В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (6-е издание) (1113061), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Итак, если А = (а„') — матрица оператора А в данном базисе и элементы х и у имеют соответственно координаты х',...,х" и у',..., у", то, согласно формуле (5.14) (см. п. 1 9 2 гл. 5), соотношение (9.10) перепишется в виде уб = ~ агах~, т'=1,2,..., и, (9.11) ь=1 и поэтому координаты х" можно рассматривать как неизвестные при заданных координатах ул. Так как оператор А невырожденный, т.е. бес А ~ О, система уравнений (9.11) имеет единственное решение для неизвестных х".
Это и означает, что для каждого фиксированного элемента у е 1' существует только один элемент х такой, что у = Ах. Итак, результат действия невьгрожденного линейного оператора можно рассматривать как отображение линейного пространства (г на себя. Поэтолсу при заданном невырожденном операторе мы можем говорить о невырожденном линеином преобразовании пространства ~', или, короче, о линейном преобразовании пространства К 2. Группа линейных преобразований. Пусть \' — и-мерное линейное пространство с элементами х, у, х, ...
и СТ (и) — множество всех невырожденных линейных преобразований этого пространства. Определим в Сй(п) закон композиции, который в дальнейшем будем называть умножением. Мы определим умножение линейных преобразований из С! (П) так же, как было определено в п.2 91 гл.5 умножение линейных операторов. Именно, произведением АВ линейных преобразований А и В из множества СЛ(п) мы назовем линейный оператор, действующий ') Напомним, что бес А был введен в п. 2 92 гл. 5 как определитель матрицы линейного оператора в данном базисе. Там же было доказано, что значение дес А не зависит от выбора базиса.
9 Лепейеал алгебра (гл. 9 258 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП по правилу (АВ)х = А(Вх). (9.12) Отметим, что, вообще говоря, АВ ф- ВА. Для того чтобы указанное произведение действительно было законом композиции (см. и. 1 9 1 этой главы), достаточно доказать, что преобразование АВ является невырожденным, а это следует из того, что матрица линейного преобразования АВ равна произведению матриц преобразований А и В, а следовательно, де!(АВ) = де!А х де! В у': О, ибо де! А ~ О и де! В Р О.
Докажем теперь следующую теорему. Теорема 9.8. Множество СЬ(п) невырожденных линейнгях преобразований линейного и-мерного пространства И с введенной вьы ше операцией умножения представляет собой группу (называемую группой линейных преобразований линейного пространства (У).
Доказательство. Проверим требования 1; 2; 3' определения 2 группы (см. п.2 91 этой главы). 1'. Ассоциативность умножения, т.е. равенство А(ВС) = (АВ)С справедливо, поскольку, согласно (6.12), произведение линейных преобразований заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные преобразования А(ВС) и (АВ)С совпадают с линейным преобразованием АВС и, следовательно, тождественны. 2'. Существование единицьс Обозначим символом 1 тождественное преобразование. Это преобразование невырожденное, так как де!1 = .=- 1. Очевидно, для любого преобразования А из СЦП) справедливо равенство А1 = 1А = А.
Следовательно, линейное преобразование 1 играет роль единицы. 3'. Существование обратного элемента. Пусть А — любое фиксированное невырожденное линейное преобразование. Обратимся к координатной записи (9.11) этого преобразования. Так как де! А ~ О, то из системы (9.11) можно по заданному у (по заданным координатам уу) единственным образом определить х (координаты л"). Следовательно, определено обратное преобразование А ', которое, очевидно, будет линейным (это следует из (9.11)); кроме того, по самому определению А 'А = 1. Поэтому линейный оператор А ' играет роль обратного элемента для А.
Итак, для операции умножения элементов из СЦп) выполнены требования 1; 2; 3' определения 2 группы. Поэтому СЦп) — группа. Теорема доказана. 3. Сходимость элементов в группе СЦп). Подгруппы группы СТ,(п). В этом и дальнейших пунктах этого параграфа мы будем рассматривать группу С/(и) в п-мерном евклидовом пространстве К Введем понятие сходимости в группе Су(п).
259 ГРУППЫ ПРЕОБРХЗОВЛНИИ Определение. Последовательность элементов (А„) из СЦП) называется скодяи1ейся к элементу А е СЛ(п), если для любого х из 1г последовательность (А„х) сходится к Ах ') . Понятие сходимости в СЬ(п) мы используем ниже при введении так называемых компактных групп. Рассмотрим следующие типы подгрупп группы СЦП). 1'. Конечные подгруппы, т.е.
Подгруппы, содержащие конечное число элементов. Примером конечной подгруппы может служить подгруппа отражений относительно начала координат, содержащая два элемента — тождественное преобразование и отражение относительно начала (см. пример 7 п. 2 9 ! этой главы). 2'. Дискретные подгруппы, т.е. подгруппы, содержащие счетное. число элементов. Примером такой подгруппы может служить подгруппа поворотов плоскости около начала координат на углы й1Р, к = О,х 1,х2,..., где ьь угол, несоизмеримый с и.
3'. Непрерывные подгруппы, т, е. подгруппы, содержащие более чем счетное число элементов. Подгруппа всех поворотов трехмерного пространства вокруг фиксированной оси представляет собой пример непрерывной подгруппы. Среди непрерывных подгрупп группы СЦП) выделяются так называемые компактные подгруппы, т.е.
подгруппы, у которых из любого бесконечного множества ее элементов можно выделить последовательность, сходящуюся к элементу этой подгруппы. 4. Группа ортогональных преобразований. В группе СЦп) выделяется специальная подгруппа так называемых ортогональных преобразований. Эти преобразования, рассматриваемые как отдельное множество, образуют группу, называемую ортогональной группой.
Введем понятие ортогональных преобразований. Напомним, что мы рассматриваем невырожденные линейные преобразования. Понятие такого преобразования равнозначно понятию невырожденного оператора, т.е. оператора А, для которого деьА ~ О. Напомним теперь введенное в 9 9 гл.5 понятие ортогонального оператора, действующего в вещественном евклидовом пространстве !У. Именно, линейный оператор Р мы назвали ортогональным, если для любых х и у из И справедливо соотношение (Рх, Ру) = (х, у). (9.13) Результат действия ортогонального оператора Р будем называть ортогональным преобразованием Р. В теореме 5.3б было доказано, что оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда существует обратный оператор Р ') Последовательность (А„х) представляет собой последовательность точек пространства Р'.
Поэтому сходимость последовательности (А х) понимается в обьыном смысле. (гл. 9 260 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП и выполняется равенство Р-' = Р*. (9.14) В этом равенстве Р' оператор, сопряженный к Р. Таким образом, если преобразование Р является ортогональным, то у этого преобразования есть обратное Р '. Отсюда следует, что каждое ортогональное преобразование является невырожденным. Действительно, поскольку РР = 1, где 1 — тождественное преобра— 1 зование, то с1етР с1етР = с1от1 = 1, т.е, де! Р ф О. Следовательно, ортогональное преобразование Р невы- рожденное. Отметим следующее важное свойство ортогональных преобразований.
Теорема 9.9. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства !У с обычной операцией умножения линейных преобразований образует группу, называемую ортогональной группой и обозначаемую символом 0(п). Доказательство. Достаточно доказать, что произведение ортогональных преобразований представляет собой ортогональное преобразование. Существование обратного преобразования (обратного элемента) для данного ортогонального преобразования доказано в теореме 5.36 (см.
также только что сделанное замечание). Итак, пусть Р| и Рз — ортогональные преобразования. Рассмотрим произведение Р1РЕ. Согласно теореме 5.36 нам достаточно доказать соотношение (Р,Р,)(Р,Р,) 1 (9.15) В п.! 95 гл.5 (см. свойство 5' сопряженных операторов) мы установили, что (Р~РЕ)* = РЕРМ Используя это соотношение и ортогональность преобразований Р1 и Рю получим (Р|РЕ)(Р1Рз) = (Р1РЕ)(РЕР1) = Р|(РЕР )Р~ — Р11Р1 — Р~Р~ — 1. Таким образом, соотношение (9.15) доказано. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, ортогональная группа является подгруппой группы СА(п). Замечание 2.
Значение определителя деЕР ортогонального преобразования Р удовлетворяет соотношению (с1етР)з = 1. (9.16) Таким образом, десР = х1. (9.17) Для доказательства (9.16) заметим, что для матрицы Р преобразования Р справедливо соотношение РР'=1, (9.18) 26! ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВЛНИИ где Р' — транспонированная матрица, полученная из Р перестановкой строк и столбцов, а 7 — единичная матрица. Так как де! Р = де! Р' (при перестановке строк и столбцов определитель не меняется) и де! 7 = 1, то из соотношения (9.18) следует, что (де! Р)з = 1, т.е. де! Р = з:1. Поскольку, по определению, деФР вводится как определитель матрицы Р в любом базисе, то соотношения (9.16) и (9.17) доказаны.
Соотношение (9.17) для определителя ортогонального преобразования служит основой для разделения всех таких преобразований на два класса. В первый класс мы отнесем все ортогональные преобразования, для которых десР = +1. Эти преобразования в дальнейшем будем называть собственнаями. Во второй класс отнесем все ортогональные преобразования, для которых дегР = — 1.
Такие преобразования будем называть несобственнаями. Множество всех собственных ортогональных преобразований образует группу, называемую собственной ортогональной группой. Эта группа обозначается символом ЯО(п). Можно доказать, что каждая группа $О(п) компактна. 5. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. В этом пункте мы не будем стремиться к полноте изложения. На отдельных примерах мы постараемся выяснить характеристики некоторых подгрупп ортогональной группы. Отметим, что конечные и дискретные подгруппы группы О(3) имеют важное значение в кристаллографии. 1'. Рассмотрим двумерную ортогональную группу О(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
