И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 20
Текст из файла (страница 20)
заданнымн уравнениями) 50. (х + у — ах) = а (хг + у ), х + уз = аь)зу (внутри ка:кдой лз кривых), 51. (хо+ уз) = азха+ бзуз. 52. х'+у та 2азху. 53. У— , + ДГ ио *— , + Ду. о Л) Ы Ы' 54. (-*+-"„) =-* — д,у>О, 55. (д+д) = — „*,,у>0,а>0.6>0. 2 2« ми ВВВ ), . *) = 1гг).)2+./ — 1 11 1 1 в=. = 2)г р~У'(р) -l' а)2 рт 1 в=о 4яу р)(р) Вр, если р > т, 11 — ) р у(р)ар, если р ( т, 1 63. Прпловкеиие кратиыл интегралов к решению задач геометрии и фмяики !41 88.
хг = ау, хг = Ьу, у = та, у = и (О < а < Ь, 0 < ос < а). 89. у =а — 2ах.у =Ь вЂ” 26х,у =юг+2шх,у —.-и +2пг (О<го<и.Осе< 6) 60 (хг+уз)г а(хз Охуг) а > О 61 (ха+уз)г хг+ уз 2, ) 0 у > О 62. (д+ ) «а.*+. 63. х+у=а,з+у=Ь,уг«о«.у«с гг (О<а<6,0<о . 56 64. 1у=+,Д = 1, /~+ Я = 2, -* = я 4'- = д (а > О, Ь > О), С полющью двойных интегралов иайти объемы тел.
ограниченных поверхностями, задан- ными уравнениями. Об. я+у+2=а,ха+у =62,2=0. (а>ЬЧ2). 66. хггг+а у =с х2,0<т<а. 67. у + гг = х, х = у (х > О). 68. г = ип(х + уг), г ш О, ах < х + у < (и + 1)х. 69. х +у =о«2,х +у =ах(г>0). 70. 2(х+у)=ах+Ьу,г=0.1<х +у <4,(х>О.у>О,а>0,6>0). 71. (~~-+ ЯВХ) + 3 = 1, г > О.
72. «2 = 2ху. (~~+ дат~ = --Р (х > О. у > О. г > О). 73. г = хл/х + у /у, х + у = 1 (х > О, у > О, г > 0). ( + 6) + сг 1 1„+ ~6) (у>0 г)0) уз=аз — 2ах уз=глг+2лсх,у=О г=О. Нюши площади: 76. Части поверхности 5 = ((х, у. г) е Из: а» = ху). заключенной внутри цилиндра 52 = ((х, у, г) е Р; хг+ у = а .
г 6 Р). 77. Части поверхности 5 = ((х, у. 2) е Из: хг + уг + гг = а ), расиолощеиной вне цилиидров 52 =((х, у. 2)ЕИ:х +у =ах.гйИ). 52=((х,у, г)ЕИ сх +у =-ах. гб И), а>О. 78. Часты поверхности 5 = ((х, у. 2) е Рз: хг+уз = 2аг). заключенной внутри цилиндра 52 = ((х. у, «) Е И: (хг + у ) «а 2а ху, г е И). 79. Части цилиндра 5((х, у, г) 6 Из: хг+ уг ш а, г Е Р).
вырезанной плоскостями, заданными уравнениями х+ г = О. х — х = О (х ) О, у ) О). з 80. Части поверхности 5 = (х, у, г) еИз: (хг + у )2 + г = 1 . отсекаел2ой плоскостью хОу. 81. Части поверхности 5 = ((х. у, г) 6 Из: (-, + Ц + —" = 1), вырезанной плоскостяьиг, заданными уравнениями х = О, у = О. 2 = О. 3 82.
Части поверхиости 5 = ((х, у, ) Е И: — — дь- = 22~, вырезаииой поверхностью а ((х'у г)еИ '«+ ьг 1 г 0) 3 «2 «2 83. Части поверхности 5 = ((х, у, г) Е И: —, + —, = 22 '(, заключенной внутри цплии- «Л 2 -" =( " " (- ") ----'"") С помощью тройных интегралов найти объемы тел, ограниченных поверхностями. заданиыми уравиеииями: 84 (х2+уз +г2)з з(ха+уз+ 3) )0 ) 0 ) О 88 (х2+~2)24 га аз(х у) 2 2 *Л С лз / 2 2 2 26 ;г 66.
(8+" +«) =8+3 — —,х>О,у>О,х>0. а 6 с) В Л' 89. (а2х+62у+ с2«) +(агх+ Ьгу+ сгг) = 1, азх+Ьзу+ сзг = ю16, где ос 62 с2 аг Ьг сг ф0. аз Ьз аз 148 Гл. '2. Кратные и криволинейные интегралы (хз + уг + хг)з 91. х + уг + хг = а, хг + у + хг = Ь, х + уз = зг (х > О, 0 < а < Ь). l г з гьг гг г г г 96. ( — +р) +(-) =1,х>О,у>О.х>0, 97.,«иэог+ Я+ Льугт = 1, х > О, у > О, х ~ )О. 98. (х + у + з ) Найти координаты центров тяжести однородных пластинок Р С Р, ограниченных крпг выпи, заданными уравненияьт: 99.
х' + у' = хгу. 100. (-+ д) = щь, 101.;/х +,гу =;/ащ х = О, у = О. 102. (-+ 8) = —,". 1.03. (хо + у ) = 2а ху, х > О, у > О. Найти моменты инерции 1 и 1„относительно осей координат Ох и Оу однородных пластинок Р С В~. ограниченных кривымн. заданиымн уравнениями; 104. —,* + д = 1, — + д = 1, у = О (Ьг > О. Ьг > О, Ь > О). 108. р = а(1+ сов ьг). 106. х' + у' = а (хг + уг). 107. ху = аг.. ху = 2а, х = 2у. 2х = у (х > О, у > О). 108, Найти лзолгент инерции правильного треугольника со стороной а относительно пря- мой, проходящей через центр тяжести треугольника и составляющей угол о с его высотой. Найти координаты центров тяжести однородных тел.
ограниченных поверхностялги, за- данными уравненняьщ: 109. Лг(хг + у ) = а з", 0 < г < Ь. 110. ха + у + зг = а, хг + уг = ах. 111. -т + У- = -'. - + Д = ~1, - — К = Ы, - = О. 112 хг+хг аг уг+ „г аг (з>О) 113 ха+уз 2з х+у Определить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тол, ограниченных поверхностями.
заданныып уравнениями (параметры положительны); г * г г г г 114. г + ьь =,г: ' = ' 118. —: + ы +,г = 1 «г + ьг 116. — + — = 2-;. — „+ — = —,. «* з г ьг ' ь 117. Найти ньютонов потенциал в точке Р = (О. О, з) цилиндра Т = ((б, Л, ь) Е Вг: с~+ пг «( га~.
О ( л «( Ь) постоянной плотности рь. 118. Найти силу притяжения однородным шаровылг секторолг плотности рс материальной точки с массой, равной единице, помещенной в его вершине, если радиус шаровой поверхно- сти равен г, а угол осевого сечения сектора равен 2о. ~ 4. Интегрирование на многообразиях 4.1. Многообраззгя в евкпидовом пространстве йю и нх ориентация.
Определение 1. Лбножсслгво 31 С гл~ наэыеастсямногообразисм роз.иерности р «( и . пранаб.гежащгьн классу С', если для каждой точки а = (аг,..., а ), а Е ЛХ, и некоторой окреспгности 5(а, б) существует окрестносгпь 5(ар, бг) точки ар —— (ап ..., ар) и тако« отображение Ьг: 5(ар, бг) — Л1 гг 5(а, б) класса С'. что ьгэ(ар) = аэ.
у = р+ 1. т, причем координаты гпочек х Е Л1 гг 5(а, б) удовлетворяют уравнениям хэ — — Ьгэ(хр) = Ьгэ(хэ, ..., хр), хр Е 5(ар, бг), 1 = р+ 1, т. (1) Определение 2. Параметрическим представление н множества Л1 С Ию размерности р «(т, принадлежащим классу С, называется отображение и ь йл(и) открытогс множества С С мо в пРостРанство И™г обладающее следУющими свойспгвоми: 1) й яеллемся со.ггсозгорфиззгозг О на И; 2) йь «ьлягнн я отобз «л«нисм лг — гл«', принодяьмощнлг классу Сг; $4. Интегрироваиме на многообразиях )49 3) е каждой точке и = (иэ, ..., ир), и Е О. отображение л(Ф(и) Е Е(И": И"') ил~ест ранг р. Последнее условие в определении 2 означает, что образ векторного пространства Ил при этом отобрал;енин является векторным подпространством в И"' размерности р, т.е.
векторы — (и). Х = 1, р, линейно независимы в И~, в силу чего хотя бы одни из определптеяей р — го О э ее, порядка матрицы Ф'(и). составленной иэ элементов о '(и) (( = 1, гл, Х = 1, р). отличен от О э нуля. Теорема. Длл того чтобы ллножестео Ы С И было .иногообраэием класса С роэлгерности р Е т. необходюно и достаточно. чтобы для каждой точки а Е ЛХ суилестеоааэа гаакая открытая окрестность 5(а, 6). чтобы множестео М О Яа.
6) допускало паралгегприческое представление раэмерносгли р, принадлежагисе классу С 1 Если р = 1, то говорят. что 11 есть кривая класса С' (или гладкия криеая), а в случае р = 2 многообразие 11 называют поверхностью класса С' (или г.гадкой поверхностью). В случае, когда р = т — 1, многообразие Ы Е К'" называется гиперпоеертностью. Если гп = 3, р = 2, то, для того чтобы в окрестности точки а Е Ы множество Ы С Иэ было гладкой поверхностью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два эквивалентных условия: 1) с точностью до перестановки координат хэ.
хз. хэ в окрестности точки а = (ап аг, аэ) множество Ы задается уравнением хз = сс(хы хз), где р — функция класса С в окрестности 1 точки (ал, аг) и Ьс(аэ, аэ) = аз: 2) в окрестности точки а множество Ы допускает параыетризацлгю класса С 1 хэ = ьсэ(иэ, иг). 1 ~( Х < 3.
(иэ, иг) Е 5(а. б), хэ(о) = аэ, и при этом хотя бы один из определителей лэ(рэ. Ез) Р(Ьсз, Рэ) К'Р~ 9г) 2э(иэ, иг) сл(иэ, иэ) сэ(иэ, «г) отличен от нуля для всех точек (иг.иг) Е 5(сг, Л). Определение 3. 1(усть отображение и с — Ф(и). и Е О, О Е Ил. яеляетсл пиромегаричсским предстаеленисм ллножестеа э11 Е И~ раэлгерности р < т класса С е окрестности точки а Е М. причеи Ф(а) = а, сг Е О. Тогда образ линейного отображения НФ(сг): Иг — И™ есть секторное подпространстео раэ.исрносгпи р. Это иодпространстео ниэыеается касательным пространстеом к многообраэию Ы е точке а и обозначается Т (ЛХ). Определение 4.
Систе ной ориентаций .'У диффсренчирусмогомногообразия Л1 наэысастся выбор для каждой точки а Е М неко~норой ориентации его ееггпорного касательного пространства Тл(Л1). Определение б, Л(ногообраэие Л1 С И размерности р < т класса С' наэыеастся ориент ирусм ылг, если оно имеет хотя бы одну непрерывную аист сну ориенглоиий, а выбор такой фиксироеанной сисплемы ориентаций наэыеастся ориентацией многообразия ЛХ. Если многообразие Ы является связным н ориентируемым, то оно обладает двумя возможными ориентациямн.
определяемыми выборолэ ориентации пространства Тл(ЛХ). Если ЛХ Е И~ — гиперповерхиость класса С', то ее трансверсально ориентируют выбором непрерывного поля единичных норыалей п(х), х Е Ы, а выбор одного из двух возможных направлений вектора и в произвольной точке х Е Ы определяет трансверсальную ориентацню в целом. Трансверсально ориентируемые гнперповерхности называются деуспэоронними. Если, например, гладкая поверхность размерности р = 2 в пространстве Из задана уравнением Х'(х, у, х) = г — р(х, у) = О. (х, у) Е (1, Ху С И, то д,р бхай((г ° и. г) — (г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
