А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . , ϕследует векторное равенство (3.49) и покоординатные равенства (3.48), первое из которыхдает (3.46).Определение 3.7.2. Определителем Вронского системы ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t), состоящей из (m − 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, называется зависящий от переменной t ∈ [a, b] определитель построенной по вектор-функциям(3.47) функциональной матрицы Y (t) = (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕm (t)):ϕ1 (t)ϕ2 (t)...ϕm (t) ϕ01 (t)ϕ01 (t)...ϕ0m (t) ∆(t) = W [ϕ1 , .
. . , ϕm ](t) = det Y (t) = det .............(m−1)ϕ1(m−1)(t) ϕ2(m−1)(t) . . . ϕm(t)Следствие 3.7.1. Из определения следует, что, если функции ϕk (t) действительны,то при определении их линейной зависимости и независимости достаточно рассматривать действительные значения постоянных ck = 0, k = 1, 2, . . . , m.Упражнение 3.7.1. Рассмотрим функции ϕ1 (t) = t2 и ϕ2 (t) = t|t| на отрезке [a, b],где 0 < a < b.
Очевидно, что на этом отрезке ϕ1 (t) = ϕ2 (t) и функции линейно зависимы.Если же a < 0 < b, то положив t = d = min{|a|, b} и t = −d в равенстве c1 ϕ1 (t)+c2 ϕ2 (t) =0, получим систему c1 d2 + c2 d2 = 0, c1 d2 − c2 d2 = 0, из которой следует, что c1 = c2 = 0,а значит ϕ1 (t) = t2 и ϕ2 (t) = t|t| линейно независимы на этом отрезке.3.7. Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского55Замечание. Приведенный пример показывает, что линейная зависимость и независимость системы функций в общем случае зависит от того на каком отрезке рассматриваетсяэта система.Необходимое условие линейной зависимости скалярных функций устанавливает следующая теорема.Теорема 3.7.1. Если система (m − 1) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке[a, b] скалярных функций ϕ1 (t), ϕ2 (t), .
. . , ϕm (t), является линейно зависимой на отрезке[a, b], тогда определитель Вронского этой системы тождественно равен нулю на этомотрезке: ∆(t) = 0 ∀t ∈ [a, b].Доказательство. Приведем два способа доказательства.Способ 1. Так как функции ϕk (t) линейно зависимы на [a, b], то существует постояннаяcp 6= 0. Тогдаcp−1cp+1cnc1ϕp−1 (t) +ϕp+1 (t) + · · · + ϕm (t), t ∈ [a, b].ϕp (t) = ϕ1 (t) + · · · +cpcpcpcpИз этого представления следует, что p-ый столбец определителя Вронского является линейной комбинацией остальных столбцов. Следовательно этот определитель равен нулюдля всех t ∈ [a, b].Способ 2. Из линейной зависимости скалярных функций y1 (t), y2 (t), . .
. , ym (t) согласнолемме 3.7.1 вытекает линейная зависимость соответствующих вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t).Поэтому равенство нулю определителя функциональной матрицы Y (t), совпадающего поопределению с определителем Вронского, есть следствие векторной теоремы 3.3.1.Как и в случае вектор-функций, без дополнительных предположений равенство нулюопределителя Вронского является, вообще говоря, только лишь необходимым условиемлинейной зависимости скалярных функций. Из равенства нулю определителя Вронскогоне вытекает их линейная зависимость.Пример 3.7.1. Для m = 2 рассмотрим на отрезке [−1, 1] две функции, имеющиенулевой определитель Вронского: 2t t|t|2ϕ1 (t) = t , ϕ2 (t) = t|t|, Y (t) =, ∆(t) = W [ϕ1 , ϕ2 ](t) = det Y (t) ≡ 0.2t 2|t|Однако, как показано выше, эти функции являются линейно независимыми на рассматриваемом отрезке.3.7.2Линейная зависимость решений линейного однородного ОДУРассмотрим линейное однородное ОДУ порядка n c произвольными непрерывными наотрезке [a, b] коэффициентами aj (t) ∈ R, j = 0, .
. . , n, a0 (t) 6= 0:a0 (t)y (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = 0.Уравнение (3.50) эквивалентно линейной однородной системе ОДУ010...0001...0...........dy(t)....= A(t)y(t), A(t) = dt000...1 a (t)an−1 (t)an−2 (t)a1 (t)n−−... −−a0 (t)a0 (t)a0 (t)a0 (t)(3.50)(3.51)56Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУв следующем смысле: если y(t) – решение уравнения (3.50), тогда вектор функция y(t) =(y(t), y 0 (t), . . . , y (n−1) (t))> является решением системы (3.51). И наоборот, если векторфункция y(t) = (y1 (t), y2 (t), .
. . , yn (t))> является решением системы (3.51), тогда перваякомпонента y1 (t) является решением ОДУ (3.50).Рассмотрим систему скалярных функций y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t), являющихся решениемлинейного однородного ОДУ (3.50) порядка n. Подчеркнем, что количество функций врассматриваемой системе совпадает с порядком ОДУ.
Исследуем вопрос о связи свойствалинейной зависимости решений линейного однородного ОДУ и значения определителяВронского. В отличие от случая произвольной системы функции для системы решений однородного дифференциального уравнения (3.50) поведение определителя Вронского является критерием линейной зависимости или независимости системы решений.
Справедливаследующая теоремы, которую можно назвать теоремой об альтернативе для определителяВронского.Теорема 3.7.2. Для решений y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейного однородного ОДУ (3.50)на отрезке [a, b] справедлива следующая альтернатива:/ либо ∆(t) ≡ 0 на отрезке [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . .
, yn (t) линейно зависимы наэтом отрезке,/ либо ∆(t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b] и функции y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t) линейно независимы на [a, b].Доказательство. Приведем два способа доказательства.Способ 1. Пусть в какой-то точке t0 определитель Вронского, составленный из функций yk (t), равен нулю, то-есть ∆(t0 ) = 0. Рассмотрим систему линейных алгебраическихуравнений относительно неизвестных c1 , c2 , . . . , cnc1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) + · · · + cn yn (t0 )= 0, c y 0 (t ) + c y 0 (t ) + · · · + c y 0 (t )= 0,1 1 02 2 0n n 0(3.52)...(n−1)(n−1)(n−1)(t0 ) + c2 y2(t0 ) + · · · + cn yn(t0 ) = 0.c1 y1Так как определитель этой системы равен определителю Вронского и равен нулю, ∆(t0 ) =nP|c̃k | > 0.0, то эта система имеет нетривиальное решение c̃1 , c̃2 , .
. . , c̃n ,k=1Рассмотрим функциюỹ(t) =nXc̃k yk (t).k=1Из теоремы 3.6.1 следует, что она является решением однородного дифференциальногоуравнения (3.50), а из (3.52) следует, что она удовлетворяет начальным условиямỹ (m) (t0 ) = 0,m = 0, 1, 2, . . . , n − 1.Это означает, что функция ỹ(t) является решением однородного дифференциального уравнения (3.50) и удовлетворяет нулевым начальным условиям в точке t0 .
По теореме единственности решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения эта функция равна нулю на отрезке [a, b]. Следовательноỹ(t) =nXk=1c̃k yk (t) = 0,t ∈ [a, b]3.8. ФСР и общее решение линейного ОДУ57и функции yk (t), k = 1, 2, ..., n линейно зависимы. Тогда из теоремы 3.7.1 следует, чтоопределитель Вронского, составленный из этих функций равен нулю на отрезке [a, b].Пусть существует точка t̂ ∈ [a, b] такая, что ∆(t̂) 6= 0.
Тогда из предыдущего следует,что определитель Вронского, не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b] и функцииyk (t), k = 1, 2, ..., n линейно независимы на этом отрезке.Способ 2. В силу теоремы 3.7.1 осталось рассмотреть случай, когда в некоторой точкеt0 ∈ [a, b] определитель Вронского равен нулю, ∆(t0 ) = 0. Тогда составленная из вектор(n−1)(t))> , j = 1, .
. . , n, являющихся решениями линейнойстолбцов y j (t) = (yj (t), yj0 (t), . . . , yjоднородной системы ОДУ (3.51), функциональная матрица Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t))вырождена при t = t0 , det Y (t0 ) = ∆(t0 ) = 0. Согласно установленной в теореме 3.3.3 альтернативе для решений однородной системы ОДУ заключаем, что det Y (t) ≡ 0 на отрезке[a, b], и вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . .
. , y n (t) линейно зависимы на этом отрезке. В силулеммы 3.7.1 отсюда следует линейная зависимость скалярных функций y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)на рассматриваемом отрезке.3.83.8.1Фундаментальная система решений и общее решение линейного ОДУФундаментальная система решений линейного однородного ОДУОпределение 3.8.1. Фундаментальной системой решений линейного однородного ОДУ(3.50) порядка n на отрезке [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого уравнения.Теорема 3.8.1. У любого линейного однородного ОДУ (3.50) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами aj (t), j = 1, . .
. , n, a0 (t) 6= 0, существует фундаментальнаясистема решений на [a, b].Доказательство. Приведем два способа доказательства.Способ 1. Рассмотрим постоянную матрицу B с элементами bij , i, j = 1, 2, . . . , n такую,что det B 6= 0. Обозначим через yj (t) – решения задачи Коши для уравнения (3.50) сначальными условиямиyj (t0 ) = b1j ,(n−1)yj0 (t0 ) = b2j , . . . , yj(t0 ) = bnjj = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
