А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

. . , n,составляющие фундаментальную систему решений однородной системы ОДУ (3.51), Y (t) =(n−1)0(y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) – соответствующая фундаментальная матрица, y H (t) = (yH (t), yH(t), . . . , yH (Тогда задача сводится к нахождению вектор-функции c(t) = (c1 (t), c2 (t), . . . , cn (t))> , длякоторой функция y H (t) = Y (t)c(t) является решением следующей линейной неоднороднойсистемы ОДУ0 0  .  .. dy(t)(3.60)= A(t)y(t) + f (t), f (t) =  0 ,dt f (t) a0 (t)3.8. ФСР и общее решение линейного ОДУ61где матрица A(t) определена в (3.51). Тогда можно воспользоваться полученной в теореме 3.4.4 формулой (3.32) для частного решения произвольной линейной неоднороднойсистемы ОДУ,ZtZ(t, τ )f (t)dτ,y H (t) =Z(t, τ ) = Y (t)Y −1 (τ ),t0и затем взять первую компоненту полученной вектор-функции.

Однако при практическомиспользовании метода вариации постоянных и нахождения вектор-функции c(t) достаточно выписать полученную в (3.35) при доказательстве теоремы 3.4.4 систему Y (t)dc(t)/dt =f (t), которая для рассматриваемых фундаментальных матриц и вектора правой частипринимает видy1 (t)y10 (t)...y2 (t)y20 (t).........yn (t)yn0 (t)...... (n−2)(n−2)(n−2) y1(t) y2(t) .

. . yn(t)(n−1)(n−1)(n−1)y1(t) y2(t) . . . yn(t)c01 (t)c02 (t).. 0 .  cn−1 (t)c0n (t)00...   = 0  f (t)a0 (t).(3.61)Из этой системы однозначно (∆(t) = det Y (t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b]) определяются производныеc0k (t) = gk (t). Интегрируя, найдем функцииZtck (t) =gk (τ )dτ,k = 1, 2, . . . , n,t0а значит и искомое решение неоднородного уравнения (3.56)yH (t) =nXk=1Ztyk (t)gk (τ )dτ.t0Тем самым показано существования частного решения линейного неоднородного уравнения (3.50) в виде (3.59).Проведенные выше рассуждения использовали некоторые факты из теории линейныхсистем дифференциальных уравнений. Можно было бы провести соответствующие рассмотрения напрямую.

Покажем, как это сделать. Пусть производные c0k (t) функций ck (t)из представления (3.59) определяются для каждого t ∈ [a, b] из системы линейных алгебраических уравнений 3.61. Отметим одну важную закономерность, вытекающую из (3.61).Первые (n − 1) равенств в (3.61) приводят к соотношениям(k)(k)c01 (t)y1 (t) + c02 (t)y2 (t) + c0n (t)yn(k) (t) = 0,k = 0, 1, . . . , n − 2.С учетом этих равенств выражения для производных частного решения из (3.59) прини-62Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУмают вид= c1 (t)y10 (t) + c2 (t)y20 (t) + cn (t)yn0 (t),= c1 (t)y100 (t) + c2 (t)y200 (t) + cn (t)yn00 (t),...(n−1)(n−1)(n−1)yH (t) = c1 (t)y1(t) + c2 (t)y2(t) + cn (t)yn(n−1) (t),nX(n)(n)(n)(n−1)(n)yH (t) = c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + cn (t)yn (t) +c0k (t)yk(t) =0(t)yH00yH (t)k=1=(n)(n)c1 (t)y1 (t) + c2 (t)y2 (t) + cn (t)yn(n) (t) +f (t).a0 (t)Таким образом, в методе вариации постоянных вычисление производных искомого частного решения (3.59) до порядка (n−1) включительно происходит так, как будто бы функцииcj (t) не зависят от t и являются константами.Подставив функцию yH (t) в левую часть уравнения (3.56), имеемLyH (t) = a0 (t) ·+a0 (t)nXk=1f (t)+a0 (t)(n)ck (t)yk (t)+a1 (t)nX(n−1)ck (t)yk(t)+· · ·+an−1 (t)nXck (t)yk0 (t)+an (t)ck (t)yk (t).k=1k=1k=1nXПроизведя перегруппировку слагаемых и приняв во внимание определение (3.45) оператора L, получимLyH (t) = f (t) +nXck (t)Lyk (t) = f (t) + 0 = f (t),t ∈ [a, b],k=1поскольку функции yk (t), k = 1, 2, .

. . , n являются решениями однородного уравнения(3.50), Lyk (t) = 0. Итак, мы еще раз убедились, что построенная функция yH (t) являетсярешением неоднородного уравнения (3.56).3.8.5Построение ФСР для линейного однородного ОДУ с постоянными коэффициентамиРассмотрим линейное однородное ОДУ порядка n c вещественными коэффициентамиaj ∈ R, j = 0, . . . , n, a0 6= 0:a0 y (n) (t) + a1 y (n−1) (t) + · · · + an−1 y 0 (t) + an y(t) = 0.(3.62)Для построения фундаментальной системы решений линейного однородного ОДУ (3.62)достаточно построить векторную фундаментальную систему решений соответствующейуравнению (3.62) линейной однородной системы ОДУ010...0 001...0  ........ dy(t)....... = Ay(t), A = (3.63)dt 000...1  anan−1an−2a1 −−−...

−a0a0a0a03.8. ФСР и общее решение линейного ОДУ63и выделить первые компоненты. Для этого воспользуемся специальной структурой матрицы системы A в (3.63). Как известно из курса линейной алгебры, такая матрица относитсяк классу матриц Фробениуса. Для таких матриц характеристическое уравнение, корни которого являются собственными значениями матрицы, принимает вид−λ10...0 0−λ1...0 ........ = 0.......det(A − λE) = det  . 000−λ1 anan−1an−2a1−−...

− − λ−a0a0a0a0Раскрывая определитель по первой строке после несложных преобразований приходим кзадаче нахождения корней характеристического многочлена для линейного однородногоОДУ (3.62):a0 λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0.(3.64)Известно, что у матриц Фробениуса каждому λj из совокупности попарно различных собственных значений {λ1 , . . . , λ` } с соответствующими кратностями k1 , . . . , k` (k1 +(1)· · · + k` = n) отвечает ровно один собственный вектор hj , dim Ker (A − λj E) = 1, иесли его кратность kj > 1, тогда существуют ровно kj − 1 присоединенных векторов(2)(3)(kj )hj , hj , .

. . , hj , j = 1, . . . , `. Тогда фундаментальная система решений легко выписывается благодаря (3.42) и теореме 3.5.2:t (1)(1)(2)hj exp{λj t},hj + hjexp{λj t}, . . . ,1!t (kj −1) t2 (kj −2)tkj −1(kj )(1)+ hj+ ··· +. . . , hj + hjhexp{λj t}, j = 1, . . . , `.1!2!(kj − 1)! jПервые компоненты полученных вектор-функций дают линейно-независимые решения линейного однородного ОДУ (3.62):t (1)(2)(1)bj exp{λj t},bj + bjexp{λj t}, .

. . ,1!t (kj −1) t2 (kj −2)tkj −1 (1)(kj ). . . , bj + bj+ bj+ ··· +bexp{λj t}, j = 1, . . . , `, (3.65)1!2!(kj − 1)! j(m)(m)(1)где bj – первая компонента числового вектора hj . Заметим, что всегда bj 6= 0, поскольку в противном случае система (3.65) будет являться линейно зависимой на любомотрезке. Поэтому в силу линейности и однородности уравнения (3.62) его решениями также будут функцииexp{λj t},t exp{λj t},...,tkj −1 exp{λj t},j = 1, .

. . , `.(3.66)Лемма 3.8.1. Система функций (3.66) является линейно независимой на любом отрезке [a, b].Доказательство. Предположим, что нетривиальная линейная комбинация функций изсистемы (3.66) обращается тождественно в ноль на некотором отрезке:kX1 −1k=0kC1,k t exp{λ1 t} +kX2 −1k=0kC2,k t exp{λ2 t} + · · · +kX` −1k=0C`,k tk exp{λ` t} ≡ 0,64Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУилиP1 (t) exp{λ1 t} + P2 (t) exp{λ2 t} + · · · + P` (t) exp{λ` t} ≡ 0,(3.67)где степень многочлена sj = deg Pj (t) 6 kj − 1, j = 1, .

. . , `. Без ограничения общностиможно считать, что многочлен P` (t) нетривиален, P` (t) = p` ts + . . . , s = s` , p` 6= 0. Послеумножения (3.67) на exp{−λ1 t} получаемP1 (t) + P2 (t) exp{(λ2 − λ1 )t} + · · · + P` (t) exp{(λ` − λ1 )t} ≡ 0.Дифференцируем в последнем равенстве почленно k1 раз. Так как deg P1 (t) 6 k1 − 1, тоdk1 P1 (t)/dtk1 ≡ 0.

Для преобразования остальных слагаемых заметим, что (Pj (t) exp{µt})0 =(µPj (t) + Pj (t)0 ) exp{µt}, µ = λj − λ1 6= 0, т.е. при дифференцировании в множителе передэкспонентой остается многочлен той же степени. Тогдаdk1(Pj (t) exp{(λj − λ1 )t}) = Qj (t) exp{(λj − λ1 )t},dtk1deg Qj (t) = sj ,Qj (t) = (λj − λ1 )k1 pj tsj + . . . .В результате приходим к равенствуQ2 (t) exp{(λ2 − λ1 )t} + · · · + Q` (t) exp{(λ` − λ1 )t} ≡ 0.После умножения на exp{(λ1 − λ2 )t} и почленного дифференцирования полученного равенства k2 раз имеемR3 (t) exp{(λ3 − λ2 )t} + · · · + R` (t) exp{(λ` − λ2 )t} ≡ 0,deg Rj (t) = sj ,Rj (t) = (λj − λ2 )k2 (λj − λ1 )k1 pj tsj + . . .

,j = 3, . . . , `.Продолжая эту процедуру, на последнем этапе получаемS` (t) exp{(λ` − λ`−1 )t} ≡ 0,deg S` (t) = s` ,S` (t) = (λ` − λ`−1 )k` −1 . . . (λ` − λ2 )k2 (λ` − λ1 )k1 p` ts` + . . . .Однако полученное равенство противоречит нетривиальности многочлена P` (t) со старшим коэффициентом p` 6= 0. Полученное противоречие обосновывает справедливость доказываемого утверждения о линейной независимости системы (3.66).Доказанное в лемме свойство линейной независимости системы функций (3.66) с учетом того, что эти функции являются решениями линейного однородного ОДУ (3.62), порядок n которого совпадает с количеством рассматриваемых функций, приводит к утверждению следующей теоремы.Теорема 3.8.4. Система функций (3.66) составляет фундаментальную систему решений линейного однородного ОДУ с постоянными коэффициентами (3.62) на любом отрезке [a, b].Если все коэффициенты уравнения вещественны, aj ∈ R, тогда фундаментальнуюсистему решений можно также конструктивно построить в вещественном виде.

В этомслучае характеристический многочлен в (3.64) имеет вещественные коэффициенты. Какследует из курса линейной алгебры, его комплекснозначные корни (собственные значения) идут комплексно сопряженными парами: λ = α + iβ, λ∗ = α − iβ, α, β ∈ R. Тогда впостроенной фундаментальной системе решений (3.66) функции, отвечающие вещественным собственным значениям, являются вещественными, а отвечающие комплексным собственным значениям функции встречаются только комплексно сопряженными парами:3.9.

Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям65y(t) = ts exp{αt}(cos βt + i sin βt) и y ∗ (t) = ts exp{αt}(cos βt − i sin βt). Аналогично построению фундаментальной системы решений для линейной однородной системы ОДУ свещественной матрицей заменим каждую пару таких функций соответствующими действительными и мнимыми частями:yR (t) = Re y(t) = ts exp{αt} cos βt,yI (t) = Im y(t) = ts exp{αt} sin βtФункции yR (t), yI (t) являются решениями линейного однородного ОДУ (3.62) как линейные комбинации решений этого уравнения. Построенная таким образом совокупность состоит из n вещественных решений линейного однородного ОДУ (3.66) и задает его фундаментальную систему решений над полем вещественных чисел.

Линейная независимостьдоказывается дословно случаю систем (см. п. 3.5.3).Пример 3.8.2. Составить линейное однородное ОДУ наименьшего порядка с постоянными вещественными коэффициентами, у которого решениями являются функцииy1 (t) = 1, y2 (t) = sin(2t). Для решения этой задачи представим функции в виде y1 (t) =exp{0 · t}, y2 (t) = Im exp{2it}. Так как уравнение имеет вещественные коэффициенты,тогда и функция y3 (t) = Re exp{2it} также является его решением.

Комплексная ФСРсостоит из функций {exp{0 · t}, exp{2it}, exp{−2it}}, порядок уравнения равен 3, корниего характеристического многочлена суть λ1 = 0, λ2 = 2i, λ3 = −2i. По виду многочленаM (λ) = λ(λ − 2i)(λ + 2i) = λ3 + 4λвосстанавливаем само дифференциальное уравнениеy 000 + 4y 0 = 0.3.93.9.1Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по его решениямПостроение линейного дифференциального уравнения по его решениямВ этом параграфе мы сначала рассмотрим вопрос о построении линейного однородногодифференциального уравненияy (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = 0,t ∈ [a, b],(3.68)решением которого являются заданные функции. При этом возникают два вопроса, аименно: существует ли линейное дифференциальное уравнение, имеющее своими решениями заданные функции и единственно ли такое уравнение.

Характеристики

Список файлов книги