А.П. Земляков, Ю.Ф. Мальцев, В.Г. Кузнецов и др. - Методические указания к курсу Механика (1111876), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Каков должен быть минимальный коэффициент тренияскольжения k между шинами автомобиля и асфальтом, чтобыавтомобиль мог пройти закругление с радиусом R = 200 м прискоростиv = 100 км / ч?- 18 -v2Ответ: k =≈ 0,4 .Rg5.3. Небольшое тело поместили на вершину гладкого шарарадиуса R . Затем шаруr сообщили в горизонтальном направлениипостоянное ускорение a0 , и тело начало скользить вниз.
Найтискорость тела относительно шара в момент отрыва.Ответ:v=2gR .35.4. Муфточка A может свободно скользить вдоль гладкогостержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R(рис. 8). Систему привели во вращение с постояннойугловой скоростью ω вокруг вертикальной оси OO ' .Найти угол ϑ , соответствующийположению муфточки.Ответ: Еслиустойчивомуω 2R > g ,⎛ g ⎞= 0 и ϑ2 = arccos⎜ 2 ⎟ .⎝ω R ⎠Если ω 2 R < g , то ϑ1 = 0 .то ϑ15.5. Автомобиль с шириной колеи 2b и высотой h центра массынад землей проходит горизонтальное закругление дороги радиуса R . 1)Показать, что при скорости автомобиляv>bRghон опрокинется,если не возникнет скольжения колес в направлении, перпендикулярномк движению автомобиля.
2) Предполагая, что скорость автомобилядостаточна для того, чтобы он мог опрокинуться, найти, при каком- 19 -минимальном значении коэффициента трения k между колесамиавтомобиля и покрытием дороги это может произойти?Ответ:kmiп =b;hеслиk < kmiп ,топриv=bRghавтомобиль соскользнет на закруглении.5.6. Прямоугольная призма стоит на шероховатой доске,лежащей на горизонтальном столе (рис. 9). С каким минимальнымускорением amiп надо начать двигать доскупо столу, чтобы призма опрокинулась назад(по отношению к направлению движениядоски) через свое нижнее заднее ребро?Найти силу нормального давления N икоординату x ее точки приложения, скоторой доска действует на призму придвижении доски с ускорением a .Провести решения задачи в системахотсчета, связанных с доской и со столом.Ответ:ahb.amiп = g , N = mg , x =2gh5.7.
На горизонтальном вращающемся диске стоит цилиндр. Прикакой угловой скорости ω цилиндр свалится с диска, если расстояниемежду осями диска и цилиндра R , акоэффициент трениядиаметр цилиндра, аОтвет: ω=hk>D,hгдеD—— его высота (рис. 10).Dgkh.- 20 -R вращается в5.8. Велосипедноеколесорадиусагоризонтальной плоскости вокруг своей оси. По спице колеса безтрения может двигаться шарик.
В начальный момент времени шарикнаходится у обода колеса. Какую начальную скорость v0 следуетсообщить шарику в радиальном направлении, чтобы он мог достигнутьцентра? Угловая скорость вращения ω поддерживается постоянной.Ответ: v0> ωR .5.9. Стрелокимишеньнаходятсявдиаметральнопротивоположных точках карусели радиуса R = 5 м , равномерновращающейся вокруг вертикальной оси.
Период вращения каруселиT = 10 c , скорость пули v = 300 м / с . Пренебрегая максимальнойлинейной скоростью вращающейся карусели ωR по сравнению соскоростью пули, определить приближенно, под каким углом α кдиаметру карусели должен целиться стрелок, чтобы поразить мишень.Задачу рассмотреть как с точки зрения вращающейся, так и с точкизрения неподвижной системы, и сравнить результаты.Ответ: α=4πR≈ 0,0209 рад = 1,2vTo.5.10.
Имеется горизонтально расположенное ружье, дулокоторого совпадает с осью вертикального цилиндра (рис. 11). Цилиндрвращается с угловой скоростью ω .а) Считая, что пуля, выпущенная из ружья,летит горизонтально с постоянной скоростью v ,найти смещение s точки B цилиндра, в которуюпопадет пуля, относительно точки A , котораянаходится против дула в момент выстрела. Решитьзадачу двумя способами: в неподвижной системеотсчета и в системе отсчета, связанной с цилиндром.б) Зависит ли результат от того, вращаетсяружье вместе с цилиндром или неподвижно?- 21 -Ответ: а)S=ωR 2v; б) не зависит5.11.
Горизонтально расположенный диск вращается вокруг оси,rпроходящей через его центр, с угловой скоростью ω . По дискудвижется равномерно на неизменном расстоянии от оси вращениячастица. Найти мгновенное зrначение:а) скорости частицы v ' относительно диска, при которой силаКориолиса будет уравновешиваться центробежной силой инерциrи.rВыразить v ' через мгновенное значение радиус-вектора r ,проведенного к частице из центраr диска;б) скорости частицы v относительно неподвижной системыотсчета при тех же условиях.Ответ: а)rv '=12[rrωr ]; б) vr = 12 [ωrrr].5.12. Горизонтально расположенный стержень вращается вокругвертикальной оси, проходящей через его конец, с угловой скоростьюω = 1,00 рад / с . Расстояние от оси до другого конца стержняl = 1,00 м .
На стержень надета муфта массы m = 0,100 кг . Муфтазакреплена с помощью нити на расстоянии l0 = 0,100 м от осивращения. В момент t = 0 нить пережигают и муфта начинаетскользить по стержню практически без трения. Найти:а) время τ , спустя которое муфта слетит со стержня;б) силу F , с которой стержень действует на муфту в момент τ ;в) работу A , которая совершается над муфтой за время τ внеподвижной системе отсчета.- 22 2⎤⎡⎛l⎞ ⎥⎛1⎞ ⎢lОтвет: а) τ = ⎜ ⎟ ln+ ⎜⎜ ⎟⎟ −1 ≈ 3 с ;⎝ ω ⎠ ⎢ l0 ⎝ l0 ⎠ ⎥⎥⎦⎣⎢4 222б) F = m 4ω l −l0 + g = 1 Н ;в)(())A = mω 2 l 2 −l02 = 0,1 Дж .5.13.
Горизонтально расположенный диск вращается с угловойrскоростью ω . Вдоль радиуса диска движется частица массы m ,расстояние которой от центра диска изменяется со временем по rзаконуr = at ( a— константа). Найти результирующий момент N сил,действующих на частицу в системе отсчета, связанной с диском.Имеется в виду момент относительно центра диска.Ответ:rrN = − 2ma 2tω .5.14. Имеется система отсчета, вращающаяся относительноинерциальной системы вокруг оси z с постоянной угловой скоростьюrω .
Из точки O , находящейся на оси z , вылетает в перпендикулярномк оси направлении частица массы m и летит относительноинерциальной системы прямолинейно с постоянной скоростью v .Найти наблюдаемыйво вращающейся системе отсчета моментrM (t ) частицы относительно точки O . Показать,rвозникновение M (t ) обусловлено действием силы Кориолиса.импульсаОтвет:чтоrrM (t ) = − mv 2t 2ω .5.15.
Человек массыm = 60 кгидет равномерно по периферииR = 3,0 м , которуюω = 1,00 рад / с вокруг вертикальнойгоризонтальной круглой платформы радиусавращают с угловой скоростью- 23 -оси, проходящей через ее центр. Найти горизонтальную составляющуюсилы, действующей на человека со стороны платформы, еслирезультирующая сил инерции, приложенных к нему в системе отсчета"платформа", равна нулю.Ответ:rF=14mω 2 R = 45 Н .6.1. Движение тел в неинерциальной системе, связанной сЗемлей.
Примеры решения задач.Пример № 1Рассчитатьвеличинупоперечногосмещенияснаряда,выпущенного в плоскости меридиана по горизонтальномунаправлению, за первую секунду полета. Выстрел произведен нашироте ϕ = 60 . Начальная скорость снаряда 500 м / с . В моментвыстрела ствол орудия был направлен: а) на юг; б) на север.Сопротивление воздуха не учитывать.oРешение. В системе координат, связанной с Землей (Земля —неинерциальная система) основное уравнение динамики снаряда будетиметь вид:rrrr rrma ' = F − ma0 + mω 2 ρ + 2m[v ' ω ].ЗдесьrF(1)— сила взаимодействияr снаряда с Землей, онанаправлена к центру Земли;rmω 2 ρ = Fцбинерции, она направлена от оси вращения;— центробежная силаrr r2m[v ' ω ] = Fк —силаКориолиса.На рис.
12 показано взаимное расположение векторов сил. Насинтересует только поперечноеотклонение. Оно будет вызыватьсяrтолько силой Кориолисаr rFк = 2m[v ' ω ]. В случае а) сила Кориолисабудет направлена на запад и в случае б) на восток. Выбрав в качестве- 24 -оси x прямую, перпендикулярную плоскости меридиана в точкевыстрела, запишем уравнение движения снаряда в случае а) в видепроекции на ось x .
В этом случае Fx = 0 , Fцбx = 0 .щNщбxFцбFкцWFv’OSРис. 12 (случай а).полагаем, что в первую секундуr Далее, приближенноrv ' ≈ const ( v ' — скорость снаряда в момент выстрела, т. е.ra0 = 0 ). Тогда уравнение движения снаряда примет вид:илиma x ' = 2mv 'ω sin α ,(2)d 2x= 2v 'ω sin α .2dt(3)После двукратного интегрирования получимx = v 'ωt 2 sin α .(4)- 25 -rv ' — начальная скорость снаряда; α — угол междуrнаправлением v ' и ω .
Он равен широтному углу ϕ в случае б) иπ −ϕ в случае а).ЗдесьТ. о., в случае а) снаряд будет отклоняться на запад:− v 'ωt 2 sinϕ , в случае б) на восток: x2 = v 'ωt 2 sinϕ , причемx1 =x1 = x2 .v ' = 500 м / с , t = 1 с , sin 60o ≈ 0,8660 ,ω ≈ 0,73⋅10− 4 рад/ с .x1 = x2 = 500 ⋅ 0,73⋅10− 4 ⋅1⋅ 0,866 ≈ 3⋅10− 2 м = 3 см .Вычисление:Ответ:x = 3 см .Пример № 2Из ружья произведен выстрел строго вертикально вверх (т. е.параллельно линии отвеса на данной широте).
Начальная скоростьпулиv0 y = 100 м / с .Географическая широта местностиϕ = 60 o .Определить приближенно, на каком расстоянии и в каком направленииот места выстрела упадет пуля на Землю.Решение. Задачу решаем в неинерциальной системе Земли. Придвижении пули вверх сила Кориолиса будет направлена на запад.Выберем систему координат с осью y , направленную вверх и осью x ,направленную на запад. Начало координат поместим в точку, откудабыл сделан выстрел (т. A ).В высшей точке подъема (т. B ) v y = 0 , но тангенциальнаяv x ' = vx 'B . При этом вдоль оси x пуля сместилась навеличину x1 .
Затем пуля начинает падать без начальной скорости v y сrускорением g , но при этом пуля имеет тангенциальную скорость v xB .скорость- 26 -При движении вниз сила Кориолиса будет направлена на восток, иускорение Кориолиса будет отрицательно.щNщv0бO’сAFкxWцFцбFOOSРис. 13 а.На рис. 13а показаны направления векторовrrFкор , Fцбrrr rω , v0 y , F = mg ,в случае движения пули вверх. На рис. 13б показан видтраекторий движения пули для наблюдателя, находящегося в т.yv0 BBУравнениедвиженияпуливнеинерциальной системе будет иметьh вид:r rrrma ' = F + Fкор + Fцб .xx2x1Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
