А.П. Земляков, Ю.Ф. Мальцев, В.Г. Кузнецов и др. - Методические указания к курсу Механика (1111876), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Под каким углом α к вертикали надо произвести выстрелвверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из которой был произведенвыстрел? Использовать данные предыдущей задачи.Ответ: α=23v0Ωcosϕ ≈ 2,45 ⋅10− 4 рад ≈ 51 '' .gСтвол ружья надо отклонить к востоку.Ω — угловая скорость вращения Земли.6.2.14. Вращение Земли вызывает отклонение поверхности водыв реках от горизонтального положения. Рассчитать наклон поверхностиводы в реке к горизонту на широте ϕ . Река течет с севера на юг.Ответ:tgα =2vΩsin ϕ , здесьgv — скорость течения реки,Ω — угловая скорость вращения Земли.из ружья, закрепленного6.2.15.
На широте ϕ = 45oгоризонтально в плоскости меридиана, произведен выстрел по мишени,установленной на расстоянии l = 100,0 м от дула ружья. Центрмишени находится на оси ружейного ствола. Считая, что пуля летитгоризонтально с постоянной скоростью v = 500 м / с , определить, накакое расстояние и в какую сторону отклонится пуля от центрамишени, если выстрел произведен в направлении: а) на север, б) на юг.- 39 -Ответ:Ωl 2 sin ϕx== 1,03 мм ,vа) вправо;б) влево (на запад).Ω — угловая скорость вращения Земли.m = 184⋅103 кг движется вдольсо скоростью v = 20,0 м / с (72 км / ч ) на широтеОпределить горизонтальную составляющую F силы, с6.2.16. Электровоз массымеридианаϕ = 45o .которой электровоз давит на рельсы.Ответ:F = 2mvΩ sin ϕ ≈ 0,38 ⋅103 Н ,Ω — угловая скорость вращения Земли.6.2.17.
Небольшое тело падает без начальной скорости на Землюна экваторе с высоты h = 10,0 м . В какую сторону и на какоерасстояние x тело отклонится от вертикали за время падения τ ?Сопротивлением воздуха пренебречь. Сравнить найденное значение xс разностью ∆s путей, которые пройдут вследствие вращения Земли завремя τ точка, находящаяся на высоте h , и точка, находящаяся наземной поверхности.Ответ: Тело отклонится к востоку,x=23Ωh2h2h≈ 0,69 мм, ∆s = Ωh=gg32x,Ω — угловая скорость вращения Земли.7.
Принцип эквивалентности.Аналогия между поведением тел в гравитационном поле и внеинерциальной системе отсчета представляют собой содержание- 40 -принципа эквивалентности (фундаментальный смысл этой аналогиивыясняется в теории тяготения, основанной на общей теорииотносительности). Эйнштейн высказал предположение, что никакимифизическими опытами невозможно отличить однородное полетяготения от однородного поля сил инерции. На основе этого постулатабыл сформулирован принцип эквивалентности сил инерции игравитации. Согласно этому принципу, все физические явления воднородном гравитационном поле протекают совершенно так же, как ив соответствующем однородном поле сил инерции.
Еще разподчеркнем, что этот принцип относится к однородным полям. Еслиполя неоднородны, что имеет место на самом деле, то этот принципотносится к небольшим объемам пространства, в которых поля можносчитать однородными. В связи с этим говорят, что принципэквивалентности имеет локальный характер. Поле, получающеесяобъединением гравитационного поля и поля сил инерции, сохраняетпрежнееназвание—гравитационное.Напряженностьрезультирующего гравитационного поля равна векторной сумменапряженности поля сил инерции и гравитационного поля, т. е.rr rg эф = g + a .(8)Отметим, что наглядной физической основой теории тяготенияявляется закон равенства инертной и гравитационной массы. Это, посути, является следствием обобщения закона Галилея. Принципэквивалентности связан с законом равенства гравитационной иинертной массы, но с ним не тождественен.
Закон равенства инертнойи гравитационной массы имеет общий, но не локальный характер,тогда как эквивалентность между полем сил инерции и полемтяготения имеет место только локально, т. е. относится только к однойточке пространства.Применение принципа эквивалентности позволяет решатьдовольно большой круг задач, связанных с динамикой маятников,жидкостей и других систем в неинерциальных системах, заменив полетяготения и поле сил инерции результирующим гравитационнымполем. Удобство такого подхода заключается в том, что все основныематематические формулы в результирующем поле имеют такой же вид,как и в поле тяготения. В приведенных задачах и их решенияхдемонстрируется применение принципа эквивалентности.- 41 -7.1.
Примеры решения задач с использованием принципаэквивалентности.Пример №1Сосуд прямоугольной формы, доверху наполненный водой иплотно закрытыйr крышкой, движется в горизонтальном направлении сускорением a . Найти разность давлений на переднюю и заднююбоковые поверхности.Решение.1-й способ. Решим задачу в лабораторной системе отсчета.Выберем систему координат, какуказано на рисунке 15.
ВыделимaFF21а)столбик жидкости длиною ∆x исечением ∆S . Нrа столбик действуютДxrсилы давленияxДPсalб)OlРис. 15P1 − P2 = aρ∆x ,илиF1— слева иF2—справа.Уравнение движения столбикаимеет вид F1 − F2 = ∆ma , а т. к.то∆m = ρ∆x∆S ,F1 − F2 = aρ∆x∆S . Поделив на∆S , получим разность давлений:P1 = P2 + aρ∆x . На рис. 15б показаноxраспределение разности давления по длине сосуда.
Разность давленийна переднюю и заднюю стенки сосудаaиравна ∆P = ρal .в)aДP = сaДxДxxДPсalг)OlРис. 15x2-й способ. Решаем задачу внеинерциальной системе отсчета.Согласно принципу эквивалентностисилинерцииигравитациинапряженность поля сил инерции- 42 -будет направлена противоположно движению (см. рис. 15в). Разностьгидростатических давлений ∆P столба жидкости длиною x будетопределяться так же, как и в гравитационном поле, т. е. ∆P = aρ∆x .Причем давление будет возрастать в направлении напряженности полясил инерции (рис.
15г). На рис. 16 показано распределениегидростатического давления в покоящемся сосуде в поле сил тяжестидля более наглядной иллюстрации принципа эквивалентности.yДyghДP = сgДhсgh ДPРис. 16Пример №2В боковой стенке сосуда имеется отверстие, нижний крайкоторого находится на высоте h . При каком горизонтальномускорении a сосуда налитая в него жидкость не будет выливаться изотверстия, если в покоящемся сосуде (при закрытом отверстии)жидкость была налита до высоты H .бlaOal/2бHgэфgРис.
17hРешение. Задачу решаем всистемеотсчета,связаннойссосудом.Согласнопринципуэквивалентности в этой системедействует результирующееполеr rvтяготения g эф = a + g .Поверхностьжидкостиустанавливаетсяперпендикулярноvg эф . Угол наклона жидкости:- 43 -tgα =H − h 2(H − h)=.1ll2С другой стороны,tgα =a.gОтсюда получаем:2 g (H − h)a 2(H − h), или a =.=lglОтвет: Минимальное ускорение, с которым должен двигатьсясосуд, для того, чтобы жидкость не выливалась из отверстия:amin =2(H − h).lПример №3Определитьформусвободнойповерхностиравномерно вращающейся с угловой скоростьювертикальной оси Z в цилиндрическом сосуде.zщAбOgРис. 18xжидкости,ω вокругРешение.
Задачу решаем внеинерциальной системе, связаннойс сосудом. Направление осейкоординат и начало координатуказанонарис. 18.Согласнопринципуэквивалентности,aи = щ2x поверхность жидкости в окрестностикоординаты Z перпендикулярнаvgэфg эф . Т. е. касательная в точке Aперпендикулярнауравнениеvg эф .поверхностиЕсливращения- 44 -записать какZ = Z (x ),то по определению касательнойгде α — угол между касательной в т.С другой стороны,dz= tgα ,dxA и осью x .aи ω 2 xtgα ==. Здесь aи = ω 2 xgg—ускорение сил инерции.dz ω 2 x=dxgТ. к.z=ω22gилиdz =ω2gxdx ,то после интегрирования:x2 .Ответ: Форма поверхности — параболоид вращения,z=ω22gx2 .Пример №4На рельсах стоит цистерна сферической формы, заполненнаяжидкостью плотности ρ .
Радиус цистерны R . Цистерна начинаетдвигаться с ускорением a . Найти гидростатическое давление в центрецистерны.aиgэфOбgРис. 19aРешение.Задачурешаемвнеинерциальной системе, связанной сцистерной.Согласнопринципуэквивалентности,результирующаянапряженностьполятяготениявнеинерциальной системе представляетсобой векторную rсумму напряженностиполя сил тяжести g и поля сил инерции,т.е. :- 45 -rr rg эф = a + gилиg эф = a 2 + g 2 .В этом случае точка A будет высшей точкой, в которойгидростатическое давление будет равно нулю.Гидростатическое давление в центре будет равноPO = ρg эф ⋅ OA = ρ a 2 + g 2 ⋅ R .Ответ:PO = ρ a 2 + g 2 ⋅ R .7.2.
Задачи для самостоятельного решения.7.2.1. 1) На тележке стоит стакан с водой. Тележка движется вгоризонтальном направлении с ускорением a = 0,5 g . Какой угол сгоризонтом составляет поверхность воды?2) На гладкий закрепленный клин с углом ϕ поставили стакан сводой. Какой угол с горизонтом будет составлять поверхность воды встакане?Ответ: 1) α= arctg 0,5 ;2) α=ϕ.7.2.2. Цилиндрический замкнутый сосуд, наполненный водой,закрыт сверху пробкой. Какое ускорение в горизонтальномнаправлении вдоль оси цилиндра нужносообщить сосуду для того, чтобы пробкавылетела.
Пробка выдерживает давлениеx0,05 атм , а расстояние отверстия отcbодного днища составляетРис. 20Ответ: 1)a = 0,5g ;другого2)l = 0,1 м .a = 5g .b =1 ми от- 46 -LL/2с12LAL/2aс2L4L7.2.3. Сосуд,имеющийформу, изображенную на рис. 21,наполнен до половины высотыртутью, долит доверху водой иплотнозакрыт.Определитьдавление в точке A , если сосуддвижетсягоризонтальносускорением a .Рис. 21Ответ:а) еслиб) если⎛g⎞a 1< , PA = Pатм + ρ1 gL + ρ 2 L⎜ + 2a ⎟ ;g 2⎝2⎠gLa 1> , PA = Pатм + (ρ1 + ρ 2 )+ ρ 2 a3L .2g 2cybсaAxРис. 22Ответ:1)2)3)7.2.4. Сосуд, имеющий форму,изображенную на рис.
22, доверхузаполнен водой и плотно закрыткрышкой. Определить давление в точкеA , когда сосуд движется с ускорениемa . Рассмотреть все возможные случаисоотношений величин ускорений a иg : 1) a > g ; 2) a = g ; 3) a < g .PA = ρg (y −b)+ ρax ;PA = ρgy + ρa(x −c ) либо PA = ρg (y −b)+ ρax ;PA = ρgy + ρa(x −c ).- 47 -7.2.5.
Цистерна, наполненная жидкостью плотностью ρ ,движется со скоростью v0 . Затем цистерна тормозит, и, пройдя путьS,останавливается. Найти силы давления жидкости на переднюю изаднюю стенки цистерны во время торможения. Цистерну считатьпрямоугольным параллелепипедом длиной l , шириной b и высотойh.Ответ:ρbh ⎜⎛⎛v02l ⎞v02l ⎞bhρ⎜ gh − ⎟ .PП =gh + ⎟ , PЗ =⎟⎜S ⎠S ⎟⎠2 ⎝2 ⎜⎝7.2.6. Цилиндр, наполненный водой, закрыт со всех сторон. Внем находятся: пробка, кусочек свинца и некоторое тело A , плотностькоторого равна плотности воды.
Цилиндр приводят в быстроевращение вокруг его оси. Как будут расположены тела в цилиндре,если его ось вертикальна? Произвести необходимый расчет.Ответ: пробка — у оси цилиндра вверху, свинец — у стенкицилиндра внизу, тело A — в любом положении.ADOCРис. 234.2.7. Сферическая полость радиусаR (рис. 23) наполнена водой и плотнозакрыта. Определить давление в центреполости,атакжевкрайнихгоризонтальных и вертикальных точках,Bкогда сферу перемещают с ускорением aгоризонтально.aУказание. При решении задачииспользовать тот факт, что линии равногогидростатическогодавленияперпендикулярнынаправлениюэффективного гравитационного поля.- 48 -Ответ:PO = Pатм + ρR a 2 + g 2 ;PB = Pатм + ρR⎜⎛⎝PD = Pатм + ρR⎜⎛⎝PC = Pатм + ρR⎜⎛⎝PA = Pатм + ρR⎛⎜⎝7.2.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
