А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поэтому рассматриваемая система решений (3.36) является линейно независимой на[a, b] и, следовательно, составляет фундаментальную систему решений на этом отрезке.Тем самым установлена справедливость следующей теоремы.Теорема 3.5.2. Система из n вектор-функций, состоящая из объединения построенных для всех попарно различных собственных значений λ1 , . . . , λ` решений вида (3.42), является фундаментальной системой решений (3.36) на произвольном отрезке [a, b], a < b.3.5.3Построение ФСР в вещественном виде.В предыдущем параграфе при построении ФСР мы фактически не использовали то,что матрица системы вещественна.
При этом ФСР конструктивно построена в комплексной форме. Однако общая теорема 3.4.1 из параграфа 3.4.1 гарантирует существованиеФСР в вещественном виде. Возникает вопрос, нельзя ли также конструктивно построитьФСР в вещественном виде в случае, если матрица системы составлена из вещественныхкоэффициентов, ai,j ∈ R? Ответ на этот вопрос положительный. Ниже даны пояснения.Напомним, что у вещественной матрицы характеристический многочлен имеет вещественные коэффициенты. Как следует из курса линейной алгебры, его комплекснозначныекорни (собственные значения матрицы системы) идут комплексно сопряженными парами:λ = p + iq, λ∗ = p − iq, M (λ) = 0, M (λ∗ ) = 0.
Тогда в построенной в теореме 3.5.2 фундаментальной системе решений вектор-функции, отвечающие вещественным собственнымзначениям, являются вещественными, а отвечающие комплексным собственным значениям функции встречаются только комплексно сопряженными парами. Заменим в фундаментальной системе решений каждую такую пару функций y(t) = (y1 (t), . .
. , yn (t))>и y ∗ (t) = (y1∗ (t), . . . , yn∗ (t))> соответствующими действительными и мнимыми частями,3.6. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка51y R (t) = Re y(t), y I (t) = Im y(t). Так какy R (t) = 0.5(y(t) + y ∗ (t)),y I (t) = 0.5i(y ∗ (t) − y(t)),(3.43)тогда y R (t), y I (t) – решения однородной системы как линейные комбинации решений. Построенная таким образом совокупность вектор-функций состоит из n вещественных решений линейной однородной системы ОДУ и задает ее фундаментальную систему решений.Для обоснования этого факта осталось убедиться в линейной независимости над полемвещественных чисел построенной системы на любом отрезке [a, b].
Предположим противное, т.е. некоторая линейная комбинация с вещественными коэффициентами rj ∈ R дляпостроенных функций обращается в ноль на некотором отрезке [a, b]. Не ограничиваяобщности можно считать, что в такой линейной комбинации встречается сумма вида· · · + r1 y R (t) + r2 y I (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Подставляя из (3.43) выражения для всех встречающихся пар через соответствующиекомплексные вектор-функции, получаем равенство· · · + 0.5(r1 − ir2 )y(t) + 0.5(r1 + ir2 )y ∗ (t) + · · · = 0,r12 + r22 > 0.Таким образом, нетривиальная линейная комбинация c комплексными коэффициентамидля вектор-функций из исходной фундаментальной системы решений обратилась в ноль,что противоречит ее линейной независимости.3.6Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.
Общиесвойства.Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядкаa0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t),t ∈ [a, b](3.44)с непрерывными на отрезке [a, b] действительными коэффициентами ak (t), k = 1, 2, . . . , nи непрерывной на отрезке [a, b] комплекснозначной функцией f (t).В этом параграфе мы рассматриваем, вообще говоря, комплекснозначные решенияуравнения (3.44). Основная цель состоит в описании множества всех решений этого уравнения.Введем линейный дифференциальный оператор n-го порядка.Определение 3.6.1.
Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называется операторLy = a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t),t ∈ [a, b].(3.45)Используя это определение, уравнение (3.44) можно записать в видеLy = f (t),t ∈ [a, b].Если функция f (t) равна нулю на отрезке [a, b], то уравнение (3.44) называется однородным, а если функция f (t) не равна нулю на отрезке [a, b], то уравнение (3.44) называетсянеоднородным.52Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУТеорема 3.6.1. Если функции yk (t), k = 1, 2, . .
. , m являются решениями уравненийmPLyk = fk (t), то функция y(t) =ck yk (t) , где ck – комплексные постоянные, являетсяk=1mPрешением уравнения Ly = f (t), где f (t) =ck fk (t).k=1Доказательство. Доказательство этой теоремы следует из линейности оператора L, которая является следствием линейности оператора дифференцирования:Ly = LmXck yk (t) =k=1mXck Lyk =k=1mXck fk (t) = f (t),t ∈ [a, b].k=1Следствие 3.6.1.
Линейная комбинация решений однородного уравнения являетсярешением однородного уравнения. Разность двух решений неоднородного уравнения с одинаковой правой частью есть решение однородного уравнения.Теорема 3.6.2. Линейность и однородность уравнения (3.44) сохраняется при замене независимого аргумента t = ϕ(τ ), где ϕ(τ ) любая n раз дифференцируемая на отрезке [α, β] функция, для которой ϕ0 (τ ) 6= 0, ∀τ ∈ [α, β].Линейность уравнения (3.44) сохраняется при замене искомой функции y(t) = c(t)z(t)+d(t), где c(t), d(t) – n раз непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функции, c(t) 6= 0,∀t ∈ [a, b].
При d(t) ≡ 0 сохраняется также однородность уравнения (3.44).Доказательство. Из правила дифференцирования сложной функции y = y(ϕ(τ )) следуют формулыdy1dy=· 0 ,dtdτ ϕ (τ )Таким образом, производнаяd2 yd2 y1dy ϕ00 (τ )=·−·,...dt2dτ 2 [ϕ0 (τ )]2 dτ [ϕ0 (τ )]3dk yпредставляет собой линейную комбинацию производныхdtkdy d2 ydk y, 2 , . . .
, k с непрерывными на [α, β] коэффициентами. Отсюда вытекает справедлиdτ dτdτвость первой части теоремы.Согласно формулам дифференцирования произведения и суммы имеем(k)y (k) (t) = c(t)z(t) + d(t)== c(t)z (k) (t) + kc0 (t)z (k−1) (t) +k(k − 1) 00c (t)z (k−2) (t) + · · · + c(t)(k) z(t) + d(k) (t).2!Полученное выражение линейно зависит от z(t), z 0 (t), . . .
, z (k) (t), а при d(t) ≡ 0 это выражение однородно относительно z(t). Отсюда вытекает справедливость второй части теоремы.Теорема 3.6.3. Решение задачи КошиLy = f (t),(0)y(t0 ) = y0 ,(1)y 0 (t0 ) = y0 ,...,(n−1)y (n−1) (t0 ) = y0представимо в виде суммы y(t) = v(t)+w(t), где функция v(t) является решением задачиКоши для неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиямиLv = f (t),v(t0 ) = 0,v 0 (t0 ) = 0,...,v (n−1) (t0 ) = 0,3.7. Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского53а функция w(t) является решением задачи Коши для однородного уравнения с ненулевыминачальными условиямиLw = 0,(0)w(t0 ) = y0 ,(1)w0 (t0 ) = y0 ,...,(n−1)w(n−1) (t0 ) = y0.Доказательство.
Сумма y(t) = v(t) + w(t) удовлетворяет неоднородному уравнению всилу теоремы 3.6.1. Для начальных условий имеем равенства(k)(k)y (k) (t0 ) = v (k) (t0 ) + w(k) (t0 ) = 0 + y0 = y0 ,k = 0, 1, . . . , n − 1.Теорема 3.6.4. Решение задачи Коши для однородного уравненияLy = 0,(0)y(t0 ) = y0 ,(1)y 0 (t0 ) = y0 ,...,(n−1)y (n−1) (t0 ) = y0представимо в виде суммыy(t) =n−1X(m)ym (t)y0 ,m=0где функции ym (t) являются решениями задач Коши:(m)ym(t0 ) = 1,Lym = 0,(k)ym(t0 ) = 0,∀k ∈ {0, 1, . .
. , n − 1}\{m}.Доказательство. Функция y(t) является решением однородного уравнения как линейнаякомбинация решений ym (t) однородного уравнения с постоянными коэффициентами в силутеоремы 3.6.1. Осталось убедиться в выполнении начальных условий:y(k)(t0 ) =n−1X(m)(k)ym(t0 )y0(k)(k)(k)= yk (t0 )y0 = y0 ,k = 0, 1, . . . , n − 1.m=03.73.7.1Линейная зависимость скалярных функций и определительВронскогоЛинейная зависимость произвольных скалярных функцийВ этом параграфе рассматриваются произвольные скалярные функции ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . .
, ϕm (t),определены на отрезке [a, b] и принимающие комплексные значения. Никакая связь с решениями дифференциальных уравнений пока не предполагаются.Определение 3.7.1. Скалярные функции ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t) называются линейнозависимыми на отрезке [a, b], если найдется такие комплексные константы ck ∈ C,mPk = 1, . . .
, m,|ck | > 0, что справедливо равенствоk=1c1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,∀t ∈ [a, b].(3.46)Если же равенство (3.46) выполнено только для тривиального вектора констант, ck =0, k = 1, 2, . . . , n, тогда скалярные функции ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t) называются линейнонезависимыми на отрезке [a, b].54Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУСвойства линейной зависимости достаточно гладких скалярных и векторных функцийоказываются тесно связанными. Пусть функции ϕj (t) являются (m − 1) раз непрерывнодифференцируемыми на [a, b], j = 1, .
. . , m. Сопоставим каждой скалярной функции ϕj (t)рассматриваемого семейства вектор-функцию ϕj (t), составленную из самой функции и еепроизводных до порядка m − 1 включительно:dp ϕ(t).(3.47)dtpЛемма 3.7.1. Система ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t), состоящая из (m − 1) раз непрерывнодифференцируемых на отрезке [a, b] скалярных функций, является линейно зависимойна этом отрезка тогда и только тогда, когда соответствующая система построенных согласно (3.47) вектор-функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), .
. . , ϕm (t) является линейно зависимойна отрезке [a, b].(m−1)ϕj (t) = (ϕj (t), ϕ0j (t), . . . , ϕj(t))> ,ϕ(p) (t) =j = 1, . . . , m,Доказательство. Из определения (3.46) линейной зависимости скалярных функций вытекает существования нетривиального набора комплексных констант c1 , c2 , . . . , cm , что наотрезке [a, b] выполнены ровно m равенствc1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,c1 ϕ01 (t) + c2 ϕ02 (t) + · · · + cm ϕ0m (t) = 0,...(m−1)(m−1)(m−1)c1 ϕ1(t) + c2 ϕ2(t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,(3.48)первое из которых есть в точности (3.46), а остальные получаются почленным дифференцированием (3.46) соответствующее число раз. С помощью (3.47) уравнения (3.46) можнозаписать в векторном видеc1 ϕ1 (t) + c2 ϕ2 (t) + · · · + cm ϕm (t) = 0,(3.49)который согласно (3.19) означает линейную зависимость вектор-функций.Обратно, из линейной зависимости построенных согласно (3.47) вектор-функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
