А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , fn (t))> :dy(t)= A(t)y(t) + f (t).(3.29)dtКак и в предыдущем пункте Y (t) обозначает фундаментальную матрицу соответствующей(3.29) однородной системы ОДУ dy(t)/dt = A(t)y(t) с той же самой матрицей коэффициентов A(t).Определение 3.4.3. Общим решением линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений n-го порядка (3.29) называется зависящее от n произвольных постоянных решение этой системы такое, что любое другое решение системы (3.29) можетбыть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.Теорема 3.4.3.
Общее решение y O,H (t) линейного неоднородного ОДУ (3.29) представимо в видеy O,H (t) = Y (t)c + y H (t), ∀c = (c1 , c2 , . . . , cn )> ∈ Cn ,(3.30)где y H – произвольное частное решение неоднородной системы ОДУ.Доказательство. В силу линейности системы (3.29) вектор-функция y O,H (t) является решением (3.29) для любого вектора констант c ∈ Cn . Согласно определению общего решения осталось показать, что для любого наперед заданного решения ye(t) системы (3.29)найдется вектор констант ec ∈ Cn , что на отрезке [a, b] будет выполнено равенствоye(t) = Y (t)ec + y H (t).(3.31)Разность y(t) = ye(t) − y H (t) двух решений неоднородной системы является решением однородной системы, dy(t)/dt = A(t)y(t).
Тогда по теореме 3.4.2 об общем решении линейнойоднородной системы ОДУ найдется такой вектор констант ec ∈ Cn , что на рассматриваемомотрезке выполнено равенство y(t) = Y (t)ec, которое приводит к (3.31).Построения одного из частных решений неоднородной системы может быть проведенометодом вариации постоянных и выражено с помощью введенного в (3.28) матрицантаZ(t, τ ).Теорема 3.4.4. Для любого t0 ∈ [a, b] формулаZty H (t) =Z(t, τ )f (t)dτ(3.32)t0задает частное решение неоднородной системы (3.29), удовлетворяющее условию y H (t0 ) =0.Доказательство.
Воспользуемся методом вариации постоянных, согласно которому частное решение неоднородной системы ищется в виде, повторяющем структуру (3.24) общегорешения однородной системы, в котором вектор констант c заменен на пока произвольнуюнепрерывно дифференцируемую вектор-функцию c(t) = (c1 (t), c2 (t), . . . , cn (t))> , а именно:y(t) = Y (t)c(t).(3.33)3.5. ФСР и общее решение линейной однородной системы ОДУ47Поскольку фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению dY (t)/dt = A(t)Y (t), тогдаdy(t)dY (t)dc(t)dc(t)=c(t) + Y (t)= A(t)Y (t)c(t) + Y (t).(3.34)dtdtdtdtПодставляя выражения (3.33) и (3.34) в уравнение (3.29) и приводя подобные слагаемые,получаем уравнение для определения вектор-функции c(t):Y (t)dc(t)= f (t).dt(3.35)В силу невырожденности фундаментальной матрицы это уравнение можно переписатьв виде dc(t)/dt = Y (t)−1 f (t) и проинтегрировать от t до t0 .
Полагая по определению,что интеграл от вектор-функцииесть вектор, составленный из интегралов координатныхRt−1функций, имеем c(t) = t0 Y (τ ) f (τ )dτ . После подстановки в (3.33) окончательно получаемZty(t) = Y (t)c(t) = Y (t)−1tY (τ ) f (τ )dτ =t03.5Z−1ZtY (t)Y (τ ) f (τ )dτ =t0Z(t, τ )f (τ )dτ.t0Построение ФСР для линейной однородной системы ОДУ спостоянными коэффициентамиРассмотрим однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A(t) ≡ A = kai,j k, ai,j ∈ R, i, j = 1, . . .
, n:dy(t)= Ay(t).dt(3.36)По аналогии со скалярным уравнением dy(t)/dt = ay(t), имеющим решение y(t) = h exp{at}для любого h ∈ C, будем искать нетривиальные решения уравнения (3.36) в видеy(t) = h exp{λt},h = (h1 , h2 , . . . , hn )> ∈ Cn ,λ ∈ C.(3.37)Подстановка выражения (3.37) в уравнение (3.36) приводит к задаче нахождения такихλ ∈ C, при которых система линейных алгебраических уравнений(A − λE)h = θ(3.38)имеет нетривиальное решение h. Как известно из курса линейной алгебры, такие λ называются собственными значениями матрицы A, а отвечающие им вектора h – собственными векторами матрицы A. Собственные значения и только они являются корнями такназываемого характеристического многочлена M (λ):M (λ) = det(A − λE) = 0.(3.39)483.5.1Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУПостроение ФСР, когда существует базис из собственных векторов.Поскольку характеристический многочлен имеет степень n, тогда по основной теоремеалгебры у него имеется ровно n корней (собственных значений), с учетом их кратностиλ1 , .
. . , λn , λj ∈ C. Из курса линейной алгебры известно, что существует не более, чемn линейно независимых собственных векторов матрицы A. Остановимся сначала на случае, когда количество линейно независимых собственных векторов в точности равно n.Заметим, что в этом случае собственные вектора составляют базис пространства Cn .Теорема 3.5.1. Пусть у матрицы A имеется ровно n линейно независимых собственных векторовh1 , h2 , . . . , hn ,отвечающих соответствующим собственным значениямλ1 ,λ2 ,...,λn .y 2 (t) = h2 exp{λ2 t},...,Тогда вектор-функцииy 1 (t) = h1 exp{λ1 t},y n (t) = hn exp{λn t}(3.40)образуют фундаментальную систему решений (3.36) на произвольном отрезке [a, b], a <b.Доказательство. Рассмотрим произвольный отрезок [a, b].
Для любого j = 1, . . . , n собственное значение λj и соответствующий собственный вектор hj удовлетворяют уравнению(3.38), и тогда каждая из вектор-функций y j (t) = hj exp{λj t} является решением уравнения (3.36) на [a, b] по построению.Докажем линейную независимость на отрезке [a, b] построенной системы функций.
Дляэтого согласно теореме 3.3.3 об альтернативе для определителя Вронского достаточноубедиться, что det Y (t) 6= 0 для некоторого t ∈ [a, b], где Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)).Рассмотрим отрезок [c, d], включающий в себя исходный отрезок [a, b] и точку t = 0:[a, b] ⊆ [c, d],0 ∈ [c, d].Вектор-функции из (3.40) являются решениями системы (3.36) на отрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определитель Вронскогоdet Y (0) = det(h1 , h2 , . . .
, hn ) 6= 0,так как в противном случае составляющие Y (0) столбцы – собственные вектора h1 , h2 , . . . , hn– были бы линейно зависимыми. Согласно теореме 3.3.3 об альтернативе для определителяВронского det Y (t) 6= 0 на всем отрезке [c, d], а значит и на его части [a, b].3.5.2Построение ФСР, когда не существует базиса из собственных векторов.Рассмотрим случай, когда когда количество существующих у матрицы A линейно независимых собственных векторов строго меньше, чем порядок системы n. Выпишем все попарно различные собственные значения λj с соответствующими кратностями mj :λ1 ,k1 ,λ2 ,k2 ,...,...,λ` ,k` ,λi =6 λj при i 6= j,kj > 1, k1 + k2 + · · · + k` = n.3.5.
ФСР и общее решение линейной однородной системы ОДУ49Пусть далее λ ∈ {λ1 , . . . , λ` } обозначает одно из собственных значений с соответствующей кратностью k. Покажем, что каждому такому собственному значению можно сопоставить ровно k вектор-функций, являющихся решениями однородной системы (3.36).Если размерность s = dim Ker(A − λE) собственного подпространства, определяющая количество линейно независимых собственных векторов для данного собственного значения,равна кратности собственного значения, s = k, тогда искомые функции строятся согласно(3.40).Если размерность собственного подпространства меньше кратности собственного значения, s < k, то, как известно из курса линейной алгебры, можно выбрать собственные(1)(1)(1)векторы h1 , h2 , .
. . , hs так, что состоящая ровно из k векторов система собствен(1)(m)ных векторов hj и присоединенных векторов hj , m = 2, . . . , pj , j = 1, . . . , s, pj > 1,p1 + p2 + · · · + ps = k, которую запишем в виде(1)(2)(p1 )h1 , h1 , . . . h1 ,(1)(2)(p2 )h2 , h2 , . . . h2 ,............(1)(2)(ps )hs , hs , .
. . hs ,удовлетворяет уравнениям(1)Ahj(2)Ahj(m)Ahj(pj )Ahj=(1)λhj ,(2)(1)= λhj + hj ,...(m)(m−1)= λhj + hj,...(pj )(pj −1)= λhj + hj.(3.41)С помощью собственных и присоединенных векторов построим семейство из следующихk функций(1)(1)y j (t) = hj exp{λt},t (1)(2)(2)exp{λt},(3.42)y j (t) =hj + hj1!... t (m−1) t2 (m−2)tq (m−q)tm−1(m)(1)(m)y j (t) =hj + hj+ hj+ · · · + hj+ ··· +hexp{λt},1!2!q!(m − 1)! j... t (pj −1) t2 (pj −2)tq (pj −q)tpj −1(pj )(1)(pj )y j (t) =hj + hj+ hj+ · · · + hj+ ··· +hexp{λt},1!2!q!(pj − 1)! jj = 1, .
. . , s.Докажем, что все функции из построенного семейства являются решениями линей(m)ной однородной системы (3.36). Рассмотрим функцию y j (t), вычислим ее производную(m)dy j (t)/dt и сгруппируем результат так, чтобы удобно было воспользоваться соотноше-50Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУниями (3.36).
Имеем(m)dy j (t)=dt (m−1)= hj+(m)+λhj(m)= Ahj(m)= Ay j (t),t (m−2)t2 (m−3)tq (m−q−1)tm−2(1)hj+hj+ · · · + hj+ ··· +hj +1!2!q!(m − 2)!2qt (m−1) tttm−2(m−2)(m−q)(2)+λhj+ λhj+ · · · + λhj+ ··· +λhj +1!2!q!(m − 2)!m−1t(1)+λhj exp{λt} =(m − 1)!tt2 (m−2)tq (m−q)tm−1(m−1)(1)+Ah+ Ahj+ · · · + Ahj+ ··· +Ahexp{λt} =1! j2!q!(m − 1)! jm = 1, . . . , pj ,j = 1, . . . , s.Докажем, что система из n вектор-функций, состоящая из объединения построенныхдля всех λ ∈ {λ1 , .
. . , λ` } решений вида (3.42), является линейно независимой на произвольном отрезке [a, b]. Рассуждая также, как и в теореме 3.5.1, рассмотрим отрезок [c, d],[a, b] ⊆ [c, d], 0 ∈ [c, d]. Вектор-функции из (3.42) являются решениями системы (3.36) наотрезке [c, d]. В принадлежащей этому отрезку точке t = 0 определитель Вронского этойсистемы отличен от нуля, поскольку соответствующая матрица Y (0) составлена из столбцов, являющихся собственными и присоединенными векторами матрицы A, совокупностькоторых линейно независима и образует базис в Cn . Согласно теореме 3.3.3 об альтернативе для определителя Вронского det Y (t) 6= 0 на всем отрезке [c, d], а значит и на его части[a, b].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
