И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 18
Текст из файла (страница 18)
получим Гл. я. ЬСратнвге н крнволииеииые интегралы 124 1 1 Ьг = -аЬс/ соз рюв рдр рят1 — р" Мр= В ~-, Ч ртГЪ вЂ” р" вр. в / / Н '1В В/ / о о о 1 В интеграле 1 ж ) рффи: ре Ыр заменим переменную по о 1 формуле р = 1» . Тогда 1 (1 — 2) И = -В (-, 1+ -) . в/ и '1П Н1 о Окончательно имеем Гз (Ч Применяя формулу (4), п.З.», найти1 77. Площадь поверхности тела, ограниченного полыми цилиндрами Рвс. 20 З1 = ((х, у, я) 6 ЬС 1 х + я ж а, у Е ЬС), »2 = ((х, у, я) Е ЬЬ : у + 2 = а , х Е 1Ц. О = ((х, у) Е ЬЬ 10 ( х ( а, О ~ Ку ( х), позтому Р = 16 1+ я* + зя Ю ц я, ~ах, Поскольку 1+ з» + я» аз ~/2 2 р р » а Р 16а Ну — 16а 16а 1~ аз — 2 — 16а / ° -* l / ~=г о о о 78. площадь части сферы о = ((х, у, х) е 11~ 1 хо+ уз + 22 = аз), заключенной внутри цилиндрической поверхности з,х у огж (х,у,з)ЕЙ'1 — + — ж1,ябй, Ь(а.
аз Ьз е Цилиндрическая поверхность, пересекаясь со сферой, вырезает из иее симметричные относительно,нлоскости КОу куски, калщый из которых рассекается координатными паоскостями КО» н уОх на четыре равные части, Прн я ) О имеем р,з а 1+х» +хо 2 з 2' а — х -у ° Из рис. 1О видно, что — часть поверхности тела, образованного з результате пересе- 1 чення двух цилиндров, проектируется в плоскости хОу на множество ~ 3. П, о- ение кратньгк интегралов к рещеиию задач геометрии н физики 123 Согласно формуле (4), п.3.2, получаем ь)/'л- ——,, »гх л ж 8а !(х о» вЂ” х» — У2 У о ໠— х — у 2 2 » х» — <1 «» Ь» во,хво / 2 х ь 6 2 йх = 8а агссйп —. Ь е о 79.
Площадь части поверхности еж= ((х, у. 2) Е И: — у) ° И»: х» = 2х 1, отсекаеыой плоскостями. »аданнылги уравнениялги х + у = 1. х = О. у = О. е Дифференцируя левую и правую части равенства х — 2 у, у а = 2х, пол 'чаем 242 = у Нх+х!»у. ОтКУДа Х,=,Х»=, Х ХХ,' З 2 Приннлгая во внимание, что точки поверхности 5 симлгетричны относительно плоскости хОУ и что верхняя ее часть относительно атой плоско р ости п оектируется на ыножество Р = ((х, у) Е И: О < х < 1, О ~( у ~< 1 — х), находил! ! »-х г / Рж2д 3~3 =л/2 ~»гх/) (х2У 2+х 2У2) 4уж и а о )(-' -' --' -' 3 3 1 13 3 2 2 ! ! « "'(~ ! )! =2 ( (-.-) ! (»»)) ь Г»(з) 1 Г(1) Г( ) Г () т Г(3) 3 Г(3) ) л/2 ъ/2 Р = 4»/2 Д вЂ” —. 80.
Площадь части поверхности о = ((х, у, х) Е И: = л/ + у 1. рз х — . /х2+ 21, заключенной виутр~ з, полого цилиндра 5! — — ((х, у, х) Е И: х + У = 22 х е И) ° ПовеРхностзь площаДь котоРой тРебУетсЯ опРелелить! выуезаетса ЦилинДРом ! из конической поверхности . Цилиндр 5. Ц Я пересекается с плоскостью хОУ по окружности ; = 11х, у! с .
лх — ! у - = ((х, у) с И»: (х — 1)2 + уз = 1), которая является краем компакта Р— круга радиуса — 2 2 1 с центрол! в точке (1. О). На поверхности о имееы х = »„/х» + ух, поэтолгу х = —, хх —— ,2»+зг В 81. Площадь части Я! поверхности 5 = ((х, у, х) Е И Из х = . /22 — 2)» заключенной внутри полого цилиндра 52 — — ((х,у,х)ЕИ:(х +у) =е (х — У) хеИ). ч Цилиндр 52 вырезает из конической поверхности 5 симметричные относительно плоскости УОх и равные ыежду собой куски, а — часть поверхности Я! проектируется в плоскость хОУ на замкнутую область Р ж ((х, у) Е Из; (хз+ух)2 ( а (х»-у»), х ) О, у ) О).
Поскольку то для рассматриваемого случая 1+ х' + хз —— , то 139 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы плоскость хОу является окружность г = ((х, у) Е 'я~: х + уг = 4). Следовательно, множество точек тела Т имеет вид Г=((х,у.х)ЕЬЬ:» +у (4.;/я~+у~ <г(б — х — у~~, В интеграле 1' = Шах йу Их перейделз к цилиндрическим координатам и заменим тройной т интеграл повторным. Принимая во внимание симметрию точек тела Г относительно плоскостей хОг и уОх, получим з г г з р г г 32 6 =~~з,),з~ )' «=«)',о- — «з,- —.. 3 о о 9) ( г 1 г 1 г)г г( г 1 г г) я Точки тела Г силзлгетрнчны относительно всех коордпнатнык плоскостей, позтому в первом октанте находится его — часть.
Переходя в интеграле У = 0) ат ау а» к сферическим 1 т координатам по формулам (У), п.1.8, получим о /- оооз го з 1' = 8 ( зол уйд / ~бр З~ р Нр= — яиВ(ъ/ — соз28)з гИ. 3 / о о Полагая в интеграле -' — д = 1, находнлг з а(япг) — — ( (1 — 2о ) г 0а, 4за г 3 о 4ггаз г 3 4 таз г 3 Г = — / созгсозг 2141 = — / (1 — 2згл 1)у 3 / 3 / где а = ил 1. Замена переменной чг2а = яи з приводит к интегралу г 1г = — 1 соз х Нх = — В ( —, — ) = —. 1« ЗлГ2 ./ З~/2 ( 2 2 У 4л/2 о г г г' 92. ( — "+ "— + — / ж —, а > О. Ь > О, с > О, Ь > О.
1аг Ьг сг / Ь э ««зсозе « г л 1г = Ц~ Нх Иу Нх = аЬс З~ з1п д Нд / Нло З~ р гор = т о о 'Ь аг 6г сг у' аг Ьг сз або Г.г яа 6с — ~1 х ОЗО 1 вийя= —.и 36 / / ЗЬ а Для вычисления объема тела, ограниченного данной поверхностью, удобно перейти к обобщенным сферическим координатам, полагая в форыулах (9), п.1.8.
а = Д = 1. Тогда О' < 8 ~ (т, — г < и < — (так как х > О). Принимая во внимание, что О < р ~< г з «аз Осоз т гиз, з.*з = аЬсрг з1п 8, илгеем л э<по,т) 13. Приловтенпе кратных интегралов к реьнению задач геометрии и фиан и 131 ч 14з уравнеющ границы тела Т видно, что его точки симметричны относительно каор. дпнатных плоскостей, поэтому - Я»*е«*, т' где Т вЂ” восьмая часть тела, лех«ащая в первоы октанте. Заменим в этом интеграле переыенные по формулам (9), и.1.8, полагая в них о ы В = 1.
В сферических координата~ уравнение граннцытела прнниыает вид р ж з1л д — соз д, откуда заключаем, что «( д ( —,, 0 ( ь«< -'. 2 2 2 После замены переменных и перехода к повторнолгу интегралу получим ° ~»* з-«»ы а Ь = .Ь,)' »«»а (» р'др»» а 3» < ь з 4 / з - 4 / з = -хаЬс мид(1 — 2соз д) з дд = -таЬс ~ (1 — 2соз д) з д(созд). 3,/ 3 зя « » « Пронзведеы в интеграле замену ь/2 созд = ыв Ь.
Тогда 3 ! ь 4 /1 51 х 1«»х — таЬс г соз г«/ь = — хаЬ«В ~ —, -) = — аЬс. ь» Зь/2 2/ 3,,/2 2' 2 2«/2 з ха уз Т= (х»у»х)ЕЬЬ:(х.у)ЕЮ,с — + — ) <х<с 1 э з 2 Ьь а' где .Р ж ) (х, у) к И ь » + ~~ < ~~ В интеграле - Я«.«.«. т целесообразно перейти к обобщенным цилиндрическим координатаы по формулам ь/5 — 1 ь/5 — 1, / ад ьг —,„=Ьц — ', = ( «-~. ь»- Тогда ~р~р' .',1 = — (~5 — 1)р. Принимая во вилл~ание симметрию точек тела относительно плоскостей хО» и уОх.
после замены переменных и перехода от тройного интеграла к х' у' х' х' 94, — + — + — =1,— + — =-. аз Ьз сз аз Ьз с ° Найдем уравнение проекции на плоскость »2 ные поверхности. Для этого подставньг — = — , «» » Решив полученное уравнение относьпельио «+ теио Т представлкет собой множество точек хОу кривой, по которой пересекаются дан+ Гьг в уравнение поверхности эллипсоида. »' »«ь-ь $, нььеем -,т+ гь = —, Таким обРазоы, б 3. Прилоисение кратнык интегралов к решеииго задач геометрии и физики 133 перейдем к обобщенным сферическим координатам по формулам (9), п. 1 8, полагая в них о = д = 2.
Из условия -„*— 3» ) О получаем неравенство '*'" „" " — -'-'Г "— » — "" — к ) О, откуда О ~< и ~ (агс»8 э» — „. После замены переменных в тройном интеграле перейдем к повторному интегралу. Получим у» аооов Э/— ~/ ьл 1оэь~оРа ьп он о 7 1 = 4аЬс / сйпэ д сов дед о впа ьо сов Ьо И»о о э Н(в1а д) — — И 3(-„'+-,) ) / » аомь ~— у' ьл Ьосм~е Ьолоа1 2аЬс гйпщ д '1 л» ) аЬс (л) 89 (8+ ь) ' "' ьг э„/в '/ ьл 3( — „, + —,',) 19 М В интеграле : = Я ггЭ„Э ° О <9<-'. О<~ <-', О < р<1, 2' 2' в э 1 э 1» = 1баЬс / сова да»пг д ьбд / рэ др / ипэ »о сова р Нво = -або В(4, 2)В(2.
2) = —, р 3 ' ' 99 о о о э э э " ('-.)" (-",)" (-:)'= и Точки тела Т снмльетрпчны относительно координатных плоскостей, поэтому 1г = 8 /О д*гу г., г' где Т вЂ” восьмая часть тела, лежащая в первом октанте. Зал»еняя в тройном интеграле переменные по форльулал» (9). п.1.8 (полагая там о = д = 3). получим э 7 ! 1' = 22абс / совэ дюп дед / мо »асов »од»о / р Нр = о о о 3 3 3 Г(3)1 (;) 4 ла бабсВ (3, -) В ~т. -) = Оабс вэ — — — тобо.
> ' 2) ~2 2) Г(3)Г(у) 3 г пере»йдель к обобщеннылг сфернческил» координатам по формулам (9), п.1.8, полагая таль а = В = 4. Тогда 134 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы 99. хг + »г = а , хг + »г = Ь, хг — у — »г = 0 (х > О, а < Ь), < Точки тела Т, объем которого требуется вычислить, симметричнм относительно плоскостей хО» и хОу, которые разделяют его на четыре равные части. Граница тела состоит из частей конической и цилиндрических поверхностей. В силу всего сказанного выше имеем 1» = 4Я Ихауа», г' где множество точек Тс принадлежит первому октанту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
