К. Доерфель - Статистика в аналитической химии (1969) (1109659), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При установлении односторонней границы ордината — о отсекает справа илп слева, в точке х+ и(Р)„—, или "р и. Таблица б.б Значение Р и Р дли дву- и соответственно односторонней границы Тлаеа В 56 Теоретиоееиие раеиределеиил 57 соответственно в точке х — и (Р) —,, площадь, равную 1— 1/и. — Р = /г. Между вероятностями для односторонней границы Р и двусторонней Р существует соотношение Р=0,5+— (3.10) Более полное сопоставление соотношения величин Р и Р дается в табл. 3.3. 3.2.
Распределение Пуассона Ряд методов современной аналитической химии дает результаты в виде целых величин. Примером этого является подсчет импульсов в радиохимии, подсчет квантов в рентгеноспектральном анализе, подсчет структурных элементов при исследовании шлифов и прочее. Все зти методы характеризуются одним свойством — число возможных событий очень велико (напрямер, число распадающихся ядер атомов), а число фактически происходящих событий, напротив, очень мало (распад отдельных ядер). Вследствие редкости этих событий в наблюдаемом интервале времени состав пробы меняется несущественно.
Если многократно повторяют один и тот же опыт, то зависимость меьчду величиной изыеренного значения и частотой ее появления можно представить следующим образом: у=в рае (3.11) Этот вид распределения носит название распределения Пуассона. Поразительно то, что распределение Пуассона характеризуется только одним параметром — средним значением (о. Между средним значением )о и средней квадратичной оптибкой и существует зависимость и= (/ (/ (3 12) В отличие от нормального распределения распределение Пуассона является дискретным. Для малых значений 1/ оно обладает значительной асимметрией (рис. 3.12). Асимметрия очень быстро уменьшается с ростом р, и форма кривой распределения приближается к нормальному распределению со средним значением (о и средней квадратич- ной ошибкой и = 1/' (л. Для практических целейдостаточно удовлетворительное приближение к нормальному распределению наступает при х ) 15. Тогда, соответственно табл.
3.2, 88,3ого всех значений лежат в пределах — )/р и р + (/ (о. й,в о,/ о/гвовегв о/гвеве гввю /=в ,а=в О l 2 в 4 Р в с. 332. Раопродоловвя Пуассона для разяповых апачопкй арифметического среднего Возможности приближения к нормальным распределениям позволяют применять вероятностную бумагу для проверки гипотезы о выполнении распределения Пуассона, В этом случае накопленные частоты дают прямую, проходящую через точки Рт (хм = Р; У,а = 50оо) Р, (х/ = (о — (/ (о; У/ = 15,9%) Рз (хз = р+ (/' (г; уз —— 84, 10%) Для практического выполнения этой проверки прежде всего строят сглаживающую прямую, пользуясь накопленными частотами и соответствующими ям значениями содержания вещества.
Из отдельных измерений определяют значение арифметического среднего х и подсчитывают по равенству (3 12) координаты точек Р, и Ро. Прямая, проходящая через эти точки, должка почти совпадать С ранее построенной прямой. 58 Глава д Творвтичвоиив раопрвдвлвиии 59 (3,4), При помощи счетчика измерили число импульсов, вызванных и-излучением. При составлении фуииции распределения частот получились следующие процеитвые соотпощеяия отдельных классов: Накопленнаянная частота У, Иэкоп- Верхпая ленная , гранила частота У,, класса х!, и импульсы Верхняя грэпипэ класса и, импульсы Частота, % Частота, % 4010 4050 4090 4130 4170 87 95 98 99 100 19 8 3 1 1 5 12 21 44 68 5 7 9 23 3810 3850 3890 3930 3970 Пары эиэчевий (л„у!) распределения суммарной частоты наносят яа вероятностную бумагу и сравнивают с прямой рис. 3.13. во во во Р и с.
3.13. Проверка распределения Пуассона пе эероятиостной бумаге. го Арифметическое среднее, полученное иэ ста результатов 5 по ураеяеивю (2П), лежит г яри э = 3958 импульсов. Отвтво ввю ввво вжо вова выо сюда, пользуясь' уравнением (3.12), получают обе точки Р, и Р„ относящиеся к теоретическому распределению. Зиачеиия их абсцисс равны = 3958 — К 3958 = 3895 и хэ = 3958 + 'г'3958 = 4021, а соотэетстэующие значения ординат: У! = 15,9',4 и Уэ = 84,1% . Прямая, проэедеяпея через точки Р, и Рг,почти соэпадает с прямой иэ ураэиевия. Поэтому можно привять распределение Пуассона.
Если нз графической проверки нельзя сделать достаточно точного вывода, то," обращаются к описанному в дальнейшем математическому способу проверки (ср. равд. 7.6). 3,3. Специальные распределения 3.3л. г-РАСПРЕДеление Нормальное распределение, описанное в равд. 3.1, подходит только для случая очень большого числа измерений. При малом числе измерений распределенно может более или менее отклоняться от нормального. В математической статистике зта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным распределением — 1-распределеннем. Максимумы частоты нормального и ь-распределения лежат при одном и том же значении абсциссы.
Однако в отличие от нормального распределения высота и ширина кривых нормированного 1-распределения зависят от степеней свободы 7 соответствующей средней квадратичной ошибки. Чем меньше число степеней свободы, тем более пологий ход имеет кривая при одной и той же средней квадратичной ошибке (рис.
3 14). При 7 -ь оо 1-распределение переходит в нормальное распределение. Соответственно этому для хода кривой, зависимого от 7', пределы интегрирования при ааданной вероятности Р все больше удаляются от среднего значения с уменьшением числа степеней свободы 7'. Так, для Р=0,95 измеренные значения х больше не лежат в области )г — 1,96 в ...
)г + 1,96 в. Этот интервал становится тем !пире, чем меньше измерений было проведено (рис. 3 15). Пределы интегрирования 1-распределенняю зависимости от вероятности Р и степени свободы 7' для нормированного по в = 1 распределения приведены в табл. 12.3. 3.3.2, Р-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Из нормально распределенной генеральной совокупности взято две выборки объемом и, и и,. Подсчитывают дисперсии в', и Р со степенями свободы 7'! = и, — 1 и Гэ = и, — 1 и составляют отношение в! 53 (Р) 1) 61 Геареа>ические распределения ае/ >,о Р и с. ЗЛ6. Р-Распределение для (/, = 10; /2 = 4) и (/> = 10; /е = 50). 0,2 > 2 2 Е р >0 6 о, З.З.З.
хе-РАСПРРДКЛКНИВ к к 2 Х (" ') =( — 1) —,,=)(' 1 -5 -4 -5 -2 -> 0 1 2 5 4 5 Р и с . 3 Л 4. с-Распределение для / = 1 ( — — —. — ) и / = 5 ( — — — — ) наряду с нормальным распределением ( †). 0 1 2 4 6 Рд 20 40 60 100 Р и с. ЗЛ5. Пределы ивтегрировавия > (Р, /) >-распре- деления в зависимости от степени свободы Кривая, полученная из функции распределения для всех возможных значений Р, в отличие от ранее рассмотренных функций распределения носит односторонний характер; она проводится в первом квадранте между Р = 0 и Р = оо (рнс.
ЗЛ6). Кривые обладают обратной симметрией при замене Р на 1/Р, поскольку одновременно /> замещается на /2. При интегрировании функции распределения в пределах 0... Рр (Рр ( оо) получают Р- часть всей площади под кривой. Она обозначает вероят- НОСТЬ ТОГО, ЧтО НайДЕННОЕ ЗНаЧЕНИЕ Р = зе>/ье ЛЕжИт МЕЛ>- ду нулем и Рр. Эти пределы интегрирования Р (Р, />, /2) для Р = 0,95 и Р = 0,99 в аависимости от степени свободы/> и /2 даны в табл.
12.5 (ср. стр. 232). Интерполяцию не приведенных значений проводят при /> - — — 24 и /2 =- = 120, задавая Р как функцию 1// (ср. пример (7.1)). Пусть дано и независимых случайных величин л>, ле... ...л„. Если имеет место нормальное распределение, то можно получить случайную величину с числом степеней свободы / = л — 1. Функция распределения для )(2 располагается в первом квадранте в области от уа = О до )(2 = со.
Ее вид зависит в сильной степени от числа степеней свободы / Теоретические распределения /'лиса В н ио,г ог Р и с. ЗИ7. 2с-Расвределеияе для / = 2, / = 4 и / = 1О степеней свободы. ' 'г г-х // о,о о б ~о и го гб бо кг — ~ хг Распределение Саспенс сеободи / г Г =я р-ог к)м НИТЕРЛТУРА (рис. 3.17). Для малого числа степеней свободы кривая асимметрична, но с увеличением / асимметрия уменьшается, и при большом числе степеней свободы получают гауссову кривую с р ) О. Интегрирование функции распределения в пределах от 0 до тре (2~р ( со) дает часть Р общей площади под кривой.
Эта часть площади соответствует / вероятности того, что вначение 2в= ~х1, полученное нв ! / невавнсимых наблюдений, попадает в интервал (О, ... ... 2р). Для практического использования пределы интегрирования тв-распределения 7(в (Р, /) для Р = 0,95 и Р = = 0,99 в зависимости от степени свободы / приведены в табл. 12.4. 3.4. Связь мемщу отдельными распределениями На первый взгляд может показаться, что все рассмотренные здесь теоретические распределения абсолютно различны и не вваимосвязаны.
Однако ранее уже было показано, что зто не так. Например, было установлено (ср. стр. 57), что распределение Пуассона может приближаться к нормальному, если выполняется условие х ) ) 15. Далее было указано, что г-распределение тоже переходит в нормальное при /"-+. оо. Подобные связи существуют также между другими рассмотренными распределениями, что схематически приведено на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
