В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(гл. 9 26б ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП тельности преобразований из группы 1.Т(2) заданная точка на этой окружности преобразуется в бесконечно большую последовательность точек на указанной выше гиперболе, а из бесконечно большой последовательности точек нельзя выделить сходящуюся последовательность. 7. Унитарные группы. В этом пункте мы обратимся к комплексному линейному пространству. В полной аналогии с п.2 этого параграфа можно рассматривать группы линейных преобразований такого пространства. Так как комплексное число определяется двумя вещественными числами (действительной и мнимой частью), то полная линейная группа СТ,(п) преобразований и-мерного комплексного линейного пространства изоморфна полной линейной группе преобразований вещественного 2п-мерного пространства СТ,(2п) (вместо этого символа часто пишут С! (2гь, й), подчеркивая тем самым, что речь идет о группе преобразований вещественного пространства).
В полной линейной группе преобразований комплексного евклидова пространства по аналогии с вещественным евклидовым пространством рассматриваются так называемые унитарные группы 77 (и), являющиеся аналогом ортогональных групп (напомним, что в 97 гл. 5 унитарные преобразования (унитарные операторы) определялись как линейные преобразования, сохраняющие скалярное произведение; таким же образом в вещественном случае определялись и ортогональные преобразования). Как и в вещественном случае, в группе ст(и) унитарных преобразований выделяется подгруппа аргу(п), для которой определители унитарных преобразований равны единице. ф 3. Представления групп В предыдущем параграфе мы рассматривали группы линейных преобразований линейного пространства.
Таким образом, линейные преобразования исследовались с точки зрения их групповых свойств. При этом не игнорируются геометрические и другие свойства линейных преобразований. В этом параграфе нас будет интересовать в определенном смысле обратный вопрос — в какой мере свойства абстрактно заданной группы могут быть охарактеризованы посредством групп линейных преобразований. Один из способов решения этого вопроса заключается в гомоморфном (и в частности, изоморфном) отображении абстрактной группы на подгруппу (или на всю группу) линейных преобразований.
Таким образом, возникает понятие представления данной группы с помощью подгруппы группы линейных преобразований ') . Изучение различных представлений данной группы позволяет выявить важные свойства группы, нужные для различных приложений. ') Конечно, можно рассматривать н более общий вопрос о представлении данной группы путем отображения ее на какую-либо группу преобразований. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП 267 Во многих разделах физики (кристаллография, теория относительности, квантовая механика и т.д.) требуется построение представлений различных групп (конечных и дискретных подгрупп группы С((3), групп 0(3), ( (3), (( (3), И( (3) и т.
д.). Эти построения выходят далеко за рамки начальных понятий теории групп и не могут рассматриваться в данном руководстве. Мы ограничимся некоторыми понятиями, используемыми в теории представлений, и примерами. 1. Линейные представления групп. Терминология. Определение. Линейным предсгпавлением группы С в конечно- мерном евклндовом пространстве Е" называется такое отображение Г', посредством которого каждому элементу а этой группы ставится в соответствие линейное преобразование Т, пространства Е" так, что для любых а| и аз из С выполняется соотношение Т1„„1 = Т, Т„,. Таким образом, линейное представление группы С в коиечномерном евклидовом пространстве Е™ есть гомоморфизм этой группы на некоторое подмножество линейных преобразований этого пространства.
Используется следующая терминология: пространство Е" называется пространством представления, размерность и этого пространства называется размерностью представления, базис в пространстве Е" называется базисом представления. Заметим, что гомоморфный образ ((С) группы С также называется представлением этой группы в пространстве представлений.
В дальнейшем для краткости и-мерные линейные представления группы мы будем называть просто представлениями этой группы. Для обозначения представления группы С используется символ Р(С); различные представления данной группы отмечаются индексом (например, Р1"1(С)). Символом Р1"1(у) будем обозначать линейное преобразование (линейный оператор), отвечающее элементу у е С в представлении Рбй(С). Тривиальным представлением группы С называется гомоморфное отображение С в единичный элемент группы С((п). Если отображение Г группы С на подгруппу СЬ(п) является изоморфизмом, то представление называется точным. Очевидно, что не у всякой группы есть точное п-мерное представление для заданного п.
Например, у группы О(10), конечно, не может быть точного одномерного представления (это следует, в частности, из того, что группа О(1) абелева, а группа 0(10) — не абелева). Отметим, что при гомоморфном отображении ( группы С в СЕ(п) получающееся представление группы изоморфно фактор-группе С(кегп (', где кегп ( — так называемое ядро гомоморфизма (', т. е. то множество элементов С, которое при гомоморфизме Г отображается в единицу группы С(,(п). 2. Матрицы линейных представлений.
Эквивалентные представления. Рассмотрим представление Р1Р1(С) группы С. В этом представлении каждому элементу у из С отвечает линейное преобра- (гл. 9 268 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП зование Р~"~ (8.). Матрицу этого линейного преобразования в базисе представления Р~Р~ (С) мы будем обозначать О~и~,'(8) или О„~ (8.). В зависимости от выбора базиса в пространстве представлений будет меняться и матрица Р,~~ (8.), отвечающая элементу а. Естественно поэтому возникает вопрос об эквивалентньгх представлениях группы в одном и том же пространстве. Сформулируем определение эквивалентности представлений.
Определение. Представления Р'т~ (С) и Р~нд (С) группы С в одном н том же пространстве Е" называются эквивалентными, если существует такое невырожденное линейное преобразование С пространства Е", что для каждого элемента а е С справедливо соотношение Рбч~ (8.) = С 'О~"'-'~ (д) С. Понятие эквивалентности играет важную роль в теории представлений, главным образом в перечислении и классификации представлений. Выбор базиса в пространстве представлений важен еще и потому, что в каком-либо базисе матрицы, отвечаюгцие элементам группы, могут иметь стандартный, достаточно простой вид, который позволяет сделать важные заключения об исследуемом представлении.
В следующем пункте мы дадим некоторую классификацию представлений, опираясь на специальный вид матриц. 3. Приводимые и неприводимые представления. В этом пункте мы обсудим вопрос о том, при каких условиях данное представление О(С), заданное в пространстве Е", индуцирует в подпространстве Е' этого пространства представление Р(С).
Этот вопрос тесно связан с вопросом об описании данного представления с помогцью более простых представлений, которые имеют меньшую размерность, чем заданное. С решением поставленного вопроса тесно связано понятие инвариантного подпространства линейного преобразования (линейного оператора). Напомним, что подпространство Е' называется инвариантным подпространством линейного оператора А, если для каждого элемента х из Е' элемент Ах принадлежит Е' (см.
93 гл.б). Иными словами, подпространство Е' инвариантно, если действие оператора А на элементы этого подпространства не выводит их из этого подпространства. Отметим, что само пространство Е" и нулевой элемент пространства являются инвариантными подпространствами любого линейного оператора. Можно ввести понятие инвариантного подпространства для представления Р(С).
Именно, подпространство Е' называется инвариантным для представления Р(С), если оно инвариантно для всякого оператора из О(С). Очевидно, что на инвариантном подпространстве представления О(С) индуцируется некоторое представление Р (С). Следует отметить, что представление Р (С) не сводится к представлению Р(С), если инвариантное подпространство Е' не совпадает с Е". 269 пРедстлвления ГРупп Поясним теперь понятие приводимого представления. Пусть, например, все матрицы некоторого трехмерного представления Р(С) имеют вид < А: А ! ' г аи агз агз (9.30) О: Аг '0 0 где Аг, Аз, Аз н О соответственно обозначают матрицы ('" '"), <"'), ( зз), (0,0).
Легко проверить, что произведение матриц вида (9.30) подчиняется т.е. произведение матриц вида (9.30) есть матрица вида (9.30). Более того, при умножении матриц этого вида изолированно перемножаются матрицы Аг и А~~' и матрицы А~ и Агз'. Таким образом, мы видим, что матрица А~ = ( г) образует Уа~ ~ аиЛ (,аз~ агз) двумерное представление рассматриваемой группы, а матрица Аг = = (агз) образует одномерное представление этой же группы. В таких случаях говорят, что представление Р(С) приводимо. Если все матрицы (речь идет о квадратных матрицах порядка и) операторов представления имеют вид (9.31) где Аг и Аз — квадратные матрицы, вообще говоря, разных порядков, то ясно, что матрицы Аг и Аа образуют представления, сумма размерностей которых равна п.
В этом случае представление называется вполне приводимым. Отметим, что операторы, матрицы которых имеют вид (9.31), фактически редуцируются к двум операторам, действующим независимо в двух инвариантных подпространствах. Заметим также, что представление, индуцируемое на ннвариантном подпространстве данным представлением Р(С), называется частью представления Р(С). В заключение этого пункта сформулируем понятие неприводимого представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
