И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 22
Текст из файла (страница 22)
в некоторой области, содержащей кривую ", = АВ, выполняется равенство Р Ых + Я Ну = Ыи, то интеграл Рдх+ Яду = и(В) — и(А) не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точку А с точкой В. Если функции Р н Я определены и непрерывны вместе со сзоимн частными производныл|п и — в замкнутой односвязной области В С Р, а которой выполняется равенство зо еР э еэ ез ад дР д, ду (2) то дифференциальная форма с = Р дх+ Яку является полным дифференциалом некоторой функции и и криволинейный интеграл Рдх+ Яду (3) не зависит от выбора пути интегрирования пз точки А в точку В, лежащего в Р. Равенство (2) является необходимым п достаточным условнел~ независимости криволинейного интеграла (3) от пути интегрирования, лежащего в одиосвязной области Ю, Для того чтобы дифференциальная форма ы = Рдх + стоу+ Кдг была полным дифференциалом некоторой функции и в замкнутой односвязиой области К С й, необходимо и достаточно, чтобы в К выполнялись условия з дЯ дР дК дЯ дР дЛ (4) д* ду ' ду д.
' д д, ' В этом случае интеграл лВ не зависит от выбора пути интегрирования, если кривая з = АВ лежит в К. Если в односвязных замкнутых областях В С мэ и К С м~ выполняются условия (2) и (4), то Р(*, у) Ых + ьг(к, у) ду = лн, Р(х, у, з) ах+1>(х, у, л) Ну+ Я(х, у, з) дг = йи, а функции н и м можно найти по формулам Х з и(х, у) = ~ Р(Г, уо) дт+ / Я(х. 1) да + С, 3 4. Интегрирование на многообразиях 157 Криволинейный интеграл второго рода имеет физический смысл работы силового векторного поля Х, а поверхностный интеграл второго рода — потока векторного поля Х через поверхность Я. Заметиьп что криволинейные и поверхностные интегралы второго рода зависят от ориентации кривой э и поверхности Я: при изменении направления обхода кривой 1 и изменении трансверсальной ориентации поверхности 5 скалярные произведения (Р, т),(Г, и) меняют знаки на противополо'кные.
189 2 4. Интегрирование на многообразиях из которых получаем интеграл Х в виде 1( 2+ 2+ 2) 11 3,1 На окружности -, выполнено равенство х + у + 22 = а, в силу которого имеем 1 ы -«а . 2 2 2 2 2 так как 31 = г '1 126. 1 = ) 2Л, где ", — кривая.
полученная в результате пересечения поверхностей. заданных уравнениями хз + у = 22, ут = ах, пробегаемая от точки О = (О. О, 0) до точки А = (а, и. ач'2) . < В качестве параметра выберем перел1енную х. Тогда пара«1етрические уравнения кривой; примут вид х= х, ужч«ах, гик ~/22+ах (О (х (а). Поскольку — 12х, ЫУ = „-1( — Их. 2х+и 1 /а 2~/х~ + их 2 х то. применив формулу (6).
п,4.3, получим а — 2 2 1 ю — 8хз -«Оих + 2из 32 =— 2 / 2 / Зх = о а 1 (1' 9а 2 1' 2 9а — гу22+ — 822 + 9ах+ 2а — — а 1п гъ«22+ — + 8хз + 9ах+ 2ат 4Я ~,(, 4ь12) 32 ( 4ъ«2 ю — ~100 Ч 38 — 72 — 17 1п а2 Г „25+ 4ч'38 2 238Л ), 1 Найти длины пространственнык кривык (параыетры считать положительными), заданных уравнениями: 127. (х — у) = а(х+ у), х — у = -2 от точки О = (О, О, О) до точки А = (ха, уо. о), 2 2 2 9 8 м Параметрнзуем кривую, полагая х+у = 2(х — у). Тогда из уравнений кривой получаем х — у = ай х + у кк ах~, -22 ю а 1 (1 ) О), откуда х = -(Ф +2).
у = -(С вЂ” С), )2! = — а12, а 2 а 2 2Л 2 2 ' 3 2 2 При этом точке О соответствует значение 1 = О, точке .А — значение 1« = - (-12 2«2, Обо- 1 121 2 а значая через Х искомую длину кривой, получим 1« у= / 1 «11 + ««11 н«.«11'- ч ) (+ 1) г о о (1« ( Г 2 а 2 3 э 32« 2 ахе = — (1 +1)~ = — у2 — +га†128. х + у = сх. — = 18 — от точки О = (О, О. 0) до точки А = (2:«. уо. 2«). 2 2 У Х 2.
С 180 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы ч Параметризуеь1 кривую взяв в качестве параметра полярный угол р. Полагал х ж рсоа р. у = рмв 1о, получаем р = сх. 18р = 18 -, откуда х = ср, р = с р. Параметрические з уравнения кривой принилгают вид хо 1 х ж с /д соз р, у = с „/уз)п р, х = с р (О ( Ье ( — ) . с,) Нычпсллл диффеРенциал кРивой 4! = с (чгР+ — ) ЫГс и интегРиРУЯ полУченное выРажение 1 2;/т в пределах от 0 до =з,находим с =,/Б;( — '+1), и 129. Найти массу гп дуги параболы ", = ((х, у) Е Н: у = 2рх, 0 ч х ( - г, если ее з з Р~ линейная плотность р(х, у) в текущей точке (х, у) равна )у(.
° в * ... фе .п.а ф р, е- '7зооггьх~птхь. и». мая во внилгание равенство р(х, у) = (у( = ~/2рх хи симметрию точек параболы относительно оси Ох, находим Р 2 з Р з(з т+Х, у)41 ж г~у~2рХ, 1+ — 4Х = 2 ° /грт+рт ЗХ = — (2РХ+Р )У~ = -Р (2ЬГ2 — 1). М гх зр ~,-3 о о а$ аг 130. Найти массу т кривой ~ С Я~. заданной уравнениями х ж ад у = —, х = — (О < /2у Г ( 1) линейная плотность которой меняется по формуле р(х, у, х) = (/ — .
(у а < Согласно формуле (13), п.4.3, имеелг 1 тп = / р(х, у, х) Й = / р(х(г). у(г), г(г)) (х (г)р+ (у(г))2+ (г(г))зад ъ о и- - е' згя), нл=,е-. тхтсгга. г 1 тма ~Г 1+ГЗ-~.1441= — ~гт+-) -1- — 4(Г~+ -) ж 2 / 1 2) 4 (~ 2) а о ='-((""г) ' """ '-"(" -'""""'"))(= а/ з з+гчгз1 = — ~~(3Л вЂ” 1) + — 1л — ( . и 8 ( 2 3 131. Найти координаты центра тяжести однородной кривой 3 С Н~, заданной уравнением у = асЪ вЂ”, от точки А = (О, а) до точки В = (Ь, Ь) (а > О, Ь > О, Ь > 0). М Воспользуелщл формуламн (15), п.4.3. Поскольку кривая 1 однородна, то в формулах (15), н.4.3, следует взять р(х, у) = 1. Имеем ,'=.ь-*,е-атее'уь-, 1~а'*-ь= г-'ь.
а У о а ь, Г х Ь Ьз г — —— Ь вЂ” 4 = .Ь вЂ” =,1 — — 1=,Г~к- а а Вяз о Ь 4. Интегрирование на многообразиях 101 ь хо = — ! х 4! = — / х с)т - 4х ж — (ах зй — — а с!т -)! ~ та — (Ь э)т — — а с)т — + а) = тл/ тл / а тл а а ~о тл а а о — Ь с)тз — — 1 — Л+ а = — ! — г(йз — ат — Л+ от = Ь вЂ” а )/ Ь+.' ь — — (1+с!т — ) т!х = 2тл / а) о а тт Ьчтйз — аз'Э Ь 2тл [ а / 2 уо = — уй= аЬ + гчйз-аэ' 'ттл ( 2 132. Найпт координаты центра тяжести контура однородного сферического треугольника Я = Ь(х, у, з) Е !л ".
х + у + з = а . х )~ О. у В 01 з В 0). 4 Сферический треугольник однороден, в силу чего имеем 1 У хс = — / х й!. ус = — / у 41, зс = — / гй1, з где; — контур треугольника, тл = -та — его длина. В плоскости уОт выполняется тоткдество х = О. поэтому где;1 — часть кривой э . леясащая в плоскости хОу, Зэ — та ее часть, которая леконт в плоскости хОг. Еривые П н;з можно задать соответственно параметрическими уравнениями х = асозго, у та аз!вот х асозтЬ, у оо азтв то причем а! = а4от на;1 и а! = арф на тз.
Поэтоьгу т о з з бз .тп созэо1Ьтт+ созй4тЬ 111 о о 2а 4а пэ Зтт Аналогично, ус = зс = — ° ьа Эт' 133. Найти статические моменты дуги; однородной астронды, заданной уравнением 2 з з хо + уз = аз, х )~ О, у ) О, относительно осей координат. ч Воспользуемся формулами 114), п.4.3, полагая в ннк ргх, у) = 1.
Записав параметрические уравнения астроиды в виде х ж а созз з, у = аз!и" ! (О ( ! ( -) и принимая во внимание зг решение примера 123, имеем з Лтт —— За соз тз!л гт!! = -а, ° з ь . 3 $ о !ЬГ = За з!л зсозгт!г= -а з о 3 о т" х а з х — у(х) с!т — Ых = — ~ сй — 4х тл а пт/ а о о .Ь вЂ” )/ — (Ь+ .Ь- Ь-) (О < Р < — ") 1 (о<В < — "), 1бг Гл. 2, Кратные и криволинейные интегралы л34. Найти момент инерции однородной окружности ! = Цх, у) б Ж~: х + уз = аз) относительно ее диаметра.
и Момент инерции однородной окружности ", соопадает с ! нли 1т (свь. формулы (14), пА.З), если систельа координат хОу выбрана так, ьто диаметр окружности; является отрезком оси Ох, а начало координат совпадает с централь окружности. Принимая во внимание однородность окру'кности т, имеем 2» 1=1,= ~уьНыа ( а!и рь!от=та о (прн вычьклении интеграла вощюльзовались параметрическими уравиениялпь окружности х = а соя ьь», у = о ми уь 0 ~< р < -'. и равенством ь!! = и ь!р). > 'ль35.
Найти полярный момент инерции 1о ье (з + у ) ьт! относительно точки О = (О, 0) однородного контура квадрата ", = ((х, у) б Р: щах()х!, /у/) = а). м Контур квадрата; образован отрезкальи прямых, заданных уравненивми у = на, х = жа. Если х = каь то х + у~ = а + у~, -а < у < аь ь!! = ь!у. Если же у = жа, то х +у =х +а,— а<х(~а,ь!1=ь!х. Заменив криволинейный интеграл 1о соответствующим интегралом Рььмана. получим ь.=г )ь.*»тьь„ь /ь.*».'ьь.) = — ".'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
