И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 24
Текст из файла (страница 24)
° ) ло!. Х= / (! — —,„,— ог!),;,-+-, -)! ...„тч.„ .) (, * ° *) )!.ч) оси Оу, < В силу равенства Э/ у' у') Ой.у у у1 2у у у', у — 1 — — соз — — — !1о1в — + соз / = соз + о!в —, ар (л з х/ Эх ~ х х ' х/ = ...,з можем применить формулу (А), в которой иитеграл по перемеииой у равеи нулю (таь как путь иитегрироваиия параллелен оси Оз): г я х1 ! = )! (! — -) ! - (* ! .
ч -) ! В примерах 152 — ) 56 будем иаходить первообразвую функцию по известиому ее дифференциалу ыо, пользуясь ири атом формуламп (6) и (7), п.4А. или видоизмевив их. например. иногда вл!есто формулы (6) бывает полезна формула з ы в(х. В) = / Р(!. О) Щ + ~ )О(хо, 1) ЛГ + С. (в) Уо если путь из точки (хо, уо) в точку (х. о) юобраи о ввле ломавоб.
состоящей из отрезка. парзл- лельиоге >си Оо и отрезка. иараллольиого сн Ог (рис. 1 ). 1!, а) х !(у — у йх 150. 1 = г вдоль путей. ие пересекающих биссектрису первого коорди(х — у)з )а. -П иатиаго угла. ° Здесь Р(х. у) = — ф-) —,, я(х, у) = з г, о Е = з = — 2"т, и мы убехсдаемся атом, что подыитегральиое выражение является полиым дифференциалом некоторой функции во всякой одиосвязиой области. содержащей точки (О, -1), (1, О) и ие содержащей точек прямой ; = ((х, у) Е И~ ! у = х). Применив формулу (А), получим 14. Иитетркроваине иа хиотообразияк 169 Найтк первообразиую функцию в, если: 152.
6з = (х +2ху — у )(!х+(х' — 2ху-У )(!У. м Применим формулу (6), пА.4, взяв ха = О Уо = О. Получим (*л)=Уза,У(' — 3 -Р(ю,а- а о з уз +,'у- ху' — — +С. (в 3 3 (ха + 2ху+ буг) ((х+(х — 2ху+ у ) ~у (х + у)з < Применим формулу (В) считая, что хо = О, Уо За О— любое фиксированное. Приняв во внимание равенства Р(х, У) = — + з, 1З(х, У) оа з, 1 4 уз (х — у) = +у (х+у)" ' =(+у)" получим Ркс. 1Т (х, у) = ) ~~ — + — ~) 61+ ~ — + С = (~!+у (!+у)з) / З зо = !з )я+у! — !з)у) — +2+!и !у(-!з)уо)+С = !з (я+ у! — +Сг, С( = сааза. м 2уг 2 уз (.
зс )г (х+ у)' 154. (!з = а (а" (х — у + 2) + у) (!х + а* (о"(х — у) + 1) 6У. ч Применим формулу (6), п.4.4, подагоя хо = О, уо = О. Получим (о (о (*, (=!( з+ (з ° ")(а(.-(+ ( + -(+и"~ +:("( — +и+(~ +- о о а а не +з(х — у+1)+а у+С(, С( =С вЂ” 1. в Найтк первообразную фуикпкю н, если: 155. йи = (х — 2ух)(!х + (уг — 2хх)(!у+ (зг — 2ху)(!х. М Записав (!ги в виде г г г 'х +у +з ('з з з Их+ У (!у+х (!з — 2(у*(!с+ хо(!у+хубх) =(! ~ 3 — 2хуз имеем са(х, у, з) = -(х +у +х ) — 2хух+ С, С =сааза. 6ь з з з 3 156.
6н= 1--+- 6х+ — + —, 6у ) ~ ") о о (..и..(-~(ь- — + — )з а! ( — ~-)а-1 — а~а, а М Вмре(кение и является полным дифференциалом в любой области, не содерхз(пей качана коордикат и точек плоскостей хОУ, хОх. Применив формулу (Т), пА.4, получим 1то Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы где (хз. уо. зз) — некоторая фиксированная точка, С = сопзы 1Интегрирул, находим 1 уз ~ / 1 уо) ху х хуз х ху ху ы(х. у, г)=х 1 — — + — — хе 1 — — + — ) + — — — — — + — + — — — +С.
уо хз ) ~, уз хо ) га у хо уо г ло Взяв, например, хо ж уз ж го = 1! получим х ху ге(х, у. х) = х — -+ — +С!, С! = сопзп > у 157. Найти работу. производимую силой тюкести, юзгда материальная точка массы пг перелгещается из полол!ения (хг, уг, х!) в положение (хэ! уэ, хз), Ось Ох направлена вертикально вверх. < Сила тюкести есть вектор †функц Р ж (Р, 0! Рь) = (О! О! -гпд), где д — ускорение свободного падения! а выражение Р Нх + 0!1у + К!1х ж — пздйх является полныл! днфференциалолг функции и = -гоуз.
Поэтому работа силы У по перемещению материальной точки из положения (хг! уг, х!) в положение (хг, уз, хг) не зависит от формы траектории и равна величине 1 з,эз,зг) А = Розх +Яг1у+ Аозт = и(хэ, уг. зз) — и(х!. уг, х!) = -пгд(гг — гг). > 1*! э! *!1 158. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалемию материальной точки от начала координат, если эта точка списывает в направлении. иротмвоположнолг коду часовой стрелки, положительную четверть хэ уз эллипса; = (х.
у) Е И ! — + — = 1 лз $2 м Пусть М = (х, у) — произвольная точка па кривой; !. положительной четверти эллипса ",, а г =,/хэ + уэ — расстояние от этой точки до начала координат. Тогда упругая сила Р, направленная из точки М в начало координат, имеет внд У(х, у) = рте(М, О) ! где д — некоторая постоянная, е(М, О) — орт, направленный из точки М в начало координат. Поскольку е(М, О) = — —,, где г = (х! у) — радиус-вехтор точки М, то Х(х, у) = -дг = (-дх, -ну). Значение работы А найдем, вычислив интеграл Л = — д / хйх+у!гу= — — о(х +у ).
г( э! Как и в предыдущей задаче. работа А не зависит от формы траектории точки и равна разности змачений потенциала н(х, у) = — «(х + уэ) силовой функции Х в точках (О, З) и (и. О): А= — — (Ь вЂ” а ). в д з 2 » 159. Найти работу силы тяготемия )Х( = —, где г = хэ+уэ+лз„действующей на гз ' единичную массу, когда последняя перемещается из точки М! = (хг, уг, л!) в точку Мэ = (хэ, уз, гг). М Сила тяготения У является центральной а!пой; поскольку ее линия действия проходит через начало координат. Поэтому можем ее представить в анде Р= — е(М,0)= — — ' ж-»~ —. —.
— ), 1» г(ОМ) гх у хт г 1гз' „з гз) ' ГУ2 Гл. 2. Кратные и яриволпнейиые интегралы Окончательно получаем л = «(1+ л/2). л» ГГ а'а 162. 1 и 0 — где Я вЂ” поверхность эллиисонда с полуосями я, 6. с. а б — расстояние 0 л ' от центра эллипсоида до плоскости, касательной х элеыенту Ыо поверхности эллипсоида. М расстояние б определяется формулой б = х соь О + у соя р + х соя э.
где соха, саад, сол Э вЂ” направляющие хосииусы внешней единичной норлшли и к поверхности эллппсоида в точке (х, у, г). Запишем параметрические уравнения поверхности эллипсаида в виде х ю а зш В соь р, у ««Ь ьлл В зш р, г ь«с соя В (О ( В < т, О ( л«< 2«). Применим форыулу (9), п.4.3, полагая там и = В, л = л«, б1схадя иэ симыегрии. мохсен написать равенство 51 где Ял — васьыая часть поверхности эллипсоида, леясащая в первоы антанте.
Если (х, у. «) б 5л, то 0 (~ В ( <$, 0 < р ( <-'. Вычлгслплг направляющие косинусы вектора внешней единичной нормали п в тачке (х, у. -) б Ял ~ д5л. где дал — край поверхности ал. Для этога найдем Р(у, х) Р(х, х) Р(х, у) Р(В, р) ' Р(В, р): Р(В, р) Писем А = бсыл Всеь р, В = ясьглг див лг, С = ьбьш ВсозВ. Тах как С ) 0 при 0 < В < -' и указанный вектор единичной нормали и в кюкдай точке г множества Ял ~дЯл образует с положительныы направлением оси Ох острый угол, то соь Э > О, следовательно, А "т=й«»т*»с "'«=~+« »~Э': "л=~ »в*.С Залгеиив поверхностный интег ал соответствующим еллл двойным, получим, приниллая ва вниыание, что ьЯ = Аз+ Вг+СгВВНль, Аг+3г+Сг '=' ) Ах(В,р)+Ву(В,„)+С,(В,,)"" =П и где й = ((В.
р) б бб: О < В < —, 0 < Лг < —,). Сделав элементарные преобразования, находим Ах(В, р) + Ву(В, лг) + Сх(В, ль) = ьбсгйо В. А +В +С =Ь с мп Всоз у+о с з1п Вз!и у+и Ь ьш Всоз В= гг л г гг л г гг.г г г г г . г зш Всаз р мв Взбл ьг соь В г г г " г г =ьЬсяш В г бг я Ьг сг Окончательно имеем / . „~ ~ б»злпгрсозглг зшгВзшглг созгВ '1 ь ь = вяб» / ~- ~ — + — ) ьлэ В+ — соз В) мп В еВ = г я г (,4 ~аз бг) 2сг ь $4. Интегрирование иа многообразиях 129 На Я, и Я, выдовняетсз равенство ИЯ = ийхду, в силу чего первые дза интеграла в о~алой части равенства являются двойными интеграламн в замкнутой области 0 = ((х, у) Е К: хэ+у» йс~). Принимая во внимание равенства и( = О, н! = Н, получим ~(х'+ у'+ ) 4Я+ Ц(х'+ у'+,') 4Я = =Д~(и[ 'и,чин) и,и,= ии'и~Д~( 'и '~и и,.
Переходя к полярным координатам, находим 2Дт'ит)и и (и (/и = т. и а а На Яз выполняются равенства х + у = йй, ЫЯ = и . причем Ян проектируется на 2 2 э П!ини Лэ ни' прямоугольник йии — — ((х, н) Е м~: (х(»» Л, О ( и» »Н), в силу чего имеем л и и дО „тит.)иили/ ° (и* Н~„згии(и.,и*)1 хи -н о а тх 4ййН Н + — ) атсзт — ~ их 2лКН ~ Л + — ) . З) Н!э (, З) Складывая полученные равенства, окончательно находим й (Н(Н+ Н)э + 2Нз) 173.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
