И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Математический анализ - Кратные и криволинейные интегралы (1111813), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Д' (ф соя о+ ф соз)? 4- фебу) ЫЯ. 5 150. Вычислить интеграл г' = ц х 4уйг+ уг Ыггбх+ г бх бу,где Я вЂ” внешняя с~арона г границы куба К = ((х. у, г) б Иг: 0 ( х ( а, О ( у ( а, О ~ (г ~ (а). 151. Найти объем тела Т. ограниченного поверхностью Я, аацапиой уравнениями г = асахи, у = и ил е, г = -а+ а сох е, а > О, а > О, н плоскостямн х = О, г = О. 152. Доказать формулу щ — 'ге»»с = -' ц соя(т, и) ао, где Я вЂ” край компакта К, и — внешняя единичнал норыаль к поверхности Я в точке (с, «, с).
г = (б — х)г+(у — «)г+(ь — г)з и т ж (б — х, « — у, г' — г) — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке Я, «, 1). 153. Вычислить интеграл ) х~у йх+ бу+ гЫг, гце; = ((х, у, г) Е Иг; х + у ?л~, г = 0): а) непосредственно; б) используя формулу Стокса (в качестве поверхности В а "у»' ~1» "» " х-» — «'). г Р " исгти и иояожггтельном направаеннн.
1 6. Элементы векторного анализа 201 164. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл у у Ыя+ я йу+ я 4я, 7 где -, — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, з) б Й х + уз+ яэ = а ) с плоскостью, заданной уравнением я+ у+я = О, пробегаемая против хода часовой стрелки. если смотреть с положительной стороны осн Оя. 166.
Вычислить интеграл (яэ — уэ) йх+ (у — хэ) Ыу+ (г — ху) йэ, яюВ взятый по отрезку винтовой линии, заданной уравнениями х = асов р, у = амит, г = — т, от точки А = (а, О. О) до точки В = (а, О. Й). Прил~екал формулу Стокса, вычислить интегралы: 166. 1 = у(у+ г) зя+ (э+ х)Ыу+ (я+ у) Иг, где ", — эллипс. заданный уравнениями я = аз1п Г. у = 2аз)п1созй г = асозэ Д 0 ( 1 ( т, пробегаемый в направлении возрастания параметра д г — уг(уэ — э) 1я Ф (яэ — яэ) 4у Ф (хэ — ут) Иэ, где ; — сечение поаертиостп куба К = ((х.
у. з) б П~: О < с < а, 0 ( у ( а, 0 ( з < а] плоскостью, заданной уравнением э я+ у+ л = -а, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной г стороны осн Ох. ~ 6. Элементы векторного анализа 6.1. Скалярные и векторные поля. Если ка'кдой точке М пространства Й~, пг > 1, или некоторой области этого пространства поставлено в соответствие некоторое число у(М), то говорят. что задано скалярное поле 1 (например.
поле давления в атлюсфере. поле плотности сплошного распределения массы в объеме 1Г и т. д.). Если каждой ~очке М пространства И~, ш ) 1, или области этого пространства поставлен в соответствие некоторый вектор и(М), то говорят, что задано векторное поле и (наприлгер, поле тяготения системы масс пли сплошного распределения лгассы в ограничениолг объеме, иоле плотности импульса, поле плотности тока, поле магнитных сил и т. п.). 6.2.
Плотность аддптпвной функции областей. Восстановление алдитнвной функции по ее плотности. Пусть Ф(К) — аддитивная функция компакта К, т.е. функция, удовлетворяющая усло- вию Ф(К, О К,) = Ф(К1) + Ф(Кэ) для любых двух компактов без общих внутренних точек.
Число гз(М) = йш Ф(К) к-вг рК Ф(К) = ~т(н) г*. к (2) где дЛ вЂ” ыера компакта К, называется плошиосглью Фрикико Ф в точке М б К. Если плотность Гз(М) аддитивной функции областей Ф ггепрерывна или кусочно — непрерывна на компакте К, то Гл. 2. Кратные п эгрнволиненные интегралы б.З. Дифференциальный оператор Гамкльтока. Пусть (ээ(М), и(М), ... ) — множество скалярных н векторных полей, имеющих непрерывные производные по всем координатам, и пусть Т(р! = Т(р; Р(М), и(М), ... ) — некоторое выражение, имеющее смысл скаляра или вектора, линейное относительно произвольного вектора р: Т(иэ р, + оэрг) = аэ Т! р, ) + аэТ(рэ), где оэ, аэ — произвольные действительные числа. Пусть р т ау+ 61+ сй.
Тогда, в силу линейности Т, имеем Т(р) = аТ(г) + !эТ(у) + сТ(й). (1) 202 Полагаем Т(~) = — Т(!) + — Т(Я+ — Т(й), ...д . д д дх ду дг (2) заменяя в (1) компоненты вектора р символами дифференцирования по 'х, у и г соответ- ственно. Символ 1» (набла) называется дифференциальным оператором Гамильтона. В векторном анализе накболее важными выраженияьги Т, о которых упоминалось выше, являются: а) Т(Р! эо) = РР (эо — скалярное поле); б) Т(Р! и) = (Р, и) (скалярное произведение); в) Т(Р! и) = [Р, и] (векторное произведение).
На основании (2) получаем: а) Т(ч) = 1тю т ~~~!+ олу'+ — "й; б) Т( ч) = (1т, и) = о + дд + —, если и = (Р, !г, Я); в) Т(Ч) = [гу, и] = — — — = ( — — — ) г+ ( — — — ) у+ ~ — — ) л. о о о /оя оо'э . ог он ° Уоо ог1 о» оу о» ( зу 3» ! о э» ~о оу гэ' Р !г В Вектор в правой части а) называется градисноэол скалярного поля Р, Выражение в правой части б) называется расходияостью (пли диогрггнцигб) огкториого поля и. Вектор в правой части в) называется вихрем (или роторол) огкторного поля и. бА. Пронзводнал скалярного полл по направлению.
Градиент скалярного поля. Пусть ю — скалярное поле, определенное в области й С Н, т — гладкая кривая, лежащая э в й н проходящая через фиксированную точку Мо б й, г1 ! — длина дуги кривой от точки Мо до точки М. Если прн М Мо существует конечный предел отношения !ьэо(Мо) ю(М) — ю(Мо) г.'э! то он называется проиэеодиоб скалярного полаю в точке Мо вдоль кривой т и обозначается $(М,): дэ йш Р(М) — Э (Мо) (1) д! ы о гэ! Если функция ю дифференцируема в точке Мо, то ее производная вдоль кривой существует н для всех кривых, выходящим из точки Мо с одной и той же касательной т = (соя ау, соэдээ сов зэ), значение этой пРоизвоДной оДно и то же, а сама пРоизвоДнал называется проиэоодной по данному направлению т н вычисляетсв по формуле дэо — (Мо) = (бгад Р(Мо), т) = — (Мо) соз оэ + — (Мо) совА + — (Мо) соз гэ ° (2) дээ ду дэ» д! дх ду дг Вектор бгад ю(Мо) = фМо), одт(Мо), ф(Мо)) направлен из точки Мо в сторону быстрейшего возрастания скалярного поля Ьо, а его евклидова норма равна абсолютной величине производной пола эо в этом направлении.
на гяадэшй поверхности уровня Р(м) = с, с = сапог, касательная плоскость к поверхэюспэ в точке Мо ортогональиа вектору бгад Эо(Мо). 3 6. Элементы векторного апллпза гО3 6.3. Потенциальные векторныеполя. Цпркуллцпи векторного полл. Любое векторное лоле в, совпадающее с полем градиента некоторого скалярного поли р, называется попэонцвальиыя, а функцюо и называют в этом случае пощеициалоя коля и. Если вектор пола в имеет физический смысл силы, то нотенцнал и этого полл имеет физический смысл работы. Работа А силы в иа гладкой или кусочно-гладкой кривой т, соединяющей точку Мо с точкой Мы вычисллетсл по формуле А= (в, т)а1, ч где т — единичный касательный вектор к кривой ",.
В силу условия в = бгаа оо, из (1) получаем А = (бгай рц т) 61 = / — 61 = р(Мо) — р(Мо). Г ар д1 (2) мом1 Мо'М, т.е, работа силы иа пути МоМо равна разности потенциалов в точках Мо н Мо. Если в — произвольное непрерывное векторное поле, то интеграл по замкнутому контуру (в, т) а! называется циркуляцией поля и по контуру Ч. Пцркуллцнл непрерывного потенциального векторного поля в по всякому замкнутому контуру Т, лежащему в односвлзной области, равна нулю.
Справедливо н обратное утвержде- ние: если циркуляция непрерывного векторного поля и равна нулю по любому замкнутому контуру 1, лежащему в односвлзной области, то поле и потенциально. 6.6. Поток п расходпмость векторного полл. Пусть Я вЂ” конечная »ладках нлн кусочно-гладкая поверхность, в — векторное поле, заданное в области й, содержащей все точки поверхности Я. Выражение (3) ~', я - ф...> ба где и — единичный вектор нормали, характеризующий сторону поверхности, называется потоком поля и через поверхность Я. Вычисление потока лвллетсл линейной операцией. Если поверхность Я, ограничивающая область й, замкнута и при стлгивании области й в точку М существует конечный предел ю(и; 5) и-м рй где рй — жорданова мера множества О, то он называется раскоднмосчлою нли дивергенцией оекоаоркого поля и в точке М б й и обозначается й!ч в(М): 61ч в(М) = Ьа — д (и, и)НЯ.
(г) и — мийо Таким образом. цо определению а1ч'и(М) есть плотность аддитивной функции областей— потока векторного поля и через замкнутую поверхность 5. Если компоненты поля в = (Р, Я, Я) иыеют в области й непрерывныепроизводные —, —, то справедлива формула зг зо зн зэ' зэ' з»' ойч и(М) = — (М) + — (М) + — (М), дР д1'„> дЯ д* ду д» (3) получаемая на основании формулы (2), формулы Остроградского н теоремы о среднеоь Ранее, в п.6,3, показали, что 61чи ы (чт.в).
где Р— дифференциальный оператер Га- мильтона, 8 8. Элементы векторного анализа М Используя определение градиента скалярного поля, получаем я (н~ - (-(яо, -М, -<н)' - Н, †. — я » ° (ив = Ло уи+ *- гтди ди ди (,ах ' ау ' дх ) Направление бган и(М) определяется векторны бгаг> и(М) У 12 9 41 е(М) = = ( —, — —, -- ) = (совая, соз>?я. соя тг), '98гас> и(М)8 (,25' 25' 5/ Единичный вектор т, выходящий нз начала координат в направлении биссектрисы первого координатного угла, имеет вид т = ( —, —, 0) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
