В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Представление Р(С) группы С называется неприводимым, если у этого представления сугг1ествуют лишь два инвариантных надпространства: Е" и О. В противном случае представление называется приводимым. Роль неприводимых представлений заключается в том, что любое представление может быть выражено через неприводимые. (гл. 9 270 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП 4.
Характеры. В теории представлений групп, и в особенности в теории представлений конечных групп, полезную роль играют инварианты линейных преобразований, образующих представление. Важность инвариантов ясна еще и потому, что они не зависят от выбора базиса представления и поэтому в определенном смысле характеризуют представление.
Пусть Р(С) — п-мерное представление группы С и Р,'(д') матрица оператора, отвечающего элементу у из С. Характером элемента у я С в представлении Р(С) называется число Х(Ю) = 1Г Р,*. (К) = Р,'(К) + рзв(у) + ... + Р„"'(И). Таким образом, характер элемента у есть след матрицы оператора Р(у). Так как след матрицы линейного оператора представляет собой инвариант (см. п.З з 2 гл. 5), то характер любого элемента не зависит от базиса представления и поэтому является инвариантом.
Итак, каждому элементу д. е С представления Р(С) отвечает число — характер этого элемента. Поскольку у различных элементов могут быть одинаковые характеры, то следует выяснить вопрос о том, каким элементам группы отвечают одинаковые характеры. Для решения этого вопроса введем понятие сопряженных элементов и классов сопряженных элементов в данной группе С. Элемент Ь Е С называется сопряженным элементу а б С, если суГцествует такой элемент и Е С, что иаи = Ь. — ! (9.32) Отметим следующие свойства сопряженных элементов.
1) Каждый элемент а сопряжен самому себе. Действительно, если е — единица группы, то, очевидно, справедливо соотношение еае = а, которое н означает, что а — элемент, сопряженный а. 2) Если элемент Ь сопряжен элементу а, то элемент а сопряжен элементу Ь. Это свойство сразу же вытекает из (9.32). Действительно, умножая обе части (9.32) слева на и ' и справа на и, получим и 'Ьи = = а. Замечая, что обратным элементом для элемента и ' является элемент и, мы убедимся в справедливости сформулированного свойства. 3) Если Ь вЂ” сопряженнГяй элемент для а и с — сопряженный элемент для Ь, то с — сопряженный элемент для а.
Действительно, так как с = РЬь ' и 6 = иаи 1, то, очевидно, (9.33) с=опии о Так как обратным элементом для элемента ои является элемент и 'о ', то из (9.33) следует, что элемент с сопряжен элементу а. Объединим в один класс все те элементы группы, которые сопряжены данному элементу а. Таким образом, согласно свойству 3), каждый йз) 27! пРедстлвления ГРупп элемент класса сопряжен любому элементу этого класса. Очевидно, два таких класса либо совпадают, либо не имеют общих элементов.
Вернемся теперь к представлениям групп. Пусть о, и Ь вЂ” сопряженные элементы, т.е. справедливо соотношение (9.32): Ь=иаи Обратимся к операторам 0(а), О(Ь), 0(и) и Р(и '). Согласно определению представления группы оператор 0(и ') является обратным для оператора 0(и), т.е. Р(и ') = (Р(и)) Обращаясь опять к определению представления, получим, согласно (9.32), соотношение О(Ь) = Р(и) Р(а) (Р(и)) Перейдем теперь к матрицам операторов, фигурирующих в последнем соотношении. Мы видим, что матрицу оператора 0(Ь) можно рассматривать как матрицу оператора Р(а) при переходе к новому базису с матрицей перехода О(и) (см. и.
2 9 2 гл. 5). Поскольку при таких преобразованиях след матрицы инвариантен и по определению равен характеру элемента,мы можем заключить, что д(а) = ~(Ь). Итак, характеры всех элементов, принадлежащих одному классу сопряженных элементов, равны друг другу. Очевидно также, что характер!я элементов для эквивалентных представлений совпадают. Понятие характера в теории представлений используется обычно следующим образом. Пусть данная группа С может быть разбита на конечное число различных классов сопряженных элементов К!, Кш ..., К„.
Тогда каждому элементу класса К, в данном представлении Р(С) (и в любом эквивалентном ему представлении) отвечает один н тот же характер эг!. Поэтому представление Р(С) можно описать с помощью набора характеров У!, Уш ..., 7Г„, который можно рассматривать как координаты вектора в евклидовом пространстве размерности и. Таким образом, различным представлениям будут отвечать различные векторы. Указанный геометрический подход позволяет во многих случаях решать важные вопросы теории представлений групп. 5. Примеры представлений групп. П р и м е р 1. Пусть С вЂ” группа симметрии трехмерного пространства, состоящая из двух элементов: тождественного преобразования 1 (единица группы) и отражения Р относительно начала координат.
Таким образом, С = (1, Р). Умножение элементов группы задается следующей таблицей: (9 34) 1) Одномерное представление группы С. Выберем в пространстве гу! базис е! и рассмотрим матрицу А!'! линейного невырожденного преобразования А!'1 в этом пространстве: А!'! = (1). Очевидно, (гл. 9 2?2 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП преобразование А<О образует подгруппу в группе СЕ(1) линейных преобразований пространства Е', причем умножение в этой подгруппе задается таблицей А<п А< < А<П Очевидно, что мы получим одномерное представление Р<'!(С) группы С с помощью соотношений Р<О (1) = А<'1, Р<П (Р) = А<'! (эти соотношения задают гомоморфизм группы С в СЕ(1), а следовательно и ее представление). 2) Двумерное представление группы С.
Выберем в Еа какой-либо базис е<, ев и рассмотрим в этом базисе матрицы А<э< и В<э< линейных невырожденных преобразований А<з1 и В<э!: А<э< (! О) В<э< ~О Г~ (так как с1е< А<э! = 1 и с1е< В<э! = — 1, то А<а! и В<э! — невырожденные преобразования). Преобразования А<э< и В<э< образуют подгруппу в группе СЬ(2). Непосредственной проверкой (путем перемножения матриц А<э< и В<э~) убеждаемся, что умножение операторов А<э< и В<э! задается таблицей (9 35) Мы получим двумерное представление Р<ГО(С) группы С с помощью соотношений р<з< (т) А<э) Р<з! (Р) В<э! (9.36) Действительно, сравнивая таблицы (9.34) и (9.35), мы видим, что (9.36) определяет изоморфизм группы С на подгруппу (А<э<, В<э<) группы СЬ(2), а следовательно и представление этой группы.
3) Трехмерное представление группы С. Рассмотрим в Ез линейное преобразование А<а!, задаваемое матрицей А<э<= О 1 О Это преобразование образует подгруппу в группе СЕ(3) с законом умножения А<а! АОО = А<э<. Как и в случае одномерного представления, мы получаем трехмерное представление Р<з! (С) с помощью соотношений: Р<з! (1) = А<э<, Р<~< (Р) = А<э<. пРедстлвления ГРупп 273 4) Четырехмерное представление группы С.
Рассмотрим в 474 линейные преобразования А!41 и В!41, задаваемые матрицами 1 0: 0 0 0 1: 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 00:!000:01 0 0: 0 1 00'1О Преобразования Аый и В14> образуют подгруппу в группе Сй(4) с законом умножения, задаваемым таблицей, аналогичной таблице (9.35) (с заменой индекса 2 на индекс 4). Очевидно, что мы получаем четырехмерное представление 0<41(С) группы С с помощью р141 (1) А!41 р141 (р) В!41 Замечание. Нетрудно видеть, что матрицы А!41 и В!41 можно записать в виде 10 А11 0,10 Поэтому представление В!~1 (С) можно условно записать в виде 0141(С) = Р1з1(С) + Р4з1 (С) = 204з1(С). Совершенно аналогично можно условно записать Р1з1 (С) в виде Р1з1(С) = ЗР1'1(С). Используя это замечание, читатель без труда построит представление группы С любой конечной размерности. Пример 2. В п.5 32 этой главы мы доказали, что только что рассмотренная группа симметрии С = (1, Р) трехмерного пространства представляет собой нормальный делитель группы 0(3) (группа ортогональных преобразований пространства Ез).
В том же пункте мы доказали, что подгруппа ЯО(3) собственных ортогональных преобразований группы 0(3) изоморфна фактор-группе группы 0(3) по нормальному делителю (1, Р). Так как группа гомоморфно отображается на каждую свою фактор- группу, то 0(3) гомоморфно отображается на группу ЯО(3). Как мы видели в п.5 э" 3 этой главы, указанный гомоморфизм осуществляется следующил4 образом. Если а — собственное преобразование из О(3), то ему из ЯО(3) ставится в соответствие это же самое преобразование. Если а' — несобственное преобразование, то ему ставится в соответствие собственное преобразование г=а'.
Таким образом, мы получаем трехмерное представление РО(3) группы ортогональных преобразований посредством группы ЯО(3) собственных ортогональных преобразований. Предметный указатель Автоморфизм групп 250 Алгебраическое дополнение 31 Альтернирование тензора 23! Ассоциативный закон композиции 246 Аффинная система координат 237 Аффинное пространство 42 Базис 48 — взаимный 218 — представления 267 Базисные столбцы 40 — строки 40 Базисный минор 39 Бесконечномерное линейное пространство 50 Беспорядок 25 Билинейная форма 146, 147, 178 — — вырожденная 183 — — кососимметричная 147, !80 — — невырожденная 183 — — симметричная 147, 180 Блок матрицы 17 Блочная матрица 17 Буняковского-Кощи неравенство 83, 95 Вандермонда определитель 34 Вектор 45 Верхней релаксации метод !67 Вещественное евклидово пространство 80 Времениподобный вектор 240 Галилеевы системы 241 Гамильтона-Кэли теорема !33 Гиббса формулы 220 Гиперболоид 213 Гиперповерхность второго порядка 201 — — — центральная 210 Главная диагональ !3 Гомоморфизм групп 253 Грама определитель 217 Группа 246 — абелева 247 — коммутативная 24? — линейных преобразований 258 — Лоренца 263, 264 — ортогональных преобразований 259 — перестановок 248 — симметричная 249 — собственных ортогональных преобразований 261 Группы унитарные 266 — циклические 261 Диагональ матрицы главная ! 3 — — побочная !3 Диагональная матрица 16 Дополнительный минор 27 Евклидово пространство вещественное 80 — — комплексное 93 Единица группы 247 Единичная матрица 17 Единичный оператор 105 Жорданова клетка !42 — форма матрицы 142 Закон инерции квадратичной формы 190 — композиции 246 Зейделя метод 166 Изоморфизм групп 250 — евклидовых пространств 92 — линейных пространств 51 Инвариант 223 — уравнения гиперповерхности 207 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 275 Инвариантное подпространство оператора 116 Индекс инерции !9! — — отрицательный 191 — — положительный 191 Инерции закон 190 Канонические коэффициенты 184 Канонический базис 186 — вид квадратичной формы !84 Каноническое уравнение нецентральной гиперповерхности второго порядка 215 — — центральной гиперповерхности второго порядка 2!2 Капелли-Кронекера теорема 67 Квадратичная форма 136, !82 — — вырожденная 183 — — знакоопределенная 183 — — знакопеременная !83 — — квазизнакоопределенная !83 — — невырожденная !83 — — отрицательно определенная 183 — — положительно определенная 183 Квадратная матрица 13 — система 64, 68 Коммутативный закон композиции 246 Коммутиругошие матрицы 16 -- операторы 123 Комплексное евклидово пространство 93 Композиция 246 Координаты ковариантные 219 — контравариантные 2!9 Корень нз оператора 134 Кососимметричная билинейная форма 147, 180 Коффициенты линейной системы 63 Коши-Буняковского неравенство 83, 95 Крамера формулы 69 Критерий Сильвестра 192 Критическая точка 198 Критическое значение 198 Кронекер 218 Кронекера символ 2!8 Кронекера — Капелли теорема 67 Кубическая норма 165 Кэпи †Гамильто теорема 133 Лагранжа метод 184 Лаплас 26 Лапласа теорема 26 Линейная зависимость строк 38 - — элементов линейного пространства 46 — комбинация строк 29 — — элементов линейного пространства 46 — независимость строк 38 — — элементов линейного пространства 4? — оболочка 54 — система 63 — форма 104 Линейное представление группы 267 — преобразование 104 — пространство бесконечномерное 50 — — вещественное 42, 45 — — комплексное 45 Линейные пространства изоморфные 51 Линейный оператор 104, 146 — функционал 104 Лоренца группа 263, 264 — преобразования 243, 263 — формулы 244 Матрица 13 — билинейной формы !79, 180 — блочная 17 — диагональная 16 — единичная !? — квадратичной формы !82 — квадратная !3 линейного оператора 111 — невырожденная 38 — нулевая 17 — обратная 37, 38 — ортогональная 151 — — несобственная 152 — — собственная 152 — полуторалинейной формы 121 — транспонированная 29 — унитарная 152 276 пппдмдтныи уклзлтпль Матрицы коммутирующие 16 — порядок 13 Метод верхней релаксации 167 — Зейделя !66 — Лагранжа 184 — регуляризации Тихонова 97 — Якоби 155, 186 Метрический тензор евклидова пространства 231 — — псевдоевклидова пространства 240 Минимаксное свойство собственных значений 130 Минковского пространство 241 Минор 20, 26 — базисный 39 — второго типа 26 — дополнительный 27 — первого типа 26 Многочлен характеристический 115, 148 Невырожденная матрица 38 Неоднородная система 64 Неопределенная система 64 Неравенство Коши †Буняковско 83, 95 Несобственное подпространство 53 Несовместная система 64 Нетривиально совместная система 66 Норма кубическая !65 — линейного оператора 125 — ма~рицы операторная 156, 165 — октаэдрическая 166 — сферическая 98, 165 — энергетическая 162 Нормальная фундаментальная совокупность решений 75 Нормальное решение 99 Нормальный делитель группы 252 — оператор !39 Нормированное пространство 96 Нормы эквивалентные 162 Нулевая матрица 17 Нулевой оператор 105 Образ оператора 107 Обратная матрица 36, 38 Обратный оператор 106 Однородная система 64, 65, 74 Октаэдрическая норма 166 Оператор линейный 104, 146 — нормальный 139 — нулевой !05 — обра~ный 106 — ортогональный 150 — положительно определенный 133 — положительный 133 — противоположный 105 — самосопряженный 123 — сопряженный 122 — тождественный 105 — унитарный 137 Операторная норма матрипы 156, 165 Операторы коммутирующие 123 Определенная система 64 Определитель 19 — Вандермонда 34 — Грэма 217 — линейного оператора 115 — произведения матриц 35 — треугольный 33 Определителя свойство антисимметрии 29 — — линейное 29 — — равноправности строк и столбцов 29 Ориентированный объем 237 Ортогонализации процесс 89 Ортогональная матрица 151 — — несобственная 152 — — собственная !52 Ортогональное дополнение 91 Ортогональные элементы 96 Ортогональный оператор 150 Ортонормированный базис 87, 96 Основная матрица линейной системы 65 Параболоид 215 Параболоидальный цилиндр 216 Параллельный перенос 202 Перемножение матриц !5 Пересечение подпространств 56 Перестановка 25, 248 Побочная диагональ 13 Погрешность метода итераций 155, !59 ПРЕДМЕТНЫЙ УКЛЗЛТЕЛЬ 277 Подгруппа 251 — дискретная 259 — компактная 259 — конечная 259 — нпрерывная 259 Подпространство 53 Полилинейная форма !94 Положительно определенный оператор 133 Положительный оператор 133 Полуоси центральной гиперповерхности второго порядка 212 Полуторалинейная форма 119 Порядок матрицы 13 Представление группы 266 — — вполне приводимое 269 — — линейное 267 — — неприводимое 269 — — приводимое 269 — — точное 267 — — тривиальное 267 Представления групп эквивалентные 268 Преобразования Лоренца 243, 263 Присоединенный элемент !41 Проектор !32 Произведение матриц 15 — матрицы на число 14 — оператора на число !05 — операторов 105 — тензора на число 227 — тензоров 228 Простой итерации метод 155 — — — модифицированный 164 — — — общий неявный ! 58 Пространственноподобный вектор 240 Пространство аффинвое 42 — евклидово вещественное 80 — — комплексное 93 — линейное 42, 45 — нормированное 84, 96 — представления 267 Противоположный элемент 42, 45 Процесс ортогонализации 89 Прямая сумма квадратных матриц 18 — — подпространств 58 Псевдоевклидово пространство 239 Разложение определителя по столбцу 23 — — — строкам 2? — — — строке 2! Размерность представления 267 — пространства линейного 50 — — псевдоевклидова 239 Ранг матрицы 39, 56 — оператора !09 — формы билинейной !8! — — квадратичной 183 Расширенная матрица линейной системы 66 Регуляризации метод Тихонова 97 Решение системы 64 — — нетривиальное 66 — — тривиальное 66 Ричардсона метод !71 Самарского теорема 158, 162 Самосопряженный оператор !23 Свертывание тензора 228 Свободные члены линейной системы 63 Сильвестра критерий 192 Симметрирование тензора 230 Симметричная билинейная форма 147, 180 Система координат аффинная 237 — уравнений квадратная 64 — — линейная 63 — — неоднородная 64 — — неопределенная 64 — — несовместная 64 — — нетривиально совместная 66 — — однородная 64, 65.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
