В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В этой группе можно выделить дискретную подгруппу поворотов на угол Йар, Й = О,м !,м2, ... Обозначим буквой а элемент этой подгруппы, отвечающий значению Й = +1. Тогда, очевидно, элемент аь, отвечающий повороту на угол Й1Р при Й ) 0 равен аь = а, а...а. Это соотношение можно ь раа сокращенно записать в следующей форме: аь=а, Й=!,2, Если обозначить символом а ' элемент, обратный элементу а (а ' — элемент, отвечающий повороту на угол — ьа), и единицу рассматриваемой подгруппы обозначить ао, то, очевидно, любой элемент аь при отрицательном, положительном и нулевом значении Й можно записать в виде аь=а, Й=0,~1,~2, (9.19) Группы, элементы аь которых могут быть представлены в виде (9.19), называются циклическими.
Очевидно, что циклические группы являются дискретными. Отметим два типа циклических подгрупп поворотов: (гл. 9 262 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП !) если ЗР Ф 2кр/д, где р и у — целые числа (т. е. угол несоизмерим с к), то все элементы аь различны; 2) если !а = 2кр/у, где р и д взаимно простые числа, то справедливо соотношение аь+ч — — аь, т.е. ач = ао. Группы, для которых выполняется последнее соотношение, называются циклическими группами порядка у. 2'. Обратимся теперь к так называемым подгруппам зеркальной симметрии.
Каждая подгруппа зеркальной симметрии состоит из двух элементов: единица (тождественное преобразование) и отражение либо относительно какой-либо плоскости, либо относительно начала координат. Убедиться в том, что тождественное преобразование и отражение образуют группу, весьма просто — достаточно заметить, что два последовательных отражения дают тождественное преобразование (см. пример 7 П.2 9 1 этой главы). Рассмотрим, например, подгруппу (1, Р) группы 0(3), состоящую из единицы 1 и отражения Р трехмерного пространства относительно начала координат.
В ортонормированием базисе матрица г". этого пре- /-! О О! образования имеет вид Р = Π— 1 ΠΠΠ— ! Так как определитель деФР = — !, то подгруппа (1, Р) является несобственной. В примере 7 п.2 91 этой главы отмечалось, что подгруппа (1, Р) изоморфна группе Ла вычетов по модулю 2. Докажем следующее утверждение. Рассматриваемая подгруппа (1, Р) представляет собой нормальный делитель группы О(3). Нам требуется доказать, что для любого элемента а из 0(3) справедливы соотношения (9.20) а1=1а, аР=Ра (эти соотношения показывают, что левый и правый смежные классы подгруппы (1, Р) совпадают, что является признаком нормального делителя). Первое из соотношений (9.20) очевидно.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующими очевидными свойствами отражения Р: РР=1, РаР=а, оЕО(3). Умножая соотношение РаР слева на Р и пользуясь равенством РР = 1, получим второе соотношение (9.29). Докажем теперь следующее утверждение. Подгруппа 90(3) собственных ортогональным преобразований группгя О(3) изоморфна фактор-группе группы О(3) по нормальному делителю (1, Р).
Дока з а тел ь ство. Смежный класс элемента а е ЯО(3) по подгруппе (1, Р) имеет вид (а, Ра), причем Ра — несобственное преоб- 263 ГРУППЫ ПРЕОБРХЗОВЛНИй разование (произведение собственного преобразования а и несобственного преобразования Р дает несобственное преобразование). Если а' — несобственное преобразование, то смежный класс (а', Ра') приводится к виду (а, Ра), где а = Ра' — собственное преобразование и Ра = Р(Ра') = (РР)а' = а'. Таким образом, фактор-группа 0(ЗД1, Р)) состоит из смежных классов вида (а, Ра), где а — собственное преобразование.
Очевидно, что соответствие а с-~ (а, Ра) есть изоморфизм между группами ЯО(3) и 0(3)1(1, Р). Утверждение доказано, 6. Группа Лоренца. В п. ! 34 гл.8 мы ввели понятие псевдо- евклидова пространства ЕР р т.е. линейного пространства, в ко! Ур тором задано скалярное произведение (х, у), равное невырожденной симметричной билинейной форме А(х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме А(х,х): (х, у) = А(х, у). (9.2 !) В п.2 34 гл.
8 было отмечено, что в так называемой галилеевой системе координат квадрат интервала (9.22) в (х) = (х, х) (так обычно называется квадрат длины вектора х с координатами (ж1, хш ..., л„)) имеет вид и в (х) = 2 л; — 2 л,. (9.23) г=рж1 Введем понятие преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства Е" !Р чу Определение. Линейное преобразование Р псевдоевклидова пространства Е" называется преобразованием Лоренца, если для лю- Ь,в! бых х и у нз Еп справедливо соотношение Ь ч! (Рх, Ру) = (х, у), (9.24) где (х, у) — скалярное произведение, определенное соотношением (9.2!). Равенство (9.24) называется условием лоренцовости преобразования.
Отметим, что при преобразовании Лоренца сохраняется квадрат интервала ва(х), определенный соотношением (9.22) (или (9.23)). Так же, как в п.4 этого параграфа, можно доказать, что определитель де! Р преобразования Лоренца отличен от нуля, и поэтому для каждого преобразования Лоренца Р существует обратное преобразование Р Кроме того, по самому смыслу определения преобразования Лоренца, произведение таких преобразований дает в результате преобразование Лоренца. Таким образом, справедливо следующее утверждение. (гл.
9 264 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП Множество всех преобразований Лоренца псевдоевклидова пространства Е" с обычной операцией умножения линейных ире(Рхй образований (линейньях операторов) образует группу, называемую общей группой Лоренца псевдоевклидова пространства Е" и обо'(в ч( значаемую символом Е(п; р, у). Мы выделим специальный класс псевдоевклидовых пространств Е(", „О (сюда включается интересное с физической точки зрения пространство Е(,. ). Группа Лоренца для пространств Е(", „ О обозначается через ! (и). В и.
! 94 гл. 8 (формула (8.69)) было введено понятие длины а(х) вектора х, которая вычисляется по формуле О(Х) = (51ЯП 8 (Х))ф8 (Х)(. С помощью этой формулы все ненулевые векторы псевдоевклидова пространства разделяются на временииодобные (а(х) ) 0), пространственноподобнгяе (о(х) < 0) и изотропные (о(х) = 0). Было доказано, что множество концов времениподобных (пространственноподобных, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой, образует конус Т (конус пространственноподобных векторов обозначается буквой Е).
Конус Т по соглашению ') разделяется на две связные компоненты Тт и Т (конус будущего и конус прошлого) так, что каждая из этих компонент вместе с вектором х содержит любой вектор Лх, где Л ) О. Описанное разделение векторов в псевдоевклидовом пространстве дает возможность выделить из группы Лоренца Ь(п) некоторые подгруппы. Именно, подгруппа группы Ь(п), преобразования которой переводят любой времениподобный вектор снова во времениподобный вектор, называется полной группой Лоренца. Для нее используешься обозначение Ет(п). Выделяется еще одна подгруппа группы Е(и). В эту подгруппу входят преобразования, определитель матрицы которых положителен. Эта подгруппа обозначается Б+ (и) и называется собственнои группой Лоренца.
Собственные преобразования Лоренца, которые принадлежат подгруппе ЬТ (и), также образуют подгруппу. Ее часто назГявают группой Лоренца и обозначают символом I Т (и). В заключение этого пункта мы отметим, что галуппи Лоренца, в отличие от ортогональных групп, некомпактны ). ') В п.2 й4 гл.8 для пространства Минковского Е~(ез( указано, как разделяется конус Т на связные компоненты Т и Т , и дается физическая интерпретация этих компонент ) В п.З этого параграфа было введено понятие сходимости элементов в группу Сй(и) в и-мерном евклидовом пространстве и связанное с понятием сходимости понятие компактной группы.
й2) 265 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИН Для примера докажем некомпактность группы Лэ (2). В п.З 24 гл.8 мы полностью описали эту группу. Напомним, что если в Е(1, введена система координат (л, р) так, что квадрат интервала задается формулой а = х — р (9.25) то преобразования Лоренца из группы Ьэ (2) пространства Е~, 6 задаются формулами ' в, (9.26) у!-У' Рассмотрим в плоскости (м, у) вектор х с координатами (О, 1). По формуле (9.26) этот вектор перейдет в вектор хз с координатами г1- Ф 7! -У Обратимся теперь к последовательности преобразований Лоренца (9.26), определяемой значениями Д„из соотношения ! — П~ = —, п=1,2, ... Согласно (9.27) и (9.28) вектор х перейдет при действии указанной последовательности преобразований Лоренца в следующую последовательность векторов (х„) с координатами и.- ~3а у! лэ (9.28) ( — и — 1, ).
(9.29) Таким образом, из бесконечной последовательности преобразований Лоренца в группе Гз(2), определенной соотношениями (9.26), для значений )э из равенств (9.28) нельзя выделить сходящуюся последовательность (напомним, что последовательность элементов А„ группы называется сходящейся к элементу А, если для любого х последовательность (А„х) сходится к Ах), ибо последовательность (9.29) неограниченная.
Геометрическая иллюстрация некомпактности группы Г,т(2) заключается в следующем. Со1ласно (9.25) окружность единичного радиуса в псевдоевклидовой плоскости будет гиперболой лз — уа = 1, являющейся некомпактным множеством. При действии рассмотренной выше последова- Этн понятия легко переносятся на случай группы в произвольном конечномерном линейном пространстве К Сначала вводится понятие сходимости точек в 1У (например, можно выбрать в 1У систему координат и рассматривать сходимость последовательности векторов (х ) как схадимость последовательностей координат этих векторов). Г1осле этого в полной аналогии с определением сходимости в случае группь1 сэй(п) в евклидовом пространстве вводится понятие сходимости в группе, заданной в линейном пространстве, и определяется понятие компактной группы в таком пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
