Том 2 (1109662), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Вместо образцов волос могут быть ар­хеологические объекты, образцы материалов, органические соеди­нения и т.д. Будем обобщенно называть их просто объектами. Ко­личественные характеристики объектов, служащие основанием дляклассификации, называются признаками. В нашем случае призна­ки — это содержания определенных элементов. В других случаяхпризнаками могут служить разнообразные физические параметрыили численные характеристики (дескрипторы) химической струк­туры. Спектральные или хроматографические данные также могутслужить источником признаков.Расположим все данные в виде матрицы X, в которой каждаяиз п строк соответствует определенному объекту, а каждый из рстолбцов — определенному признаку:I X11X =\X12... х1рX21X22...х2рхХп2...ХПрп1\42^^)Предварительная подготовка данныхВ первую очередь необходимо проверить данные на полноту.

Всели позиции в матрице X заполнены? Если какие-то позиции пу­сты, их можно заполнить средними значениями по соответствую­щему столбцу или случайными величинами в пределах диапазонаизменения соответствующего признака.Признаки, имеющие постоянное значение (не изменяющиеся илипрактически не изменяющиеся при переходе от образца к образцу)или сильно коррелирующие с другими признаками, не представляютинтереса для классификации и должны быть исключены из рассмо­трения.Как видно из табл. 6.9, отдельные признаки могут сильно разли­чаться по своей величине.

Поэтому значения признаков необходи­мо масштабировать. Один из наиболее распространенных способовмасштабирования — автомасштабирование. Для значений призна­ков, содержащихся в k-м столбце, автомасштабирование выполня­ется какIxik =xik~~ Xk,„s.ЛоЛ(6.43)kЗдесь Xk — среднее значение признака к k-м столбце, a Sk — стан-6.3. Многомерные методы: обработка массивов данных 141дартное отклонение:пSki=l\п-1После автомасштабирования каждый признак будет иметь сред­нее значение равное нулю, и стандартное отклонение равное единице.Методы неконтролируемого обученияМетоды неконтролируемого обучения предназначены для группи­ровки наборов признаков, характеризующих объекты, в определен­ные классы. Для группировки используют проекционные методы иметоды кластерного анализа.Проекционные методыОсновным проекционным методом является анализ главных компо­нент.

Для этого исходную матрицу признаков преобразуют так,чтобы по возможности сократить размерность пространства, охва­тывающего векторы признаков. Векторы, характеризующие напра­вления осей координат в новом пространстве (уменьшенной размер­ности), называются главными компонентами. Если для описаниямассива признаков достаточно всего двух или трех главных ком­понент, данные можно представить графически и сгруппировать вклассы визуально.Вернемся к нашим данным криминалистического анализа. Коор­дината вектора г'-го объекта по первой (а также любой другой) осиглавных компонент РСЦ является некоторой линейной комбинациейвсех исходных значений признаков объекта:PCiJ = onXji + Ui2Xj2 + ...

+ aipXip.(6.44)Коэффициенты а^- можно рассчитать методами линейной алгеб­ры путем анализа собственных (или сингулярных) значений исход­ной матрицы. Число главных компонент обычно выбирают так, что­бы размерность полученного пространства позволяла описать зара­нее обусловленную, достаточно большую, долю дисперсии исходныхданных. В нашем примере двух главных компонент достаточно длятого, чтобы описать 92, 9% дисперсии. Таким образом, весь мас­сив исходных данных можно с хорошим приближением представитькак множество точек, расположенных в одной плоскости.

Взаим­ное расположение точек, характеризующих составы образцов волос,Глава 6. Хемометрика-''H. !кШ<1'5 Л>.П.'.жМв плоскости первых двух главных компонент показано на рис. 6.9.Как видно из рисунка, в этой плоскости четко различаются три от­дельные области. Можно заключить, что образцы, расположенные впределах каждой области, принадлежат одному и тому же человеку.Таким образом, данные содержания указанных элементов позволя­ют однозначно отнести образец волос определенному человеку.1,0PC20,5C*2j6~TZ>0,0-0,5""ТТ^Л-1,0-1,5--2,0 " I-2,64V-1,69-—-""^-0,6VI0,4II1,42,4PC,Рис. 6.9.

Представление массива данных из табл. 6.9 при помощи первыхдвух главных компонент. Числа при точках соответствуют номе­рам образцов.Кластерный анализДругой метод группировки данных называется кластерным анали­зом. В этом методе производят последовательную, шаг за шагом,группировку объектов на основании максимальной близости значе­ний их признаков. В результате образуются группы объектов (кла­стеры), имеющие иерархическую структуру (рис.

6.10).Для оценки степени близости объектов друг другу используютту или иную меру расстояния между ними. Чем меньше расстояниемежду объектами, тем они более похожи. Чаще всего применяют ве­личину евклидова расстояния. Евклидовым расстоянием dij междуобъектами г и j называется величинаdij — \2—/ ^Xikx ki'-(6.45)Если представить каждый объект в виде точки в р-мерном про­странстве, координаты которой равны значениям соответствующихпризнаков, то евклидово расстояние есть длина отрезка, соединяю-6.3.

Многомерные методы: обработка массивов данных 143щего две такие точки. Рис. 6.11 иллюстрирует понятие евклидоварасстояния для случая, когда каждый объект характеризуется всегодвумя признаками.0,51,0H-iII&L376номер объектаР и с . в.10. Результат кластерного анализа данных табл.

6.9, представленныйв виде дендрограммы. По оси ординат отложены значения мерысходства между объектами — величин Sij, рассчитываемых изнормированных евклидовых расстояний (уравнение (6.46)).Чем больше евклидо­во расстояние, тем боль­ше различие между объек­тами. Вместо меры разли­чия в кластерном анали­зе часто используют мерусходства между объекта­ми. Мера сходства междуг-м и J-M объектами опре­деляется какпризнак 1Р и с . 6.11. Евклидово расстояние между г-ми j - м объектами, описываемыми при помощидвух признаков.dij ( m a x ), (6.46)где djj(max) есть максим а л ь н о е с р е д и всех з н а ч е ­н и й dij. Д л я п а р ы п о л н о ­стью тождественных объ-Глава 6.

Хемометрика 1ч-;ц ')*,(*?";», аа«»*''»,о:?р«й Zsектов Sij = 0. Для объектов, максимально различающихсясобой, Sij = I.Для проведения иерархической кластеризации объектовет в первую очередь рассчитать все евклидовы расстоянияпарами объектов. В табл. 6.10 эти расстояния представленыматрицы расстояний.междуследу­междув видеТаблица 6.10. Матрица расстояний для объектов из табл. 6.9.2№1341022,405032,2503,392041,3212,5703,017052,7131,6133,3912,799063,0624,2321,7243,7664,62373,3784,6111,6663,7934,6551,337082,5620,6663,5312,8211,1894,5284,860091,6673,6032,9911,5113,987ЗД163,3063,9105678900Ввиду того, что матрица расстояний симметрична, приведенатолько ее нижняя часть.

Наименьшее евклидово расстояние, рав­ное 0,666, наблюдается между объектами 2 и 8. Эти два объектаобъединим в один кластер и рассчитаем расстояния всех остальныхобъектов до центра тяжести этого кластера. Такой расчет прощевсего выполнить путем усреднения расстояний до объектов, обра­зующих кластер. Например, расстояние от объекта 1 до кластера,образованного объектами 2 и 8, равноd(HOBoe) =d2l + d81=2,405 + 2,562= 2,484.В результате получим новую матрицу расстояний, уже меньшегоразмера. Затем вновь найдем два объекта (или кластера), наиболееблизкие между собой, и повторим описанную процедуру. Иерархи­ческую структуру формируемых при этом кластеров можно пред­ставить в виде дендрограммы (рис. 6.10).На сколько же кластеров следует в итоге разделить исходныеданные? Число кластеров зависит от характера решаемой задачи.В нашем случае заранее известно, что образцы волос принадлежаттрем различным людям.

Поэтому на дендрограмме следует прове­сти горизонтальное сечение так, чтобы оно пересекало три верти­кальных отрезка. В этом случае данные разделятся на три класте­ра. Такое сечение можно провести, например, при S = O, 75. К трем6.3. Многомерныеметоды:обработкамассивовданных145полученным кластерам относятся образцы 2,8,5; 1,9,4 и 3,7,6, со­ответственно (табл.

6.11). Состав полученных кластеров идентичентому, который был ранее установлен посредством анализа главныхкомпонент (рис. 6.9).Т а б л и ц а 6.11. Результаты группировки образцов волос, составы которыхприведены в табл. 6.9, методом кластерного анализа.•»': •'•'•••^•"[*?-:л:Номер образцаПринадлежность1В2А3С4В5А6С789сАВЕсли число кластеров заранее неизвестно, то его можно выбрать,пользуясь непосредственно величинам расстояний между различны­ми объектами.Контролируемое обучениеКонтролируемым обучением называется собственно процесс клас­сификации, т.е.

отнесения неизвестного объекта к тому или иномуклассу на основании значений его признаков. Классы могут быть из­вестны заранее или установлены при помощи методов неконтроли­руемого обучения. Для осуществления классификации каждый классобычно предварительно описывают некоторой математической мо­делью.В нашем случае задача классификации состоит в том, чтобыотнести образец волос, найденных на месте преступления, одномуиз людей — А, В или С — на основании результатов его элементногоанализа (табл. 6.12).Т а б л и ц а 6.12. Элементный состав образца волос (частей на миллион), под­лежащего классификации.CuMnClBrI9,20,2722009,84,7Наиболее распространенным методом классификации являетсялинейный дискриминантный анализ (ЛДА).

Характеристики

Список файлов книги