И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Приведение кратных интегралов к повторным 93 Поскольку ,(и(-,(в+В«»-., (м (= «гв г в »с., то справедливы неравенства (о(М() < («(М) < ««(М«), которые можно записать как одно неравенство (м(- ' вв'в '), м к(вк. ! о ° ...в=квЖМ*'Б~ ...„...--*- (м(=,. +в+. +,в,...(в( ( Принимая во внимание, что 1(М) = —. имеем оценку = г(М) 4 з 1 1 = — хг )У) < 1. » ,т++~Р 37. Доказать, что если функция ( ( Л' Р непрерывна на компакте К С й~ и с" (х, у. ») ()х ((у (1» = 0 для любой областн ' С К, то г"(х. у, ») ш О, (х, у, ») Е К, М Пусть Р— любая внутреннял точка множества Л' и Б(Р, к) — открытый шар. По теореме о среднем и нз условия задачи нмеелг — ~ ~(х, у, ») ((х ду ас» = О.
Р б д(Р, к). 4«гк«) 1 5(Р, *) Стягивая шар Б(Р, е) к точке Р, получаем, что г(Р) = О. Таян«с образом, функция у обращается в нуль в каясдой внутренней точке множества Л'. В силу ее непрерывности на компакте К она будет равна нулю и в точках, принадлежащих его краю дК.
Следовательно, ,Цх, у, ») = О. если (х, у, ») Е К. » 38. Найти Лч(г), если: .(г«(сг 1(1( п.*в *вг(в.в в*.-.у —..., --св-.', «.(.„«4««дс« б) Г(Г) = Д 1(ху»)(сх(су(1», где у" — дифференцнруемая функция. о«*с «<«<с о«с вя а) Перейдя в интеграле к сферическим координатам и заменяя после «того тройной интеграл повторным, нолучнм «ву с г(с(-1 в.ив) в,/гуо(вв=«.1 гу(в(в. о о о о Дифференцируя функцию Г, находим Г'(г) = 4ят~ г(г~) б) Заменим тройной кнтеграл повторным г(с-1(в 1( «.1(у(."(в о о о н вычислим производную функции Г по параметру и с с с с г((-1'сг)у«,( *«1 * /у( *сь«1((* о о., о о о 11, Интеграл Римана на компакте. Приведение кратнык интегралов к повторным рб и применив теорему Фубини, получим х 2 2 1(х) = / >(х з~ >(х„1 ...
2~ ~(х) >1х>. м 40. Доказать, что ! ! 2>>=>>2 >>«*. 1>!»>2> 1>.>2-= —, >1!»!) 1 о о о о где à — непрерывная функция. л Запишем 1(Г) в виде 2>>-)'1>о>2 )'» >2*" 1>».>«- и обозначим ! -г >.-*»- ' ».->«.- )' !>-и. Представив р(зм 2) з виде 2 ! -1 — )' л ->«-) 1 о о получим Предполагая справедливым равенство 1, ! т-1 1 ~»= >>!>2>22 . >>».» = —, 1>».»г) о о о имеем ! >1 1 ! >! О! т ~(г,)(г, ~~й )~. = —,~ И ~ П )1 = —, ( П )~ l Г о о о о о Методом математической индукции формула доказана.
М 41. Вычислить интеграл 1 *! 2 -1 м Применив формулу, доказанную в примере 40, получим ! 1= — (*Ь = —.з пг! ~ ( ) 2!зол> о' 3 1. Интеграл Римана иа компакте. Приведение кратиык интегралов к повторным 97 Поскольку (л — яз) уа ьг то ыожем предположить, что справедливо равенство 1 (*- -)" ' г!хт 2 [' Ихт з . г~ йхг / ~!хг (пг — 2) ! При таком предположении получаем Х у г 1 ( йя з-г ° ° ° ~ бег / ь!яг = / (х ят-г) г!х -г = (ог -2)! / гг, гг !у~ -1 ю-1 1 — (*-х -г) = (щ 1)! и- 1 = („$1)! Таким образом, применив метод математической индукции, имеем ~п-г ( )ю-1 Ъ'пражневня для самостоятельной работы 1.
Приближенно вычислить интеграл о ь +у 42ь г+ гягь . и+» +у разбивая область интегрирования иа квадраты, вершины которых находятся в целочисленных точках, и выбирав значения подыитегральной функции в вершинах утих квадратов, иаибо. лее удаленных от начала координат, Сравнить полученный'результат с точным значением интеграла. 2.
Компакт К = ((х, у) б !йг: хг+ уг ц 1) разбит на конечное число квадрируемых частей К„г = 1, и, диаметрам меньше чеы 6 каждая, без общих внутренних точек. Прн аакоьг значении 6 будет обеспечено выполнение неравенства ! ~~ ~ у~ег*г~-ьь,у,+~уг/ 0001, к ! 1 где (х;, у;) б Ки ВК; — жордаиова мера множества Кь? 3. Доказать равенство Д'Р( )С(р) Ь !у ж ) Р(х) ах ~ Щр) !р, а ь где К = [а, А) х [Ь, В), а функции Р и Я непрерывнм соответственно на сегментах [а, А), [Ь, В]. Ф. Пусть у: [е, Ь) -  — непрермвиая функция. Доказать неравенство ( ) ь ' 3 ь ('у( ) Ь ) ~ (Ь-е) (' уз( ) йв, а а8 Гя.
2. Кратяые и криволинейные интегралы где знак равенства возможен лишь при 1(х) = сапог. б. Кахой знак имеет интеграл Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: 2 о 1 1-у б. ( дх ) У(х, у)ду. 7. / Ну ) Дх, у)дх. о1)~„112 ау;„2 а,Га~ 2 азаа 8. ) Нх ) Х(х, у)Ыу. Э. ( Фх / 1(х, у)ду. о 12;,2 2а Ввести вместо х и у новые переменные и произвести замену переменных в следующих интегралах, предполагая, что подынтегральная функция непрерывная: 10.
1220,1а(х,у)дхду,где: а) К=((х у)ЕИ21 х)0.у>0 я~+у~<<а );б) К= к ((х, у) Е И2: х В О. у ) О, а ( хо+ уо ( 6 ), если х оо в созе, у = из1п о, 11. 1= О У(х, у)дхду, если и = х+у, из = у. о<*< *<ада 12. 1 = Д 1(х, у)дхду, если и = у+ох, во = у.
а< < а(и',а 13. 1 = )1 1(х, у) дх Ыу. если х = р созз р, у = рооп р, где к 2 2) дК= (х,у)бИ2: хз+уз =аз), 14. В интеграле Д 1(х, у) дхду край дК компакта К задан уравнениями у = ох, у = к ,дх, х = а (а < д), Произвести в интеграле такую заыену переменных, чтобы после нее интегрирование производилось в прямоугольнике. 18. В интеграле Д 1(х, у)НхЫу, где К = ((х, у) б И2: хо + у ( т, х ) О, у ) О), к произвести такую замену переиенных, чтобы после нее интегрирование производилось; а) в прямоугольнике; б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Вычислить двойные интегралы: — Д' х"х'у 1аы~у'1Ь1 17.
Д ху дх Фу, где край дК компакта К задан уравнениями у = 2рх, х = ~8 (р > 0). к а оао 18. Д -а а, а > О, если край дК компакта К состоит пз кратчайшей дуги окружности К с центром в точке (а, а) радиуса а, касающейся осей координат н отрезков осей координат. 10. Д (хо+ уз) Ых ду, если К вЂ” параллелограмм со сторонами, заданнымн уравнениями к у = х, у = х + а, у = а и у = За (а > 0). 20. Д уо гах 4у, если край дК компакта К состоит нз отрезка оси абсцисс и одной арки к циклонды ч = ((х, у) к Из: х оа а(à — мп 1), у = а(1 — соз 2), 0 ~ (2 (~ 2х). 21. Д 21и /хо + уз дуду, где К ((г., у) б Из: яз Ь х + уз ( 4хз). $ 2.
Несобственные кратные интегралы 22. О(к+у)йхйу, где К ((х, у) ЕН': ха+у' <х+у). К Вычислить тройные интегралы: 23. Ш хугхз ох йуох. где край дК компакта К задан уравнениями г = ху, у = х, х = 1, к 24. ٠— Яу — тт, где край дК компакта К задан уравнениями х+ у+ х ю 1, х = О, к у ж О, х ю О. 23. Ш ь/аз+ уз охИуох, где край дК компакта К задан уравнениями хг + уг = гг, к х=1. г . щ„Сгг, ~.Рггг,г*.
°;аэк г.... г —... -.. ° г',. к уравнением х + у + г 2 2 г 27. Ш х у"хгйхоуог. где пг, и, р — целые неотрицательные числа. гг ггга гйг Вычислить следующие пг-кратные интегралы: .28. [ [[х[[г ях, где [[х)[г = ~ хг, К = [О, Ц х [О, Ц х ... х [О, Ц. 2 20. [ ~ч~ х,) йх.где К=[О,Цх[О.Цх ... х[О.Ц. К 11 30. ~Их,гдеК= хЕИ~:х,>0(гю1,гп), Ях;ча к 31. /г ) )х~йх, К= хЕЫ'": хг)0(гю1,ог). ~ х~(1 к г'оы г 32. Доказать равенство Ф г ч [ хг Ихг [ Ихз ...
/ 1(х е,) Ыхиег = — ', [(х — и ) У(и) йи. о о а с 33. Найти потенциал иа себя однородного шара радиуса с и плотностк до. т.е, вычислить интеграл и- ' б11О а+ага гц г 1 г ц Фатгаггй„г ъ г г где рцз = (хг — хг)г .~. (у, -уз)г+(г, х )з () 2. Несобственные кратные интегралы 2.1. Несобствеиимй пг-кратный интеграл Римана. Определение 1. Точка хе Е Н нозыйоегося особой мочкой для иишегрироеония фунтики г": и™ ~(хо) Н (функиии у: Й~ Й), если г" не ограничена е любой окрестности Я(хо. 3).
Предположим, что все особые точки функции У: и™ Н образуют замкнутое множество У меры 0 (которое, в частности. мол'ет быть пустым). Возьмем последовательность множеств (Е„), п Е Й, обладающих свойствами: Ц каясдое множество Е лвляетсл открытым, измеримым по Жердину; 2) Е„С Е„ег и О Еч = мю '1 У, где Еч — замыкание множества Е . оен такую последовательность множеств назовем допустимой для иногегрироеания фуначии у с мн; жестаом особых точек 2. нли, короче, допустилюй.
1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Пусть функция у непрерывна почти всюду в области определения, т.е. разрывна лишь на множестве лебеговой меры О. Так как Ен С Енвз и Е вз О У ыю, то у каждой точки х к Еь есть окрестность б(х, 6(х)). в которой значения Функцию у ограничены. По теореме Гейне — Бореля из указанного семейства окрестностей ыожно выбрать их конечное число 5(х„6,), г' = 1, к, покрывающих мно:неспзо Еь. Пусть в окрестности 5(х„6;), г = .", 1., значения функции 1 ограничены числом М,. Тогда на множестве Е„значения функции 1 ограничены числолг М = тах(Мг, Мз, ..., Мг). Поскольку функция у' непрерывна почтп всюду в области определения и ограничена на каждом множестве Е„, то ее сужение на это множество ннтегрируемо по Риману.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
