А.В. Овчинников - Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса (1112293), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найти размерность и базис линейной оболочки многочленов степени невыше 3, удовлетворяющих заданным условиям.7.3.1. f (−3) = 0,f ′ (−2) = 0.7.3.10. f (−2) = 0,f ′ (3) = 0.7.3.2. f (−3) = 0,f ′ (−1) = 0.7.3.11. f (−1) = 0,f ′ (−3) = 0.7.3.3. f (−3) = 0,f ′ (1) = 0.7.3.12. f (−1) = 0,f ′ (−2) = 0.7.3.4. f (−3) = 0,f ′ (2) = 0.7.3.13. f (−1) = 0,f ′ (1) = 0.7.3.5. f (−3) = 0,f ′ (3) = 0.7.3.14. f (−1) = 0,f ′ (2) = 0.7.3.6. f (−2) = 0,f ′ (−3) = 0.7.3.15. f (−1) = 0,f ′ (3) = 0.7.3.7. f (−2) = 0,f ′ (−1) = 0.7.3.16. f (1) = 0,f ′ (−3) = 0.7.3.8.
f (−2) = 0,f ′ (1) = 0.7.3.17. f (1) = 0,f ′ (−2) = 0.7.3.9. f (−2) = 0,f ′ (2) = 0.7.3.18. f (1) = 0,f ′ (−1) = 0.577.3.19. f (1) = 0,f ′ (2) = 0.7.3.23. f (2) = 0,f ′ (−1) = 0.7.3.20. f (1) = 0,f ′ (3) = 0.7.3.24. f (2) = 0,f ′ (1) = 0.7.3.21. f (2) = 0,f ′ (−3) = 0.7.3.25. f (2) = 0,f ′ (3) = 0.7.3.22. f (2) = 0,f ′ (−2) = 0.7.3.26. f (−2) = 0,f ′ (2) = 0.7.4. В трехмерном вещественном линейном пространстве введены базисы e1 , e2 , e3(«старый») и f1 , f2 , f3 («новый»).
Записать матрицу перехода от старого базисак новому, обратную матрицу и найти координаты Xf , Ye элементов x, y, еслизаданы их координаты Xe , Yf .−2−4 f1 = −7e2 − 2e3 ,7.4.1. f2 = −e1 + 4e2 + e3 ,Xe = 0 , Yf = 4 .24f3 = 2e1 + 3e2 + e3 ,−5−1 f1 = 3e1 − 8e2 − 2e3 ,7.4.2. f2 = −3e1 + e2 ,Xe = 0 , Yf = 4 .f3 = 2e1 + 3e2 + e3 ,33f=5e−e,−33 1237.4.3. f2 = −e1 + 3e2 − e3 ,Xe = 0 , Yf = 2 .f3 = e1 − 2e2 + e3 ,−1−32−4 f1 = 4e1 − 4e2 + e3 ,7.4.4.
f2 = −e1 + 4e2 − 3e3 ,Xe = 1 , Yf = −1 .2−4f3 = −e2 + e3 , 4−2 f1 = −5e1 + 9e2 + 3e3 ,7.4.5. f2 = −8e1 + 7e2 + 3e3 ,Xe = 0 , Yf = −6 .5−1f3 = −3e1 + 2e2 + e3 , 24 f1 = −2e1 − e2 ,7.4.6. f2 = 2e1 − 2e2 − e3 ,Xe = 1 , Yf = 1 .f3 = e1 + 3e2 + e3 ,24 1−3 f1 = e1 + 2e2 + e3 ,7.4.7.
f2 = e1 + e2 + e3 ,Xe = 3 , Yf = 1 .f3 = 2e1 + e3 ,1−1f=4e−e−3e,−1−5 11237.4.8. f2 = 6e1 − 2e2 − 3e3 ,Xe = −6 , Yf = 0 .f3 = −3e1 + e2 + e3 ,−24−60 f1 = −6e1 + 3e2 − e3 ,7.4.9. f2 = −7e1 + e2 + 2e3 ,Xe = −3 , Yf = −1 .−2f3 = −2e1 + e3 ,258−1−3 f1 = 5e1 + e2 + 2e3 ,7.4.10. f2 = −11e1 + e2 − 3e3 ,Xe = 5 , Yf = 1 .f3 = 3e1 + e3 ,−33 0−2 f1 = 7e2 + 2e3 ,7.4.11. f2 = −e1 + 7e2 + 2e3 ,Xe = 2 , Yf = −2 .f3 = 3e2 + e3 ,5151 f1 = e1 + 4e2 + 2e3 ,7.4.12.
f2 = 9e1 − e2 − 2e3 ,Xe = −1 , Yf = −5 .f3 = −3e1 + e2 + e3 ,−131−5 f1 = 8e1 − e2 − e3 ,7.4.13. f2 = −5e1 − 5e2 + 3e3 ,Xe = −2 , Yf = 0 .−51f3 = −e1 − 2e2 + e3 ,24 f1 = −5e1 + e3 ,Xe = −2 , Yf = −4 .7.4.14. f2 = 2e2 + e3 ,f3 = −3e1 + e2 + e3 ,2042 f1 = −8e1 + 5e2 + 2e3 ,Xe = −1 , Yf = −5 .7.4.15. f2 = 4e2 + e3 ,2f3 = −3e1 + 3e2 + e3 ,4−2−2 f1 = −2e1 + 3e2 − e3 ,7.4.16. f2 = 4e1 − 5e2 + 2e3 ,Xe = 2 , Yf = 4 .f3 = 3e1 − 3e2 + e3 ,−1−515 f1 = −e1 + 2e2 − 2e3 ,7.4.17. f2 = 5e1 + 3e2 − e3 ,Xe = −4 , Yf = 0 .f3 = −2e1 − 2e2 + e3 ,−3−1−2−4 f1 = −4e1 − e3 ,7.4.18.
f2 = −5e1 − e3 ,Xe = 1 , Yf = 3 .f3 = 2e1 + e2 + e3 ,02−13 f1 = e1 + 2e2 − 2e3 ,7.4.19. f2 = −2e1 − 5e2 + 3e3 ,Xe = −3 , Yf = 1 .f3 = −e1 − 2e2 + e3 ,1−5f=4e+7e−3e,−5−1 11237.4.20. f2 = −8e2 + 3e3 ,Xe = −2 , Yf = 4 .f3 = e1 − 3e2 + e3 ,0−62−2 f1 = e1 − 2e2 ,7.4.21. f2 = −e1 + e3 ,Xe = −1 , Yf = −1 .−2f3 = −e1 − e2 + e3 ,0597.4.22.7.4.23.7.4.24.7.4.25.7.4.26.4−2 f1 = e1 − 3e3 ,f2 = 2e1 + 2e2 + e3 ,Xe = −2 , Yf = 4 .f3 = e1 + e2 + e3 ,2042 f1 = 7e1 − e3 ,f2 = 9e1 − e2 − 2e3 ,Xe = −4 , Yf = −2 .f3 = −3e1 + e2 + e3 ,−13 06 f1 = 9e1 + 5e2 + e3 ,f2 = e1 + 5e2 + 2e3 ,Xe = 0 , Yf = −2 .0f3 = −e1 + 2e2 + e3 ,40−4 f1 = e1 − 6e2 + 2e3 ,f2 = −8e1 − 5e2 + 3e3 ,Xe = 0 , Yf = −4 .1−5f3 = −2e1 − 2e2 + e3 ,2−2 f1 = e1 + 2e2 ,f2 = −2e1 − e2 + e3 ,Xe = −2 , Yf = −2 .f3 = −2e1 − 2e2 + e3 ,−1−38.
Преобразование координат8.1. На плоскости задана аффинная система координат Oxy («старая»). Прямые l1 , l2 являются соответственно осями O′ x′ , O′ y ′ новой аффинной системыкоординат O′ x′ y ′ . Точка A имеет координаты Aст в системе Oxy и координатыAнов в системе O′ x′ y ′ . Найти координаты нового начала координат O′ относительно старой системы Oxy, координаты новых базисных векторов относительно старого базиса. Записать формулы, выражающие старые координаты (x, y)произвольной точки через ее новые координаты (x′ , y ′ ). Прямая m в системеOxy имеет уравнение x + y = 0.
Записать общее уравнение этой прямой всистеме O′ x′ y ′ .8.1.1. l1 : 5x + 7y + 30 = 0, l2 : 2x + 3y + 13 = 0, Aст (−4, −1), Aнов (−2, −3).8.1.2. l1 : 5x + 7y + 28 = 0, l2 : 2x + 3y + 12 = 0, Aст (−8, 2), Aнов (−2, −2).8.1.3. l1 : 5x + 7y + 26 = 0, l2 : 2x + 3y + 11 = 0, Aст (−12, 5), Aнов (−2, −1).8.1.4. l1 : 5x + 7y + 22 = 0, l2 : 2x + 3y + 9 = 0, Aст (−20, 11), Aнов (−2, 1).8.1.5. l1 : 5x + 7y + 20 = 0, l2 : 2x + 3y + 8 = 0, Aст (−24, 14), Aнов (−2, 2).8.1.6. l1 : 5x + 7y + 18 = 0, l2 : 2x + 3y + 7 = 0, Aст (−28, 17), Aнов (−2, 3).8.1.7. l1 : 3x + y − 2 = 0, l2 : 2x + y = 0, Aст (4, −7), Aнов (−1, −3).8.1.8.
l1 : 3x + y = 0, l2 : 2x + y + 1 = 0, Aст (2, −4), Aнов (−1, −2).8.1.9. l1 : 3x + y + 2 = 0, l2 : 2x + y + 2 = 0, Aст (0, −1), Aнов (−1, −1).8.1.10. l1 : 3x + y + 6 = 0, l2 : 2x + y + 4 = 0, Aст (−4, 5), Aнов (−1, 1).608.1.11. l1 : 3x + y + 8 = 0, l2 : 2x + y + 5 = 0, Aст (−6, 8), Aнов (−1, 2).8.1.12. l1 : 3x + y + 10 = 0, l2 : 2x + y + 6 = 0, Aст (−8, 11), Aнов (−1, 3).8.1.13. l1 : x − y − 6 = 0, l2 : 2x − 3y − 14 = 0, Aст (−4, −7), Aнов (1, −3).8.1.14. l1 : x − y − 4 = 0, l2 : 2x − 3y − 9 = 0, Aст (−2, −4), Aнов (1, −2).8.1.15. l1 : x − y − 2 = 0, l2 : 2x − 3y − 4 = 0, Aст (0, −1), Aнов (1, −1).8.1.16. l1 : x − y + 2 = 0, l2 : 2x − 3y + 6 = 0, Aст (4, 5), Aнов (1, 1).8.1.17. l1 : x − y + 4 = 0, l2 : 2x − 3y + 11 = 0, Aст (6, 8), Aнов (1, 2).8.1.18. l1 : x − y + 6 = 0, l2 : 2x − 3y + 16 = 0, Aст (8, 11), Aнов (1, 3).8.1.19.
l1 : 3x − 7y − 22 = 0, l2 : 2x − 5y − 15 = 0, Aст (4, −1), Aнов (2, −3).8.1.20. l1 : 3x − 7y − 12 = 0, l2 : 2x − 5y − 8 = 0, Aст (8, 2), Aнов (2, −2).8.1.21. l1 : 3x − 7y − 2 = 0, l2 : 2x − 5y − 1 = 0, Aст (12, 5), Aнов (2, −1).8.1.22. l1 : 3x − 7y + 18 = 0, l2 : 2x − 5y + 13 = 0, Aст (20, 11), Aнов (2, 1).8.1.23. l1 : 3x − 7y + 28 = 0, l2 : 2x − 5y + 20 = 0, Aст (24, 14), Aнов (2, 2).8.1.24. l1 : 3x − 7y + 38 = 0, l2 : 2x − 5y + 27 = 0, Aст (28, 17), Aнов (2, 3).8.1.25.
l1 : 5x − 17y − 30 = 0, l2 : 2x − 7y − 12 = 0, Aст (36, 9), Aнов (3, −3).8.1.26. l1 : 5x − 17y − 8 = 0, l2 : 2x − 7y − 3 = 0, Aст (42, 12), Aнов (3, −2).8.2. В пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz.Три данные плоскости являются соответственно координатными плоскостями O′ y ′ z ′ , O′ x′ z ′ , O′ x′ y ′ новой прямоугольной декартовой системы координатO′ x′ y ′ z ′ (проверьте их попарную ортогональность!). Точка A в системе Oxyzимеет координаты (1, 0, 0), а в системе O′ x′ y ′ z ′ все ее координаты положительны.
Найти координаты нового начала координат O′ относительно старойсистемы Oxyz, координаты новых базисных векторов относительно старого базиса. Записать формулы, выражающие старые координаты (x, y, z) произвольнойточки через ее новые координаты (x′ , y ′ , z ′ ). Прямая m в системе Oxyz имеетканоническое уравнение x = y = z. Записать параметрическое уравнение этойпрямой в системе O′ x′ y ′8.2.1.
x + 2y + 2z − 3 = 0, 2x + y − 2z = 0, 2x − 2y + z + 3 = 0.8.2.2. x + 2y + 2z − 3 = 0, 2x + y − 2z + 3 = 0, 2x − 2y + z = 0.8.2.3. x + 2y + 2z + 3 = 0, 2x + y − 2z − 3 = 0, 2x − 2y + z = 0.8.2.4. x + 2y + 2z = 0, 2x + y − 2z − 3 = 0, 2x − 2y + z + 3 = 0.8.2.5. x + 2y + 2z = 0, 2x + y − 2z + 3 = 0, 2x − 2y + z − 3 = 0.8.2.6. x + 2y + 2z + 3 = 0, 2x + y − 2z = 0, 2x − 2y + z − 3 = 0.618.2.7.
x − 2y + 2z − 3 = 0, −2x + y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y + z = 0.8.2.8. x − 2y + 2z − 3 = 0, −2x + y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.9. x − 2y + 2z = 0, −2x + y + 2z − 3 = 0, 2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.10. x − 2y + 2z + 3 = 0, −2x + y + 2z = 0, 2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.11. x − 2y + 2z = 0, −2x + y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y + z − 3 = 0.8.2.12. x − 2y + 2z + 3 = 0, −2x + y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y + z − 3 = 0.8.2.13. x + 2y − 2z − 3 = 0, 2x + y + 2z = 0, −2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.14. x + 2y − 2z − 3 = 0, 2x + y + 2z + 3 = 0, −2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.15. x + 2y − 2z = 0, 2x + y + 2z − 3 = 0, −2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.16.
x + 2y − 2z + 3 = 0, 2x + y + 2z − 3 = 0, −2x + 2y + z + 3 = 0.8.2.17. x + 2y − 2z = 0, 2x + y + 2z + 3 = 0, −2x + 2y + z − 3 = 0.8.2.18. x + 2y − 2z + 3 = 0, 2x + y + 2z = 0, −2x + 2y + z − 3 = 0.8.2.19. x + 2y − 2z + 3 = 0, 2x + y + 2z + 3 = 0, −2x + 2y + z = 0.8.2.20. −x + 2y + 2z − 3 = 0, 2x − y + 2z = 0, 2x + 2y − z + 3 = 0.8.2.21. −x + 2y + 2z − 3 = 0, 2x − y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y − z = 0.8.2.22. −x + 2y + 2z = 0, 2x − y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y − z + 3 = 0.8.2.23.
−x + 2y + 2z + 3 = 0, 2x − y + 2z − 3 = 0, 2x + 2y − z = 0.8.2.24. −x + 2y + 2z + 3 = 0, 2x − y + 2z − 3 = 0, 2x + 2y − z + 3 = 0.8.2.25. −x + 2y + 2z + 3 = 0, 2x − y + 2z = 0, 2x + 2y − z − 3 = 0.8.2.26. −x + 2y + 2z + 3 = 0, 2x − y + 2z + 3 = 0, 2x + 2y − z − 3 = 0.9. Преобразования уравнений кривых второго порядка9.1. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду припомощи ортогональных преобразований координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
