~гы',„,'",'г„',) . 115. (е — 1)(е— — е ')'. 116. Все НеЛ,<0. 117. е '"'. 118. Нет, например А = = (г„* ог) . 119. Аг = О, жорданова форма мажет содержать только клетки вида (0) и (е ' ) . 120. Да. 121. Да. 122. Да. 124. Все (Дг)<1. 125. еж+'г~г . 126. аф — 17'2. 131. Все Не Лг<0 и длн тех Лп у которых КеЛг = О, клетки в жордановой форме имеют размер 1. 133. См, ответ задачи 131. 134.
а) г(еСА = 0; б) см. ответ задачи 131. 135. Да. 136. Да. 137. Нет. 138. При п = 1 да, при п>2 нет, см. рисунок к задаче 889. 139. х = 0 неустойчиво. 140. х = 0 асимптотически устойчиво. 141. х = 0 асимптотически устойчиво, х = лЬ (Ь = х1, х2, ...) неустойчивы. 142. х = 0 асимптоти- Ответы к добавлению 173 чески устойчиво. 143. х = 0 устойчиво. 144.
х = 0 устойчиво. 145. х = у =- 0 устойчиво. 146. (О, 0) устойчиво, (2))З) 0) неустойчиво. 14Т. (а, а) устойчиво, (а + 1, а) неустойчиво (абЛ любое). 148. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 149. а) а < — 1; б) а = — 1; в) а > — 1. 150. а) а<0; б) а = 0; в) а>0. 151. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 152. а) а<0; б) а = 0; в) а>0. 153. а) а>2; б) а = 2:, в) а<2. 154. а) а>0; б) а = 0; в) а<0. 155. а) 0<а<1; б) а = 0; в) а<0 и а>1. 156. а) а = — 1))2; х = с, у = 2с — 1))2; б) да. 15Т. Да.
158. а) а = О, а = 4; б) длн а = 4 устойчивы, для а = 0 нет. 159. а) а = О, а = х1; б) устойчивы. 160. а) а = О, а = 1; б) для а = 1 устойчивы, для а = 0 нет. 161. а) ад<бе; б) а)4>Ьс, (а — 34) 4- 4Ьс>0. 162. с>0, (а— — д) +4Ьс<0. 163. (О, 0) узел. 164. (О, 0) фокус. 165.
(3, 1) вырожденный узел. 166. а<0. 167. а) нет; б) нет. 168. а) фокус; б) !а — Ь!<2 169. а) нет; б) узел; в) а = — 1. 170. а) всегда неустойчиво; б) !а!>1 седло, /а!<1 узел. 1Т1. а) а< — 1 и — 1<а<0 асимптотически устойчиво, а<0 устойчиво; б) а< — 1 и — 1<а< — 1))2 узел (при а = — 1))2 вырожденный); — 1)2<а<0 и а>0 фокус; а = 0 центр. 1Т2. а) а< — 1 асимптотически устойчиво, а< — 1 устойчиво; б) — 1<а<0 седло, а< — 1 н а>8 узел, 0<а<8 фокус.
173. а) а < — 1 и а > 3 асимптотически устойчиво, а < — 1 и а > 3 устойчиво; б) — 1 < а < 3 седло, 1 — 2)'ос<а< — 1 и 3<а<1 + т)5 узел, и<1 — т))5 и а>1 4- + ъ)5 фокус. 1Т4. ху = С(х' + у )2. 175. Все решения определены при — со<1<ос. 176. Нет. 1ТТ. а) (О, 0)3 (х1, 0); б) а<0; в) нет. 178. а) у = х2х~~х — 1: в) х = сов ' Ь 179. б) (О, 0) устойчиво, (х1)ъ'2, 0) неустойчивы; в) Ь3,2 = х23 Т ян)2; г) (03 0) устойчивый фокус (0<а<в)8), устойчивый узел (а>ч)8), (х1))н)23 О) седла. 180. 6) (О, 0) неустойчиво, (х1, 0) устойчивы; в) Ь3,2 = хеГ2) Т 33; г) (О, 0) седло, (х1, 0) устойчивые фокусы (0<а<4), устойчивые узлы (а>4).
181. а) (О, 0) центр, (1, 0) седло; б) траектория у = — (х— — )) ))3 О)))3, . =$) 3~) — -')О ) ); )) ) )) 3; г) — 1)2<х<1) Зуз<2хз — Зх' + 1; д) нет. 182. б) (х1) 0) неустойчивьц в) нет. 183. 6) (О, 0) неустойчиво, (х1) 0) асимптотически устойчивы; в) нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
