А.П. Земляков, Ю.Ф. Мальцев, В.Г. Кузнецов и др. - Методические указания к курсу Механика (1111876), страница 4
Текст из файла (страница 4)
13 б.A.A- 27 -rrЗдесь F = mg — сила взаимодействия с Землей,rr rFкор = 2m[v yω ] — сила Кориолиса, она направлена на запад, вдольположительного направления оси x ,rrFцб = − mω 2 ρ — центробежная сила инерции, направленнаяперпендикулярно оси x ( Fцб x = 0 ).1) Уравнение движения вдоль оси Y при полете пули вверх.ma y = − mg , т. е. a y = − gПолагаяg = const(осьyнаправлен вверх).получим выражение для скорости:v y = v0 y − gt .Полное время подъема находится из условияtп =v0 ygvy = 0 :.y движение происходит с постояннымrg , то время подъема и падения будет одинаково.Т. к. вдоль осиускорением2) Ускорение Кориолиса будет направлено вдоль осиx.r ra x = 2 v y v0 sin α = 2(v0 y − gt )ω sin α .3) Находим v x .dvx = ax dt = 2(v0 y − gt )ω sinα dt ,- 28 vxt00()∫ dvx = 2ω sin α ∫ v0 y − gt dt ,⎛gt 2 ⎞⎟.vx = 2ω sin α ⎜ v0 y t −⎜2 ⎟⎠⎝4) Находим x1 .⎛gt 2 ⎞⎟ dt ,dx1 = vx dt = 2ω sin α ⎜ v0 y t −⎜2 ⎟⎠⎝tп ⎛x1gt 2 ⎞⎟ dt ,∫ dx1 = 2ω sin α ∫ ⎜⎜ v0 y t −2 ⎠⎟0⎝0илиx1 = v0 yω sin α tп2 − 13 ω g sin α tп3 .v0, получим:a3v0 yω2v03yω1 v0 yωx1 = 2 sin α − 3 2 sin α =sin α .2gg3gПодставив значение tп=Т.
о. при полете вверх пуля сместилась вдоль осиx1 =2v03yω3g2xна величинуsin α .5) Рассмотрим движение пули вниз.a y = − g , v y = − gtскоростью вдоль оси y ).Т. к.(пуля начинает падать с нулевойСила Кориолиса:rr rrrF = − 2m[v yω ] = 2mt[gω ] ; Fx = − 2mtgω sinα .- 29 -Ускорение Кориолиса:Скорость вдоль осиx:a x = − 2 gωt sin α .dv x = a x dt ,илиtdvx = − 2 gω sin α ∫ tdt ; vx − v0 B = − gω sin α t 2 .0Т. о. v x = v0 B − gωt 2Находим смещение:sin α .dx = vx dt ,x2tпtпx100()2∫ dx = ∫ vx dt = ∫ v0 B − gωt sin α dt ,x2 − x1 = v0 Btп − 13 gω sin α t 3 .Подставив время падения tпx2 = x1 + v0 Bv0 yg−13=v0 ygv03yωg2Скорость v0 B — скорость в точке, получим:sin α .B , находим из уравнения⎡gtп2 ⎤v0 B = 2ω sin α ⎢v0 y tп −⎥=2⎢⎣⎥⎦⎡ v02y v02y ⎤ v02yωsin α .= 2ω sin α ⎢ − ⎥ =g⎢⎣ g 2 g ⎥⎦Подставив значения x1 и v0 B , получим:- 30 -23x2 ==т.
к. αv03yωgsin α +2v03yω sin αgπ=2v03yωg[ +1− ] =2313243sin α −13v03yωgv03yω sin αg22=sin α =43v03yωg2cosϕ ,−ϕ .2Ответ: Точка падения пули будет находиться к западу от точкивыстрела. Величина смещения43x1 =v03yωg2cosϕ ≈ 51 см .Пример № 3На экваторе на рельсах стоит пушка. Рельсы направлены с западана восток, и пушка может двигаться по ним без трения.
Пушка стреляетвертикально вверх. Какую скорость v0 будет иметь пушка послевыстрела? Куда будет направлена эта скорость. Масса пушки M ,масса снаряда m , длина ствола l . Считать, что снаряд движется встволе с постоянным ускорением.щNщWxFкSРис. 14.OvyyРешение.Выберемсистемукоординат в точке выстрела. Ось yнаправим по вертикали, ось x в западномнаправлении.
На снаряд, движущийсявнутри ствола, действуют вдоль оси yсилы тяжести, силы трения, силы давленияпороховых газов, а вдоль оси x силаКориолиса. В результате на системуснаряд-пушка вдоль оси x действует- 31 -только сила Кориолиса, т. к. сил трения нет.Уравнения движения системы снаряд-пушка:(M + m) ax = 2mωv y ,гдеax =dvx; v y = a ytdt— скорость движения снаряда,ay— егоускорение. Тогда уравнение движения системы будет иметь вид:(M + m) dvx = 2mωa yt .dtОбозначим через v0 x скорость пушки в момент вылета снаряда:2mωa y t0∫ dv x =∫ tdt .M +m 00v0 xt02lt0 =ayЗдесь— время движения снаряда внутри пушки, оно равно, т.
к. вдоль ствола снаряд движется с постояннымускорением.После интегрирования получим:v0 x =2mω a y tM +m 22lay2,0после подстановки пределов получим:- 32 -v0 x =2mω l.M +mОтвет: Пушка после вылета снаряда начнет двигаться на запад соскоростьюv0 x =2mω l.M +mПример № 4На полюсе установлена пушка, ствол которой направленгоризонтально вдоль меридиана и может свободно вращаться вокругвертикальной оси, проходящей через замок орудия. С какой угловойскоростью относительно Земли будет вращаться ствол пушки послевыстрела? Считать, что в начальный момент времени снаряд находитсяна оси вращения и движется внутри ствола при выстреле с постояннымускорением a . Масса пушки ( M = 1000 кг ) значительно большемассы снаряда ( mдиаметра.= 10 кг ).Длина ствола значительно больше егоРешение.
В системе координат, связанной с Землей, надвижущийся внутри ствола снаряд будет действовать сила Кориолиса,направленная на запад и равная F = 2mvω0 , где v — мгновеннаяскорость снаряда,ω0— угловая скорость вращения Земли. Уравнениедвижения пушки со снарядом имеет вид:IЗдесьdω= Mк .dtM к = 2mω0vr— момент силы Кориолиса,r— расстояниеснаряда от оси вращения в данный момент времени. Т.
к. масса пушкиM значительно больше массы снаряда ( M >> m ), то Iприближенно равно моменту инерции пушки; ω — мгновенное- 33 -значение угловой скорости вращения ствола пушки. ПолагаяполучимωI ∫ dω = mω00a2t03∫ t dt .02l— время движенияa1I ≈ 3 Ml 2 , ω0 = 7,3⋅10− 5 рад/ с .Здесьv = at ,t0 =снаряда внутри ствола,После интегрирования получаем:ω=Ответ:3mω0.Mω = 3mω0 ≈ 2,2 ⋅10−6 рад / с .M6.2. Задачи для самостоятельного решения.6.2.1. Артиллерийский снаряд движется с горизонтальнойскоростью v = 900 м / с по настильной траектории (т.е. траектории,которую приближенно можно считать горизонтальной прямой). Снаряддолжен поразить цель на расстоянии L = 18 км . Географическаяширота места ϕ = 60o с.ш. Определить боковое отклонение lснаряда от цели, обусловленное вращением Земли.
Зависит ли этоотклонение от направления стрельбы? Сопротивлением воздухапренебречь.ΩL2 sin ϕ= 23,6 м ,Ответ: l =vΩ — угловая скорость вращения Земли.- 34 -6.2.2. Винтовку навели на вертикальную черту мишени,находящейся точно в северном направлении, и выстрелили.Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров ив какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрелпроизведен в горизонтальном направлении на широте ϕ = 60o ,скорость пулиv = 900 м / си расстояние до мишениs = 1,0 км .Ωs 2sinϕ ≈ 7 см ,Ответ: h ≈vΩ — угловая скорость вращения Земли.6.2.3. Представим себе, что в земном шаре просверлен канал подиаметру в плоскости экватора.
Вычислить силу F , с которой будетдавить на стенку канала тело, падающее по нему с поверхности Земли,в тот момент, когда оно достигнет центра Земли. Считать, что трениянет, а плотность Земли однородна.Ответ:F=4πTRP , здесьgR — радиус Земли,T — продолжительность земных суток,P — вес тела на поверхности Земли.6.2.4. Один из маятников Фуко установлен в Ленинграде вИсаакиевском соборе. Длина маятника l = 98 м , линейная амплитудаколебаний шара маятника (т. е.
наибольшее отклонение его изположения равновесия) x0 = 5 м . Маятник отпускался из крайнегоположения без начального толчка. Определить боковое отклонениешара маятника от положения равновесия в момент прохождения егочерез среднее положение. Географическая широта Ленинградаϕ = 60o .- 35 -Ответ:S=Ωx0ωsin ϕ ≈ 1 мм , здесь ω =Ω — угловая скорость вращения Земли.gl,6.2.5. Суточное вращение Земли приводит к отклонениюартиллерийских снарядов и ружейных пуль от начального направлениявыстрела, заданного в горизонтальной плоскости по земнымориентирам.
Рассчитать величину поперечного смещения x пули,выпущенной в плоскости меридиана по горизонтальному направлению,за первую секунду ее полета. Выстрел произведен на широте Москвы( 55o 45 ' ), начальная скорость пули 1000 м / с . Указать, в какуюсторону отклонится пуля, если в момент выстрела ствол ружья былнаправлен на юг. Силу сопротивления воздуха полету пули неучитывать. Решить задачу в системе отсчета, связанной с Землей.Ответ:x = vt 2Ω sin ϕ ≈ 5,8 см ,Ω — угловая скорость вращения Земли.6.2.6.
Из орудия, установленного в точке земной поверхности сгеографической широтой ϕ = 30o , производится выстрел внаправлении на восток. Начальная скорость снаряда v = 500 м / с ,угол вылета снаряда (т. е. угол наклона касательной в начальной точкетраектории к плоскости горизонта) α = 60o . Пренебрегаясопротивлением воздуха и учитывая вращение Земли, определитьприближенно отклонение y точки падения снаряда от плоскостистрельбы. Какое это будет отклонение: к югу или к северу?(Плоскостью стрельбы называется плоскость, проходящая черезнаправление касательной в начальной точке траектории и направлениеотвеса в той же точке).Ответ: К югу,4Ωv03 sin ϕ cos α sin 2 α≈ 71 м ,y=2g- 36 -Ω — угловая скорость вращения Земли.60o с.ш. паровоз массой в 100 т идет с юга на северскоростьюv = 72 км / ч по железнодорожному пути,6.2.7. Насопроложенному по меридиану.
Найти величину и направление той силы,с которой паровоз действует на рельсы в направлении,перпендикулярном к ходу поезда.Ответ:F = 2mvΩ sin ϕ = 253 Н ,Ω — угловая скорость вращения Земли.60o с.ш. паровоз массой в 100 т идет с запада наскоростью v = 72 км / ч по железнодорожному пути,6.2.8. Навосток сопроложенному вдоль географической параллели данной местности.Найти величину и направление вертикальной и горизонтальнойкомпонент кориолисовой силы, действующей на паровоз.Ответ:FR = 2mvΩ cosϕ = 146 Н ,Fτ = 2mvΩ sin ϕ = 253 Н ,Ω — угловая скорость вращения Земли.6.2.9.
Пароход движется на восток вдоль параллели сгеографической широтой ϕ = 60o . Скорость парохода v = 10 м / с .Определить вес тела P на пароходе, если взвешивание производитсяна пружинных весах. Вес того же тела, неподвижного относительноЗемли, в той же точке земной поверхности равен P0 .Ответ:(Ωv⎛⎞P ≈ P0 ⎜1− 2cos ϕ ⎟ ≈ P0 1−7,5⋅10 − 5g⎝⎠Ω — угловая скорость вращения Земли.),- 37 -6.2.10. На экваторе на рельсах стоит пушка. Рельсы направлены сзапада на восток, и пушка может двигаться по ним без трения. Пушкастреляет вертикально вверх.
Какую скорость v0 будет иметь пушкапосле выстрела? Куда будет направлена эта скорость? Масса пушкиM , масса снаряда m , длина ствола l . Считать, что снаряд движется встволе с постоянным ускорением a .Ответ: Скорость направлена на запад, v0=Ω — угловая скорость вращения Земли.2mlΩ,M +m6.2.11. На сколько будут отличаться конечные скорости разбегасамолета, если самолет взлетает на экваторе, причем один раз егоразбег производится с запада на восток, а второй раз с востока назапад? Подъемная сила, действующая на крылья самолета,пропорциональна квадрату его скорости относительно Земли.Необходимая конечная скорость разбега самолета вдоль меридианаравна v0 .v02Ответ: ∆v ≈ 2Ω, Ω — угловая скорость вращения Земли.g6.2.12. Вращение Земли приводит к отклонению свободнопадающих тел (без начальной скорости) от направления отвеса. Вкакую сторону направлено это отклонение и чему равна его величина?Провести решение задачи в системе отсчета, связанной с Землей.Ответ:К востоку:Sвост =К экватору:13Ωt 3 g cosϕ =23S экв = 121 Ω 2t 4 g sin 2ϕ =Ωt h cosϕ ;SвостΩt sin ϕ .2- 38 -Здесь:h — высота падения,t — время падения,ϕ — географическая широта,Ω — угловая скорость вращения Земли.6.2.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
