А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . , n.(3.53)По теореме существования и единственности решения задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка функции yj (t) существуют и определены однозначно. Составленный из них определитель Вронского ∆(t), в силу условий(3.53), таков , что ∆(t0 ) = detB 6= 0. Следовательно по теореме 3.7.2 он не равен нулю нив одной точке отрезка [a, b] и функции yj (t) линейно независимы на отрезке [a, b]. Значитони образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.50) и теорема доказана.Способ 2. Рассмотрим эквивалентную уравнению (3.50) однородную систему ОДУ (3.51).Согласно теореме 3.4.1 у этой системы существует фундаментальная матрица Y (t), еевектор-столбцы составляют фундаментальную систему решений (3.51).
Тогда в силу леммы 3.7.1 первые компоненты этих вектор-столбцов являются линейно независимыми решениями уравнения (3.50) и поэтому составляют его фундаментальную систему решений.Замечание 1. Из доказательства теоремы 3.8.1 следует, что фундаментальная система решений уравнения (3.50)определена неоднозначно. Действительно, выбирая различ-58Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУные матрицы B такие, что det B 6= 0, мы получим различные фундаментальные системырешений уравнения (3.50).Замечание 2. Если коэффициенты уравнения вещественны, aj (t) ∈ R, тогда, какследует из замечания к теореме 3.4.1, фундаментальная матрица Y (t) для системы ОДУ(3.51) в доказательстве теоремы 3.8.1 может быть выбрана вещественной, и поэтому фундаментальная система решений линейного однородного ОДУ (3.50) также может бытьвыбрана вещественной.Пример 3.8.1.
Рассмотрим три Функции y1 (t) = t, y2 (t) = t3 и y3 (t) = |t|3 на отрезке[−1, 3]. Эти функции линейно независимы на рассматриваемом отрезке и удовлетворяют линейному однородному ОДУ второго порядкаt2 y 00 − 3ty 0 + 3y = 0,t ∈ [−1, 3].Кажущееся противоречие с теоремой 3.8.1, согласно которой ФСР должна состоять издвух функций объясняется тем, что для данного уравнения не выполнены условия этойтеоремы: коэффициент a0 (t) = t2 обращается в ноль при t = 0 ∈ [−1, 3].3.8.2Общее решение линейного однородного ОДУОпределение 3.8.2. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.50) называется зависящее от n произвольных постоянных решениеэтого уравнения такое, что любое другое решение уравнения (3.50) может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.Теорема 3.8.2.
Пусть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – фундаментальная система решений линейного однородного ОДУ (3.50) на отрезке [a, b]. Тогда общее решение этого уравненияна рассматриваемом отрезке имеет видyO,O (t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t),∀c = (c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ Cn .(3.54)Доказательство. Приведем два способа доказательства.Способ 1. Так как линейная комбинация решений однородного уравнения (3.50) является решением этого уравнения, то при любых значениях постоянных ck функция yO,O (t) ,определяемая формулой (3.54), является решением линейного однородного дифференциального уравнения (3.50).Покажем теперь, что любое решение уравнения (3.50) может быть получено из (3.54)в результате выбора значений постоянных ck . Пусть ỹ(t) - некоторое решение уравнения(3.50).
Рассмотрим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных ckc1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) + · · · + cn yn (t0 )=ỹ(t0 ),000c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) + · · · + cn yn (t0 )=ỹ 0 (t0 ),(3.55)...(n−1)(n−1)(n−1)c1 y1(t0 ) + c2 y2(t0 ) + · · · + cn yn(t0 ) = ỹ (n−1) (t0 ),где t0 – некоторая точка отрезка [a, b]. Определитель этой системы равен определителюВронского в точке t0 и не равен нулю .
Следовательно система (3.55) имеет единственноерешение c̃1 , c̃2 , . . . , c̃n .Рассмотрим функциюnXŷ(t) =c̃k yk (t).k=13.8. ФСР и общее решение линейного ОДУ59Эта функция является решением уравнения (3.50). Так как постоянные c̃1 , c̃2 , . . . , c̃n представляют собой решение системы (3.55), то функция ŷ(t) такова, чтоŷ (k) (t0 ) = ỹ (k) (t0 ),k = 0, 1, . . . , n − 1.Следовательно функции ŷ(t) и ỹ(t) являются решениями уравнения (3.50) и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям в точке t0 . По теореме о существовании иединственности решения задачи Коши эти функции должны совпадать:ỹ(t) = ŷ(t) =nXc̃k yk (t).k=1Способ 2. Функция в (3.54) дает решение линейного однородного ОДУ (3.50) как линейная комбинация его решений.
Осталось показать, что выбором вектора констант в формуле(3.54) можно охватить все решения (3.54). Действительно, зафиксируем произвольное решение y(t) уравнения (3.54) и составим вектор-функцию y(t) = (y(t), y 0 (t), . . . , y (n−1) (t))> , а(n−1)также вектор-функции y j (t) = (yj (t), yj0 (t), . . . , yj(t))> , j = 1, . . . , n, отвечающие фундаментальной системе решений.
Построенные вектор-функции являются решениями линейной однородной системы ОДУ (3.51), причем по лемме 3.7.1 система y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)линейно независима на отрезке [a, b] и поэтому составляет фундаментальную систему решений для системы ОДУ (3.51) на рассматриваемом отрезке. Тогда по теореме 3.4.2 обобщем решении линейной однородной системы ОДУ для любого решения (3.51), а значити для данного y(t), найдутся такие константы c1 , c2 , . . . , cn , что всюду на [a, b] выполненовекторное равенство y(t) = c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cn y n (t), первые компоненты которогодают равенствоy(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t).Отметим, что для фиксированного решения y(t) константы c1 , c2 , . .
. , cn в последнем представлении определены однозначно. Теорема 3.8.2 доказана.Замечание. Если все коэффициенты уравнения (3.50) вещественны, aj (t) ∈ R, то и общее решение естественно искать в классе вещественнозначных функций. Тогда при выборевещественной фундаментальной системы решений (см. замечание к теореме 3.8.1 ) формула (3.54) при c ∈ Rn дает общее вещественнозначное решение линейного однородногоОДУ.3.8.3Общее решение линейного неоднородного ОДУ.Рассмотрим линейное неоднородное ОДУ с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами aj (t) ∈ R, j = 0, .
. . , n, a0 (t) 6= 0 и правой частью f (t):a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t).(3.56)Перейдем к описанию общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка (3.56). Определение общего решения этого уравнения аналогично определению общего решения однородного уравнения.Определение 3.8.3. Общим решением линейного неоднородного дифференциальногоуравнения n-го порядка (3.56) называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого уравнения такое, что любое другое решение уравнения (3.56) может бытьполучено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.60Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУТеорема 3.8.3.
Пусть y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) – фундаментальная система решений линейного однородного ОДУ (3.50) на отрезке [a, b], yH (t) – некоторое (частное) решениенеоднородного уравнения (3.56). Тогда общее решение линейного неоднородного ОДУ (3.56)на рассматриваемом отрезке имеет видyO,H (t) = yH (t) + yO,O (t) = yH (t) + c1 y1 (t) + c2 y2 (t) + · · · + cn yn (t),∀cj ∈ C,j = 1, . .
. , n.(3.57)Доказательство. Для любого вектора констант c ∈ Cn формула (3.57) определяет решение линейного неоднородного ОДУ (3.56) в силу линейности уравнения. Согласно определению общего решения осталось показать, что выбором вектора констант в формуле(3.57) можно получить любое наперед заданное решение (3.56), т.е. для любого решенияye(t) неоднородного ОДУ (3.56) найдутся константы ec1 , ec2 , . . . , ecn , что на отрезке [a, b] будетвыполнено равенствоye(t) = yH (t) + ec1 y1 (t) + ec2 y2 (t) + · · · + ecn yn (t).(3.58)Разность y(t) = ye(t) − yH (t) двух решений линейного неоднородного ОДУ (3.56) является решением однородного ОДУ (3.50).
По теореме 3.8.2 об общем решении линейногооднородного ОДУ найдется такой вектор констант ec ∈ Cn , что на рассматриваемом отрезке выполнено равенство y(t) = ec1 y1 (t) + ec2 y2 (t) + · · · + ecn yn (t), а вместе с ним и искомоеравенство (3.58).3.8.4Метод вариации постоянных.Из теоремы 3.8.3 следует, что для построения общего решения неоднородного дифференциального уравнения (3.56) достаточно знать фундаментальную систему решенийоднородного уравнения(3.50) и какое нибудь решение неоднородного уравнения (3.56). Рассмотрим метод построения решения yH (t) неоднородного уравнения (3.56) в случае, когдаизвестна фундаментальная система решений однородного уравнения (3.50).
В этом методе, как и в случае линейной неоднородной системы ОДУ, частное решение ищется в виде,повторяющем структуру (3.54) общего решения однородного ОДУ, в котором константыc1 , c2 , . . . , cn заменены на пока произвольные непрерывно дифференцируемые на отрезке[a, b] функции c1 (t), c2 (t), . . . , cn (t), а именно:yH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + · · · + cn (t)yn (t).(3.59)Перейдем к векторной форме записи и введем вектор-функции(n−1)y j (t) = (yj (t), yj0 (t), . . . , yj(t))> , j = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
