И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3 136, Найти моменты инерции относительно координатных осей одного витка однородной винтовой линии з, ; = ((х, у. х) б И: х = а соз !. у = азьп !. х = —, О < ! ( 2л (, 2х' Ч Обозначив через т, тт, т. расстояния от точки М = (х, у. х). лежащей на однородной кривой -ь, до соответствующих осей координат, моькем написать формулы для вычисления моментов инерции; 1 = /т~а1, 1„=~от!, 1,= ~тза1, » Воспользуемся очевидными равенствами т = у + х, то — — х + х, т, = х + у; следова- л 2 2 2 2 з 3 х 2 о 2 ° 2 л ь 2 3 2 л ь 2 о тельно, т, = а нп !+ —.т, тг ж а соя г+ --~-, т, ж а .
Поскольку ь!1, 2ьт то о (('сг ' ) =( — 'Ь вЂ” )Л о 144 Гл. 2. Кратные н нриволннейиые интегралы 2 1 1 сову соя 212 сох ир 1 4'г = — 11 (1+ — + — + ... + — + ...САУ = —, 1 'л о о а" l о ' о 1(о.) = 4х 1п и + С, С = 1(1) = О, 1(и) = 4т 1и а, и(х, у) я — 2хЯк 1п Я вЂ” 2хВк!в — = 2зЯк 1и —. > р 1 Я р Вычислить следующие хрнволинейные ггнтегралы второго рода. взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра; 138. 1 = (х — 2ху) гСх+ (у — 2ху) Иу, где г = ((х.
у) б И~; у = хз. )х( ( 1). ч Воспольэуелщя формулой (7), пА.З. где роль параметра с играет переменная х. подставляя в подыитегральное выражение у = х о Иу = 2х ССх, получаем лгнтеграл Римана 2 1га (х — 2х +2х — 4х )ах = — —. > 1 2 з л о 14 15 -1 139. 1 = (2и — у) Нх + хну, где ", — арка пихлоиды, заданной уравнениями х ох а(С вЂ” яп С), у = а(1 — соз С), О ( С ~ (2т.
ч На кривой т выполняется равенство (2а — у) Ых + хну = (2а — а(1 — сов г)) й(а(С вЂ” яп С)) + а(С вЂ” яв С) а(а(1 — сои г)) = а Сз!а СССС. Применив формулу (23), п.4.3, получим 2е 1 = и / Со1пСМ = иэ (Ссозг( +з!и С (о ) = — 22га . И о 4х+Ыу 140. у (х) + )у)' , где АВСВА — контур квадрата с вершинами А = (1, О), В = ЛВСВ С (О,Ц, С=(-1,О),В=(О,— Ц.
Ч Из свойства аддитивности хриволннейного интеграла следует равенство С' Нх+гСу С 3х+Ыу С ССх+гСу 1 гСх+сСу l 1*~+Ь('.( (*(+Ь~'./ ~*(+(у! './ (*(+Ы ЛВ ВС СВ ВС На отрезках АВ н СЮ выполняются соответственно равенства х+у = 1 и х+у = -1, Нх+ ССу = О, откуда следуез. что хриволинейные интегралы на этих отрезках равны нулю. На отрезках ВС и ЮА соответственно имеем у — х = 1 и у — х = — 1, Ну = 4х, (х(+ (у! = 1.
Если (х, у) б ВС, то х убывает от О до -1, если (х, у) б ЮА, то х воэрасгает от О до 1. Следовательно, -С 1 х 2/2 + С' 2 — 2+2 о. ° 141. Доыазать, что для криволинейного интеграла справедлива оценка Р(х, у) ах +С1(х, у) Иу 1* Интегрирование нк миогообрааких г — в г ° х ьндюГ+сч* е 1в, в)ач м Вез ограниченна общности можно счктвть крквукг у главкой (если т — кусочноглвдква криваа, то интеграл можно представить в виде суммы интегралов по гладким кривым). Согласно определению криволинейного кктеграаа второго рода, имеем Рбх+Ябу м ~(Х, т) 41, l где Р = (Р, 9), т — единичный касательный вектор к кривой т. Из оценки ~(Х, г) ~ < ~Г! = 1/Ф + 11г получаем неравенство Р«х+ Я«у ( Рг(х, у) +Чг(х, у) 41( щах Рг(х, у)+ Чг(х, у) й = ЬМ.
> (в у)ач 142. Оценить интеграл 1к =, где т = ((х, у) Е Ы: х + у = К ), 1 (хг+ ту+ уг)г ' Доказать, что 1пе 1к = О. и +ю Ч Длл оценки интеграла воспользуемсз неравенством, доказанным з предыдущем примере. Здесь г -х (з~ у) ( г+ + г)г~ Я(хг у) ( г+ + г)г /хг .~. уг ~по,юТхе~.з-, Следовательно, 1и ( 2хК щвх ,/вг~„г Осзгаг Г*+-з+г1 Приняв во внннакке параметрические уравнение окружности х = Ксозм, у = Козе, О ( гг ( 2х, получим оценку ,~'г 4.уг 1 4 лгвх г г г — — гках Оьэ)ег(х +ту+ у ) зсвсг к (1 + Яви созв) к которая следует из неравенства 1 4 ~( 4, О ~ р ( 2в'. в+.
° ° г огътР Окончательно получаем оценку (1л( ( -т, кз которой следует предельное соотношение йш л = О. ° и +юв Вычислить криволинейные интегралы второго рода: 143. 1 = / (у — з) бе + (х — х) бу + (х — у) бх, где т — окружность, получеинаа в гвезуаьтате пересечекиа сферы я = ((х, у, з) Е Йз г хг+у +зг аг) и плоскости Яг, заданной уравнением у = х гбо, нробегаемвл в иаправлплии против хода часовой стрелки, есаи смотреть Рпс, 1$ со стороны поаогкитеаьных х.
м Окрхкогвсть т с центром в иачвае кооРДниат «еипгт в паосаости 8г, и ее рахите раасн е. Пусть Ф вЂ” угол мелцгу радиусом окружности н пуамей, Мгца«пей уравиепниык У гв х гб в, х ж Гл. 2. Кратные м крмвелимеймпы мптегралы 166 О (рис. 16). Тогда можем нараыетрмэовать окружмость т сладуюпнзы обраэоас а ыасоепсоер, у=еыаосоэр, з ы ааир (О 4 р 4 2з ). Прмводя криволинейный ммтеграл а нмтегралу Рмыаиа, получим г 1 = а з~(созо — маа)Нр = 242та юа (- — и) .
р 14 Р изкодиы 2 1 = а 1з (юа р — 2 ма р) Ыу = з Г ° з ° з з(В(1 2),й(1 б)) з(т ут) та 145. 1 = („',') бл+ (,' — а*) ~(у+ (а' — у*) бз, где т — контур, который огвзаиичнвает часть сферы Я = ((я, у, з) Е Кз: лз + уз + з = 1, з ~ )О, у ) О, з ) О), пробегаеыый так, что вмешиял сторона этой поверхности остается слева. м Представим интеграл иа ориентированной кривой в вмде суммы интегралов мо орнентированмыы кривыы тзч у 1, 2, 3, аежбзпнм в иоордмматнык нлосаастик [рмс. 16). Каждая ири„эаа тз представляет собой чепэерзь Рнс. 26 144. 1 = ~ уз ~Ь + зэку+ зз ~Ь, где т — часть кривой Внвиаим у = 8, й Яз, Я, = ((с, у, з) Е К; з + у + зз = а ), яз = ((з, у> з) Е К*: аз+ уз = ас), з ) О, пробегаеызл против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части (з > а) оси Оз. ч Переходя к полярмыы коордмиатам, получим уравнение кривой Внамьмн в анде 3' зд р=асозр, з= 1)аз — рз (- — ~(р«( — ~. Прннммал во вимманме зто уравнение и зыбмрая в качестве параметра полярный угол зз, имеем з l з = а соз р, у = ампесоззз, з = а~наьз~ ~(ф ( -~ .
2) Для вычисления крмвоаимеймого интеграла 1 приведем его к интегралу Рнмама, вычисаив зиачемме аодыктегрального выражемня в точкзл параметризованной кривой т. Получим бт и -2ама рсоа р бр, Иу = а(сыР р - мвз р)Ир, Ыз = збп р(а соз р)бр, р -„З О, уз бз+ ззбу+зз 3з = аз(-2з1азрсоаз р+з~пз и — 2ыаззз+эбвззсозззз)бр, зз зз О. Принимая во викыаиис равенство з з (-2 нвз р созе Зз+ збв р ссез р) Иьз = О, х = сов(о, у ж 21п ьо (О к (и ( — 1 ! 2/' получим 2 2 l г 2 1 з э 1.з 4 о(х — * Ну = — (з!в со+ сох )о)!((о = — 2 ззв ро((о = — —. 3 л 'и о о Вполне очевидно.
) и = ) о! = 1' ы = — —. Следовательно. 1 = 3 ) ы = — 4. )ь о 'и о! Прп решензш примеров 146 — 151 будем пользоваться независимостью криволинейного интеграла второго родя от выбора пути интегрированна. соединяющего две точки, если подынтегральиое выражение является полным дифференциалом некоторой фуикиип в односвязной области Р, содержащей кривую.
ио которой вычисляется интеграл. Если известна такая функция и. что о(а = Р !(х+ О !(у, то можем сразу написать (з1, ю) 1( ! о!) Р!(х+()!(уж о(х.у)~ = а(х!у1) — и(хо. уо). (зо,хо) (зо Оо) Если впл фушппш о нам неизвестен и в данной односвязяой областл Р выполнено равенство ео е = .й-. то, пользуясь свойством независимости криволинейного интеграла от выбора пути е у интегрирования пз точкп (зо. уо) в точку (х1. у1), лежащего в Р, будем брать в качестве пути ломаную, состояппю из отрезков прямых, параллельных координатным осям П не пересекающих гранину области Р.
Тогда. в силу того что !(у = О. если у = уо, и !(х = О. если х = х1, получим формулу (з!. и) рд +() у= ~р(.уо)л-+~4)(.1.у)лу. (А) (зо Хо) зо Ыо Вычислить следующие криволинейные интегралы: (з, -о) 146. 1 = х !(х + у о(у. (о,м и Поскольку хат + уеду = -' !((х~ + уз), то !(з. -1) 1=-(х +у)~ =12.> 2 ~(е, П (1. 1) 147. 1 = / (х — у)(!(х — !(у). (1, -1) < Вз равенства (х — у)(!(х — о(у) = (х — у) !((х — у) = - о((х — у) получаем 2 ((1 1) 1ж (х-у) ' ' = — 2. > 2 (1, -1) (1, 2) 1 у!(х — хо(у 148.
хз вдоль путей, не пересекающих осн Оу, (2. !! 14. Ииъегрировазпге на многообразиях 167 окружности радиуса 1 с центром в начале координат. В плоскости хОу выполняются равенства х = О, йх ш О, в силу чего на кривой 1 подынтегральиое выражение и принимает вид о! = уз о(х — хз !(у. Записав параметрические уравнения кривой Т! в виде 165 1'л. 2. Кратные и криволинейные интегралы ы Здесь Р(х. у) = ~»", ч)(х, у) = — —. х ф О, позтоыу е = е„= -о..
Следовательно, в любой одиосвязиой области, ие содержащей точек оси Оу. подыитегральиое выражеиие является полным диффереициалол! некоторой фуикции. Применив форл!улу (А) ! получим ! 2 ГЬх Г З Уы ( — — (Иу=--,» /хз ) 2' з ! 1о. з) х !(х + у йу 149. 1 = ~ вдоль путей, ие проходящих через начало координат. / /г2 .) уз (л, о) ~ Посколько = г) (Лг хо 4- уз), то з 4*+О Ся !)о, з) хз 4. у ' ' = О. » <!.о! ! о — 1 )2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
