И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 21
Текст из файла (страница 21)
у) ° (х, у) 1) дх ду Га. 2. Кратные и кривавииайиые икттралы 150 следовательно, векторы и(х, у, х) (2) «ф+р «г' ««г«г'«г ««с+Р+Ру' где р = гк(х, у), Г = $(х, у), опредеэяээт два непрерывных поая еднннчньпг иормелей к о поверхности в хыкдои ее точке. Выбор определенного знака перед радккалом 1 + уэ + д э з произвольной точке поверхности фиксирует одно из этих полей, а значит, и определенную сторону поверхности, т.е. ориентирует ее траасеерсальио. Если гладкая поверхность М С Йэ задана параметричесхи в виде хтх(и,е),у=у(и,е), е=э(и,е), (и,е)кО, ОС61~, А В С * А «э'«гг «А «гг«г««««««В «гг) где А= — (-'— —, Вю — ', Сю Р(у, г) Р(х, х) 2Э(х, у) 21(и, е)' Э(е, о)' 2э(и, э) Если М С мю — гладкая кривая, то ее касатеаьная ориентация называется направлением обхода кривой, а поломительным считается обход, прн катаром вектор скорости Ф'(1), 4 б]а, 6[, в хая«кой точке 4 является полоэкительныы в смысле ориентации в этой точке.
Траксзерсальнаа ориентация этой кривой определяется эздаюгем направления вращения вокруг нее. Пусть М С Й вЂ” ориентированное многообразие размерпостк р = 2 хаэска С , а К— 1 компакт, лемащнй па этом многообразии. Обозначим через дК границу компакта Л . Определение б. Колпак«и К С М позыва- « ется компакпгом с краем класса С, если выр с. 14 полнены следующие условия: ис. 1 ю 1) дК в просп«ране«зев И является кусочно-тадкой кривой класса С (э«по кривая лезгин« 1 на многообраэии М и имеегп е обком случае конечное мноместео угловых точек); 2) всякое точка а б ВЛ', отличная от угловой, имтт такую открытую окрестность 8(а, 6) на многообразии М, чего мномеспгво 8(а, б) с|СЭК распадается не дее связные компоненты, одна иэ копгорых состоит иэ точек 8(а, б) Г1 СЛ, а другая — иэ точек окрестности 8(а, б), иринадлемощих компакту К.
Ориентации многообрааия М сопоставляем ориентацаю гладких дуг храя ЗК по следующему правклу: в хамкой регуаярюэй точке а б дК рассмотрим в касателькок плоскости к мкогообравто вектор т(а), касательный к дЛ' в точке а, иаправленаый в сторону, определяемую ориеитациеи крам ВК, и вектор и(а), оргогоиальиый к вектору т (а), капававлеиный в ту сторону, где аткат виутреннке точяк компакта К. В случае, когда М С 6с, зезторы т(а), и(а) и ге =(т(в), и(а)] образуют базис пространства 62э, ориентируювпгй его так мо, ках и канонический базис ( °, у, Й) (рис. 14).
Есам М С дгю — многообразна размерности р е, ги класса С', то всякое параметрическое представление бг класса С открытого мкоктспга М О 8(а, й) этого многообразия наэываетсэ локальной картой класса Сэ, каи просто карп«ой. Мноигестао Ф(О) = М О 8(а, 6) называется обрамм этой харкет. Атласом ммогообрамт М иазываопм мноитстзо карт открытых мнолтсгв иэ М, образы которых покргеэаэаг М.
$ 4. Интегрирование иа многообразиях 1г1 4.2. Элемент г1з-МЕриого объема иа многообразии М С И™ размерности р < гп класса С . Пусть и ь Ф(и), и б О, — С'-гомеоморфизм области О С йр на область Ф(О) евклидова пространства И, а отображение 4Ф(и) б б(йр; Им) имеет ранг р в каждой точке и Е О. Тогда мно'кество М = Ф(О) является многообразием разлгернасти р класса С . Отображе- 1 нне ЫФ(и) в точке и Е О переводит систему р векторов базиса пространства Ир в систему линейно независиыых векторов е (и), у ж 1, р, из И еа з, Расслгатрнлг на ыножесгве О брус В с вершиной в точке и Е О, построенный на векторах Ыиг' = е, йиг, у = 1, р, биг.
> О, где ез — векторы стандартного базиса пространства ИР. Объем этого бруса 1г(В) равен произведению длин его ребер: ЙГ(В) — Ыиг биз ... Ыир ° (1) еа Образом вектора йи, при отображении ЫФ(и) является вектор Ф'(и)ег г)и, = е (и) биг. Следовательно, дифференциал ЫФ(и) отобра кает брус Вг на параллелепипед Н с вершиной еа в точке Ф(и), построенный на векторах — (и), у' = 1, р.
ез Определенгге. Объем Нг(Н) параллелепипеда Н назыеасглся згсмснщолг р-лгерного объема на многообразии М. Согласно определению. имеем (2) бе~ г~иг ... бир, гг1г(Н) = где Г (д (и), е— (и),..., е (и)) — определитель Грана от векторов е (и), у = 1, р. г' еа еа еа еа Пусть гп = З, р = 2, 5 — гладкая двусторонняя поверхность в пространстве И . Обозназ чнм через х, у, г координаты точки в из со стандартным базисом (з, у, «). В окрестности каждой точки поверхности М рассмотрим ее параметрическое представление (а, е) г Ф(и, е), определяелгае тремя функциями класса С' х = х(и, е), у = у(и, е), г = г(а, е), (и, е) Е О С й .
(2) Так как поверхность Я является многообразнем разлгерностгг 2. то ранг матрицы равен 2. Поэтому по меньшей мере один пз якобианов З(у, г) З(х, х) З(х, у) З(и, е) ' З(н, е) ' З(и, е) отличен от нуля во всех точках открытого лгно кества О С И . 2 Обозначим через ггЯ элелгент двумерного объема многообразия 5 и буделг называть ега элементам площади поверхности лО. Согласно формуле (2). получим ы =ггс — г (4) где (дФ дх дх ду ду дх дз ,+ + ди де ди де ди де л) 1 Ое этам з'же говорилось в пункте 3.2.
здесь строится мера на произвольном л~«гьабразии. чаегнмм серчаем «сеерай яяляегся 48. 152 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы — коэффициенты Гаусса. Из толсдества Лагранжа (Ьс' — сЬ') + (са' — асс)г + (а6' — Ьа') = (а + Ь + сэ)(а + Ь + с ) — (аи'+ ЬЬ' + ссс) следует. что ЕС вЂ” Р~ = .4~ + Вэ + С, в силу чего нмееьг гэ=,/Я+в +с а г.
В случае явного задания поверхности о т ((х, у, г) б Я ; г т г(х, у), (х, у) б Р. Р С И ) (5) получаем аг а= дйэ эг дг 1 Ф(х, у) = (х. у, г(х, у)). — = 1. О,— а [,' 'ь)' Е= 1+ —, С= 1+ —, Р~ и Следовательно, (6) гэ) =,цэ'вь э'(Хг = 41, () где й(Г) = (х(г). у(Г), г(г)) (в предполо:кении, что обход кривой т в положительном направлении соответствует возрастанию параметра 1). 4.3.
Интегрирование на многообразии с краем. Криволинейные и поверхностные интегралы и их применении. Пусть К С М вЂ” многообразие с краем дК и К = зр(Р), где Р С О. О С К',— замкнутая область с гладкой границей дР, х ~ г(х), х б К, — ограниченная числовая функция. Определение 1. Если функция сз = э о й: Р И иптвгриругма по Римапу па множестве Р, то интеграл д(и) а1' (Н), и гдв гЬЕ(Н) — элсэ1гнгп р — мерного объема на многообразии М. называется интегралолг от функции э" на компакте К С М и обозначается у(х) аК. к (2) Таким образом, низ ° лир.
(3) К и При р = 1 интеграл (3) называется криввлинебпыи интегралом первого рода от функции 1 на гладкой кривой г = гу(Р), где Р = [а, 6) С Ьс, и обозначается / У(х) 41. (4) Пусть т = 3, р т 1, ", — ориентированная кривая, Элемент одномерного объема называется элсиеитом длины кривой ",. Если координаты х, у.
г точек кривой; являкмся функциями х(г), у(г), г(г) класса С, производные которых х (г), у (г). г (г) нигде одновременно не обращаются в нуль в области изменения параметра г, то элемент длины кривой 31(г) имеет вид Ь 4. Интегрирование на многообразиях 163 и..., ««((=„'((ь((,г((>« =((ю((((« = Г(ф((('«, ° «««,- «'=! ь ~ У(х) М = ~ 1(й(4)) ~ ( — "„,'(!)) И. «=! (6) Если "( = ((х, у, г) б И: х = Ь«(!), у = «((!), г = Х(!)«а < ! < Ь), то ь у(х, у. г) д( = / ~[о(Ь), й(г), д(!)) (6) Если; = ((х, у) б р; х = р(!), у = р(!), а < ! < Ь), то ь у( .
«( «! = /( ( ( (, ° ('(( / '('( « «'( ( ь. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривоп -,. Если р = 2. то интеграл (3) называется поеерхнос«иным ии«аггра.«о.н пграого рода от функции у на компакте К. Он не зависит от ориентации многообразия («! . При р = 2, «гь = 3 поверхностный интеграл первого рода обозначается )()(«ь«, (««. 5 (8) Если о = Ф(Х«), йь(и, е) = (х(и«ь), у(и, е), г(и, е)) «22 С Из, то, согласно форь«уле (4).
п,4.2. и форлгуле (3) настоящего пункта«имеел! )««( ...(««х/(«((*( ° . (, (, ! ( ((««а-«* (8) Если о=((х, у, х) бИ~(г=г(х«у),(х, у) ба«),то )«(( . *! =/('«и,. (,а ((х ду. (10) Теорема. Ингпеграл (3) ие заеисига от выбора парамгтризации многообразия й! . Поскольку интеграл на многообразии сводится к интегралу Римана, то он обладает свойствами интеграла Римана. Если кривая;.
= гр([а, Ь)) кусочно-гладкая«то существует такое разбиение П = (гь = а««л, ..., ли «х Ь) сегмента [а. Ь]«что у = О 23. где 3; тг (Р([«(. «(ьл[) — гладкие кривые. Для «1 этого случая полагаем ! ~К*)дтпл ~н*) =ь Если поверхность йй = йл (О), О С Иг, не является гладкой, но существует .такое предо ставление О = [) О(, где О, — области в И! без общих внутренних точек, что каждое ! ! ниии естьи Ьу( = Ф(О,) является иоиерхностьв кльссь С'. '«о л«нищ«ство а«будем называть 155 $4. Интегрирование на многообразиях где и — постоянная тяготения, т = (х — хо.
у — уо, х — зо), г = [г] = (х — хо) + (у — уо) + (з зе) ° Моментам инерции 1ь материальной поверхности Я С И относительно осн Ол называэ ется интеграл 1, = 0 (х + у )р(х, у, л) дб. з (19) Дадим определение криволинейных и поверхностных интегралов второго рода. Пусть ЛХ С Р вЂ” ориентированное многообразие размерности р < т класса С'. заданное в виде 61 = Ф(0)) С ь 66э) где Ф вЂ” отображение хласса С' области О в евклидова пространство Р . Если 61 — многообразие раза(ериости р = 1 и Э б )11, где 1 = Ф([а) 6])— гладкая кривая, то касательная ориентация этой кривой называется направлением ее обхода, а ноложительныя считается обход, при котороэ! вектор Ф'(Г) в каждой точке 1 б]а, 6[ является полол(ительным в сыысле ориентации в этой точке. Поскольку кривая ", принадлея'ит классу С , то т [[Ф'(1)[[ э6 О тс й]а, Ь[, где ]]Ф (Г)[] = 6 (Ф';(Г))э.
! Пусть х )- л(х). х б у, — вектор-функция с ограниченными компонеитал(и Г( (! т Гт), т(х) =,, = (созе, соэаэ, .... сова ) — единичный касательный вектор к крий1(16 вой Э в точке х = Ф(1)) 1 б]а, 6[, полояснтельный в смысле ориентации этой кривой. Рассыотриы числовую функцию х )- (Х(х), т(х)), х б;, где (Х, т) — скалярное произведение векторов л и т ) и предположим, что существует криволинейный интеграл первого рода з')(х) дх! + г'э(х) дхэ + ° ° + г' (х) (1хы т (21) Исходя из определения криволинейного интеграла первого рода, получаем ь ь (г(*) ('))г'=1 (г(ы)),, )((ь()(( = ) с в(ь())ь(()ь, (н) Ф(1) ~, ' ][Ф'(1)П1 В ь если положительному обходу кривой э соответствует возрастание параметра и Таким образом, согласно определению, имеем ь 1) 2=к( ° э)г.; = / З ',г(ь(~))ь(())) г, ( ! а ) ! (29) Наряду с общил! криволинейным интегралом второго рода рассматривают также криволинейные интегралы частного вида Р((х) дх(.
(24) Определение 2. Интеэрал(20) называется общим криволинейным интегралом второго рода он! вектор-функции л на орисмтироеаммой кривой 1 и обозначаеглся 4.4. Условия независнмостп криволинейного интеграла второго рода от выбора пути интегрирования. Если дифференциальная форма ы = Р(х, у) Нх + ч)(т. у) Ыу являетсл полным дифференциалом некоторой функции и, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
