А.П. Земляков, Ю.Ф. Мальцев, В.Г. Кузнецов и др. - Методические указания к курсу Механика (1111876), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Бак длиныL/4Lи высотой H наполовину заполнен ртутью( ρ 2 ), долит доверху водой ( ρ1 ) иплотно закрыт. На расстояниис1HBa 2 + g 2 − a ⎞⎟ ;⎠a 2 + g 2 + a ⎞⎟ ;⎠a 2 + g 2 + g ⎞⎟ ;⎠a 2 + g 2 − g ⎞⎟ .⎠с2Рис. 24aL4отлевого конца бака подвешен тонкиймедный стержень ( ρ ) длины H имассы M , нижний конец которогокасается выступа B . Какая сила F1действует на выступ со стороныстержня, если бак движется вправо сускорением a ? Какая сила F2 действует на левую стенку бака, еслиширина его равна L ? (рис. 24).Ответ:3La(3ρ2 + ρ1 −4ρ );16LHF2 =ρ1(gH + 4a )+ ρ 2 (3gH + 4La )].[8F1 =- 49 -7.2.9.
Горизонтально расположенная трубка AB длины lвращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижнойщвертикальной оси, проходящей через конецA . В трубке находится идеальная жидкость.lКонец трубки A закрыт, а в закрытом концеAB B имеется очень малое отверстие. Найти, сhкакой скоростью относительно трубки будетвытекать жидкость в зависимости отРис.
25"высоты" ее столба h .Ответ:2l−1 .hv = ωh7.2.10. Вертикальныйщgцилиндрический сосуд радиуса R ,частичнозаполненныйжидкостью,вращается вместе с жидкостью вокругсвоей оси. К боковой стенке сосуда нанити длины l привязан воздушный шарикрадиуса r , во время вращения нитьобразует со стенкой угол α . Найтиугловую скорость вращения сосуда.бОтвет: ω=g tg αR −(l + r )sin α.Рис.
267.2.11. Цилиндрический сосуд радиуса R , заполненныйжидкостью плотности ρ , вращается с угловой скоростью ω вокругсвоей оси. В сосуде находится шарик радиуса r и плотностиНайти силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда.Ответ:F=43πr 3 (R − r )ρω 2 .2ρ .- 50 -8. Колебания в неинерциальных системах отсчета.8.1. Примеры решения задач на малые колебания внеинерциальных системах отсчета.Пример №1Найти период колебаний маятника:а) в вагоне, движущемся с ускорением a ;б) в лифте, движущемся вверх с ускорением a ;в) в лифте, движущемся вниз с ускорением a ;г) в спутнике, вращающемся на орбите с постоянной угловойскоростью ω ;д) в космическом корабле, движущемся в межзвездномпространстве с ускорением a .Решение.а) В системе координат будет действоватьr поле r тяготениясrg эф = aи + g илинапряженностьюбaиgэфgg эф = a 2 + g 2 .aбудет направлением линии отвеса(вертикального направления).
Согласнопринципуэквивалентности,T = 2πРис. 27 а.rg эфНаправлениеl= 2πg эфl2a +g2.Влабораторнойсистемекоординатмаятник будет колебаться около направления, составляющего угол α свертикалью.б) При скорости лифта, направленной вверх, ускорение егоможет быть направлено вниз, в этом случае g эф = g − a ; либо вверх,- 51 -в этом случаелибо T1= 2πg эф = g + a . Соответственно периоды колебаний будутlg −a, либо T2Valg +a= 2π.VaaРис. 27 б.aРис. 27 в.в) При движении лифта вниз ускорение его может бытьнаправлено либо вниз, либо вверх, и период колебаний маятника, как ив предыдущем случае, будет равен либоT2 = 2πlg +aT1 = 2πl,g −aлибо.
Т. е. период колебаний зависит не от направленияскорости, а от направления ускорения лифта. В частности, еслиg = a,т. е. лифт свободно падает, то T = ∝ , маятник в свободно падающемлифте не будет совершать колебательныхдвижений. В свободноrпадающем лифте, после сил тяготения g компенсируются полем силrrинерции aи = − g .rРассмотреть случай aиr= − 2 g .
Объяснить результат.г) В rспутнике,системе, действует полеr какr неинерциальнойrтяготения g эф = aи + g . Здесь g — напряженность гравитационного- 52 -raи — поле сил инерции.rrMТ. к. g = G З , а aи = ω 2 r , тоr2Mg эф = G 2З − ω 2 r .rполя Земли,Fцбс.иFтrНайдем aи . Запишем уравнениедвижения спутника:Рис. 27 г.отсюда ω 2 r=Gmω 2 r = GMЗ.2rg эф = 0 .Т. о., внутри спутникамаятникаT = 2πlg эф= ∝.МаятникM Зm,2rТогда период колебанийнебудетсовершатьколебательных движений.д) Этот случай рассмотреть самостоятельно.Пример №2В абсолютно гладкой трубке на двух одинаковых пружинахжесткости κ закреплен шарик массойщm . Шарик колеблется с амплитудойA0 .
Трубку начинают медленноrOРис. 28 а.раскручивать. Определить зависимостьпериода и амплитуды колебанийшарика от угловой скорости вращениятрубки T ω и l ω . (рис. 28 а).( ) ( )- 53 -Решение. В отсутствии вращения уравнение движения шарикабудетиметьвид(рис. 28 б)щm&r& = − 2κr (т. к. две пружины, однасжата на величину r , а другаяrr растянута на величину r ).OF = -2кr&r& + 2κ r = 0mРис. 28 б.Здесьω02 =r=02κmи решениеr = A0 sin ω0t . Начальное условиепри t = 0 .При вращении трубки с угловой скоростью ω в неинерциальнойсистеме отсчета, связанной с трубкой, уравнение движения примет видm&r& = − 2κr + ω 2 rm .Здесьщω 2 r = Fцбс.иrrOF = -2кr— центробежная силаинерции. Тогда уравнение примет вид:Fцбс.иРис. 28 в.()2κ&r& + ⎛⎜ −ω 2 ⎞⎟r = 0 .⎝m⎠2κ= ω02 , то &r& + ω02 −ω 2 r = 0 .mОбозначив через ω12 = ω02 − ω 2 , получим &r& + ω12 r = 0 .
ШарикТак какбудет колебаться с частотойr = A1 sin ω1t .ω1 = ω02 −ω 2 ,а решение уравненияНаходим период колебания:T1 =2πω1=(ω2π20 −ω)2 2=⎛⎛⎜ω22π= T0 ⎜1− 21⎜ω02 ⎞2⎝ωω0 ⎜⎜1−⎝ω02⎟⎟⎠−1⎞ 2⎟.⎟⎟⎠- 54 -Отсюдаследует,чтоω << 1. Если ω = 1, то периодT/T0щ02щ0колебания шарика будет равен1бесконечности.0,51щ/щ0Приω >1щ0колебаний не будет, шарик будетприжат к торцу трубки.Рис.
28 г.Находимзависимостьамплитуды от частоты вращения. Для этого при каждой частотевращения, в том числе и при отсутствии вращения, сообщаем грузику вположении равновесия одинаковую скорость, т. е. одинаковуюначальную кинетическую энергию. Тогда:а) при отсутствии вращения ( ωамплитуда колебаний при ω= 0 ) Eк =κl022= 0.б) при частоте вращенияω≠0добавляется работа силы инерции:амплитуда колебаний при частотесилы инерции:κl12Aс.и =2mω 2l12=.2в) находим зависимость амплитуды от частоты:κl02 κl12 mω 2l122=2−2—, здесьl1—Найдем работу центробежнойdAс.и = Fи dr = mω 2 rdr;2lmωrdr∫0l0в закон сохранения энергииEк + Aс.и =ω., где, или l1 =l0⎛ ω⎜1− 2⎜ ω ⎟0 ⎠⎝2⎞ 12⎟.- 55 -Здесьω02 =κm— частота собственных колебаний груза.8.2. Задачи для самостоятельного решения.8.2.1.
Муфта массой m может скользить без трения погоризонтальной штанге (рис. 29). К муфте сmккобеихсторонприкрепленыодинаковыеневесомые пружины жесткостью κ . Штангавращается вокруг вертикальной оси спостоянной угловой скоростью ω . Муфтущсдвигают от положения равновесия на величинуl , а затем отпускают. Определить, как будетРис. 29двигаться муфта.Ответ:2κуравнение движения имеет вид x = l cos ω0t ,m2κгде ω0 =−ω 2 ;m1) При ω 2<2) При ω 2=3) при ω 2⎡ 2 2κ ⎤2κ>, x = l ch ⎢ ω −⋅t ⎥ .mm⎣⎢⎦⎥2κm— равновесие;8.2.2. Шарик массы m , насаженный на стержень, вращается сугловой скоростью ω вокруг оси O , с которой от соединен пружиной- 56 -κ . Определить частоту колебаний шарика вдоль пружины,κесли ω 2 < .кmщκOОтвет: ω0 =−ω 2 .mРис.
30жесткоститележка скатывается с ускорением a понаклонной плоскости, образующей уголgα с горизонтом. Найти период колебаниймаятника длины l , установленного потележке.8.2.3. ТяжелаяlОтвет:a1⎞4⎛l⎟T = 2π ⎜ 2 2⎜ a + g − 2ag sin α ⎟⎝⎠2б.Рис. 318.2.3. Космический корабль вращается вокруг своей оси сугловой скоростью Ω . Как зависит период колебаний маятника длиныl от расстояния R точки подвеса до оси вращения? Плоскостьколебаний проходит через ось вращения.Ответ: T=2πΩlR +l.8.2.4. Найти период малых колебаний математического маятникадлины l , если его точка подвеса движется относительно поверхностиr rЗемли с постоянным ускорением так, что угол между векторами a и gравенβ.- 57 -Ответ: T= 2πlr rg −a, гдеr rg − a = g 2 + a 2 − 2 ga cos β .Список литературы.1.
С. П. Стрелков, Д. В. Сивухин, В. А. Угаров, И. А. Яковлев.Сборник задач по общему курсу физики. М., "Наука", 1977г.2. И. Е. Иродов. Задачи по общей физике. М., "Наука". 1997г.3. И. В. Савельев. Сборник вопросов и задач по общей физике.М., "Наука", 1982г.4. В.
Ф. Демёхин, А. П. Землянов, В. И. Махно, П. Ф. Тарасенко.Задачи по механике. УПП РГУ, Ростов-на-Дону, 1973г.5. Д. В. Сивухин. Общий курс физики, т.1. М., "Наука", 1989г.6. А. Н. Матвеев. Механика и теория относительности. М.,"Высшая школа", 1986г.7. И. В. Савельев. Курск общей физики, т.1. М., "Наука", 1971г.8. И.
Е. Иродов. Основные законы механики. М., "Высшаяшкола", 2001г..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
