В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При меры таких алОР!!Т!Юl' 'Ш!"атеш! !айдет в Допош!е!ши 1 к !астоящей ГЛaliе.3. ВещеСТ35енные числа и ПI!аВИЛО их сра35нения. Рассмотри,м множество всевоз,можных: беСfmнечных десятичныхдробей. Числа. np)'{fj'maBU,M},j1O эти,ми дроб!I,ми, буде,м на,!'Ыиат?,ве цественными1).Данное ве!нественное число будем на:ывать nоложшnел'ЬHblht (отри'И,атеЛ'ЬНЫht), естrи е,не, представимо в виде положительной (ОТРЮlательной) бесконечной десятичной дроби.В с! ,став мнейкества веп~ественных чисел входят, конечно, ивсе раllиональные числа, ибо все они представимы в ви, !,е беско!!!!х десяТ!!'ш!г: дробе(!.
Предста!iленне да! юго раlШОнального числа в виде бесконечной десятичной дроби можнополу'ш!ь,!В следующ!,х. Любому рац!!-1) KfP'у}ке'НШЧ,ал'Ь,/-//ым!,fечаШi ь Б CНiH"nо'Нлmилм."2))!а20,ПОНЯ'f;;е ЧИСJlf), ОП ЮС п СЯона,"ному 'ШСЛ\" пютветс ,'вует о, ;ределенна~,о( н,afTeHYKa:~ !ИНОГО в пункте!шре ;(ленн !я бе(конечная2,1Р1ЩН f;;1fЛЫкош ЧН1iЯч;,! ,;овеН!'!!',ка!'!!',ке с ,'1!ВИТС, в п!{,тветстви(' f'IJН ш, 1i{'ЩН2;ссятичная дробь Обес;<онечна~, дес,ти', ;ая;есятичная(тавнтся в сею!""' ,'(твне бе(-1999рациональн )l\IY1,333 . ..43чи(луВещественные числа, не являющиеся f)аllиональными, принято называтьиррачионаЛЪ1-ti1lМИ.llа;ffей задачей является последовательное перенесение нас"lучай прои шольных вещественных чисел трех правил и всех.
1.основных своиств раlшона,;ьньр: чнсел, перечисленньр:самым для вещественных чисел(,боснованы все правила элементарной алгебры, относящиеся к арифметическимTeJ\Iдейсгш~,исочетаннравенств и нераЕеНСТЕ.В этом пункте мы установим правило сравнения ве "ествен;ых нсел. Прежде ',е1! перейг, к ФОР,i\"ЛИРОЕкеfТОГО праЕш;а,юговоримся об опре, ;еленной форме :аписи тех рациональныхчисел, которые nр~дста{;и.Мi1l в вшj~ 'X:ii1-te'i1-tou де! ,1!1nи'i1-tоu дроби. За\iеТШ1i, что указанные рацно;;алы ",е числа ДQf,\"скают дво,11'Х:УЮ заnис'Ь в виде бесконечных ;есятичных дробей.
Например,',исло видею заllнсать:=в"де"'"21 --в4909,' ... ,.- - 0,5000а n г,;е а",и вооб",е раllиональное число ао, а1а2ю записат,,:ао, а1а2...1)аnв п,де ао, а а2 ... а n - (а nвнде000 ...Первая и:~ указанныхшух записей может быть получена поСШlсоб\" {,писанном\" в п.нием"# О, мшк-) 9Ч9 ... ; 2);анной конечнойа вторая - ;il{'рмальным превраще;есятичной дроби в бесконечную посре2,СТЕО\! ДОllнсьша;ш~, н\",;еЙ.М,1договоримсясравнении вещественных чисел пол ;30-ваться для ука:анных рациональных чисел лишь первой и:~ этихдв\"х форм записи в виде бесконечной десятично(t дро{ш.Иными словами при сравнении вещественных чисел мы неб\"дем употреб,1ЯТЬ {tесконечные десятичныевсе десятичз;;аки котор",х, начнна~, с не;<оторо;оисклю',е;ше\i, ;<онечно, дробн О, ПОП1iecTa,[)авны;УЛ;I'за1).Перейдем теперь к формулировке правила сравнения вещес, Ре;",х',исел.1) Принятие такой ДОl'о!юренности пполне соотпетстпует пропессу измерения от, ''ЗЮl, ОШl,'llllНl'I,lУ В И.2,ибо оиисаНll!,IЙ ИрlЩ!'ССl,ю}ке'l И, иве,'к бесконе'lНОЙ десятичной дроби, у которой псе дес пичныешаки, начина;;сl i'KO"lOpOrl'РllБШ,I"УlЮ.ffCE'в; [Н8(Т [8ННЫХН:.;'ЛН8ЧН ,iМИ(где И:3 двух3Hd.KOB±К<1КUЙТU uдин).ИДва вещественных числаес.
tи они имеi;"д;'ОДiшако(2.4)есназываются paB1-tыt'u,'Сffраведtи [ыpaBeficTBaЬ О аl = Ь 1 , .... а;,, ...Пусть даны два неравны1; вещественных числа а и Ь. Устаноаовим прави.Ю, при ПОМОfffИ которого мo:tкно прийти К заключению, каким>шаком,Пусть снача.iащие представлеНЮl:Так [<Ю<iiCJIa аиз равенств ао = Ь О1.<,илиСШlзаны эти два числа.а и Ь оба 1-tеотfJu"цателъ1-tы и имеiОТ с.ледytоаао. аlа2 ... а n .... ЬЬ!t Ь 1 Ь 2 ...
Ь N •••и Ь не рав!,то нарушается хотя iibI однощ = Ь 1 ... а;, = Ь;!, . .. Обозначим через kнаименьший из НШ,fеРОiin,.ДiЯ которынарушаетсяа n = Ь., ). Тогда мы будем считать, что а<а>paBeiicTBobk ,Ь,. ес.ли akЬ, ес.tи akЬ;,.Ес.ли и:~ двух чисел а иодно 1-tеотрш~ат!лъ1-tо, а друго,отf;и"ЦатеЛЪ1-tО. то мы, естественно, будем считать, что неотри-цате.юеiiс.ло БО.tьшещте[,ного.рассмотреть с.лучаЙ, когда оба 'Числа а и Ь отрицатеJli!,1-tыl. ДоговОРИhl'Я 1-tазыатъъ м о д у л е hl ве'ществе1-t1-tО,'о 'Числа а 'J-l!mnРИЦШi!!еЛЫ-lое ве! j,ecmee'J-l1-tо, 'Число. обоз1-tа'ЧаеhtoеOCTaeTC.il'ИhlвОЛОhl I а I и равное ;iесятИЧ1-tОUло а, взятоu со ,·!1-tШК;()hlI·:с.ли а>Ь. ес.липред; тавля'Ю'щеu '{и,+.Ь 01'а отfJuцател1,1-tыl' тоIb > al,и а< Ь,.еС!lИы буде,) СЧiiтагal > Ibчто а>2).1) Итак мы считаем, что ао = Ь;;, а1 = Ь 1 , ...
, ak-1 = bk-1, но ak # bk.2 Л;'гко вищ"что сформулироваi;НО;' правило сраВiif~НИЯ ш'щестш [;ных чи;е.,i в щ.>имеш'нии кса,;;ому резуш,тату.ное в ,носкем fi;;циональным числ;;м ПРИ1ЮДИТ к том,). н" с. 38.В само.;; д,'ле, достато1i1Oрассмотр, П, ЛИЩh СЛУ'1ай дву"J-tblХ раЦИОНi1 сьных чи.е .. iирацuоJ-tалъJ-tЪf,Х 'tuсел, и ПУСТh а=Пусть ().(}.о, а 1(}.2Пред,ю южим, что р1с iлональному чи.Т',ЧКi1 1111,раЦИОНi1 сьном, числ, Ь лежит правее ТОЧi;J-tеоmрuцаmелъ>Ь "1Г .. сасно npu.B,' 'у С['"В''' J-t;;Я... (}.n ... ; Ь = Ь;;, Ь Ь 2 . . . Ь n ...().СООТ1,еТСТ1'У"Т Н1С число ;i1Й П'И111 •. Тогда }ССНО, что ТОЧКi1ТОЧКi1М2 .
В,/ест,' с те'/ из п.2вытекает, что целое "{ис-1ло (}.оа1 ... ak(b Ob 1 ... bk) ПОi;азывает Сi;ОШ,i;О раз 10 k ',аст'ОТР,'ЗКi1 ОЕже'по и правило сраВН('i1ИЯ ра !;1Онаш,ных чис,'л. Уi;азаi1-КЛi1ДЫВi1ется в отре,К!' ОМ 1(0111,)··/асщтабного1'ЫКИНУТЫМ "ра1'ЫМ концом. Поскольку отрезок ОМ 1 больше отрезка (!1112 то найдется такой но'/ер k. 'по а;;().
... (}.k-1 = Ь О Ь 1 ••• bk-1, а а;;(). ... (}.kЬ;;Ь 1 ••• bk но это иознача, 'Т, чтоЬ сог,асJ-tо npu.B" 'у Cpu.BJ-t/J-t;;я в/щеСfff.В/J-tJ-tых>fZfЩEf ..ТВEffЮУбi ffiМСЯ. что пр; ви.ю Ср;шНi' ffЯ в!лир(ш; нн ,fM[в, 'ЙСТfiOМ 1'.чиселl1менНi> дока:tКiМ,. ЧТii еслиЩiСТВi Ш ые числа и(J, >Ь '/),TP;iH:~ fТИ ШОСТi' :~H; ка >1),IX Чfii ел об.для рационаЛf,НЫХfffeCTfieHHЬ и Спр' ,ишольные в!>(J,с>Cfi' 'йсf BiiДля до <;i:~;i fеЛf,Сf Вi! )ТОГii Cfi' 'йсf Вi!раССМiiТРИМ три в' 'iМiШСНЫХ случая.1.
Пусть снача. [а С ;? О. Тогда Иi правила сравнеНЮl вещественных чисел очевидно. что Ь> О и CL > П. Пусть CL =а" а1а2 ... CL i ; .... ЬЬ" Ь 1 Ь 2 ... Ь N • • • • ССо, С1С2 ...••• СП ••• Обозначим через k наимеНЫffИЙ и:~ номеровдля которых нар; шается равенство (Ь NЬ N (т. е. предположим. чтоаоb(i, ЩЬ 1 .
.. , CLkbk CLk > bk ) а через р наименьший из номеров n для KOTOPf,iнарушается pafieHCTfiO Ь N ==(т. е. предположим. что Ь О = СО Ь 1 = С1'n...Ьр - 1 = Ср -1 Ьр > Ср).Тогда, еСfИ ОГЮЗffа'(И'f {. через тn наименьший fiЗЮi.fеРОfi kи р. то будут справедливы соотношеНИ}l а" = C(i,.
а1 = С1 . . . ,... а т -1 = { т -1,. (Ь т > С т , а это и означает, ,(то CL><Пусть С2.ливо приОCL ;? О. Тогда равенство CLС будет справед>ii'{ЮМ Ь.Остается рассмотреть случай. когда все три ЧИСfа (Ь, Ь и С3.отрицателы-tы. Так как CL > Ь>Ь >,тоЬ11>1 CL 1и1с1>Ь 1.
Но тогда, в силу уже рассмотренного выше Сfучая трехffOложитеЛЫfЫ'(исе.1с 11 CL 1, а этоозначает. ,(то CLСвойство транзитивности знака> полностью доказано.4. Приближение вещественного числа рациональнымиИСЛiiМИственное числоВ этом пункте мы покаж:ем. что всш{ое вещеMO:tKHOпри{шизить сii'{ЮЙ степенью точностираiiИона.fЬНЫМИ числаМfi. Рассмотрим ffРОfiЗВО [,ное вещеСТfiенное число а.
Ради определенности будем считать это ЧИСfOнеОТРИi щтельным и представим его в виде {iеСi<онечной десятич-ной дроби CLОбрываячим рациона.1Wао. а1а2 ... (Ь N •••i<аЗafШYi" дро{)ь на 'п-м знаке ffOсле ЗaIrятоЙ. fЮП\fЬHoe число ао, а1а2 ... {Ь N •ве. iИЧИВ это число наполучим другое рациональное число а"правиласравнеНИ}lчто для любого номеравещественныхnа1 а2...
CL i ;чисеЛfегко+ _1_.ОПустановить,справедливы неравенстваао, CL а2 ... (Ь N ~ CL ~ ао, а! а2 ... (Ь N1+ w'HepafieHcTfia (2.5) ОЗffа'(ают,. ,(то веществе1-t1-tое ,{шлоCL .ИfiЛ'Ю'Че1-tо MeJfCJy дву.мл рацIL01-tалъ1-tыlмии 'Числа.ми, ршmостъ .М; JfCJy1'J);оторыlмии равна - . При это.М ?Ш.Мi р n .MOJfC1-tО в.·!лтъ Л'юбml.1) СiюiiСТi О Т( 'iШ3ИТИВНОСТИ 3Нiiюt=с слеi уетчисел.'по а=с, сразу Вi,ттеiiаеiТi'еРЖДiiющее, ЧТО изиз правила сраВiiения ве= Ь и ЬHeCTBeiiHblXffCE.'fПо <ffже\f,рационаЛf,Нff'для любf 'Г, fВfДЛИВff HepaBeНfTBff1-<Еlllr1ЧИСfЛ.не- - ;?10 nВ Сс М' 'м ДfЛf'прев, 'fХОД,l ffИХканечнага числа намеравилиЕ. ДЛЯ всех1n:tKeчислатого nОЛОJfCителъ1-tогоffсла (ЬО,1i)ffТf'Лf,Нf1Поэтому ли [fЬ дляn10 n1~ Есправедливатребавалась дm.азюъ.(LСf8ДУНlще\fi уmвеРJfCде1-tию:и для любого наnергд взя-рачио1-tаю,1-tогочисла'Числа 0:1 и 0:2 таnие.
что 0:1(Ll(L .•. ,(LЗ •••'!·.fe\·a n,KflKOBO бы ни БЫШfHflTYастальных намеравдля любого веществе1-t1-tого 'Числа0:2 Е.Неравенстваюсправедлива неравенстваHepaBeffcTBa 10 n. '!ТаТаким, мы прихаДffрачио1-tаю,1-tъtiпо. юО, най lет(я ЛИfffЬ конечн, ,е чисшfрациональное чисшf Еральныхiiзяrrl,()?1''PfiffTOPOrO',"fИf "fЯЧfff Лff1-tаUi/утся(LiiBa~ 0:2. nрИЧf.Мпазво f,lЮТ утверждать. что. рацианальнае(Ьn ffРИ{Шlfжает вещеСТllеннае числас тач-(L1насты" да -n. На ппакт:vн.е всегд· а имеют д. е.Ю с пf ,и{шиженным'10...значеНflе\f llеществешюга ЧlfСfа, замеflЯЯ его. ра!lаш,ны'lИС-лам с требуемай степенью тачнасти.5. Множества вещественных чисел, ограниченныеCllPP"Y или lИЗУ.
В эта м пункте мы рассматрим праизвальнае мнаж:ества ве нественных чисе. , садерж:ащее хаПl бы аднаlfСЮ 1 . Эта \шажеСТlЮ мыдем абазна'lЮf СИМlюлам {1;}.Отдельные числа. вхадящие в састав мнажества, будем на:~ЫBaTЬэле.ft;tfюnа.МИ этага мнажестваОnределенuе 1. AI1-tоJfCесmво веществе1-t1-tъt:r; 'Чисел {х.} на.·lъtвается о га 1-t и ч е 1-t 1-t Ъ! .ft;tв е 1; у (с 1-t Иу). еслиСУЩfствУfт таnог beffieCmbe1-t1-tОf 'Число l'vl ('Число, что naJfCilъtu элеме1-tт х M1-tОJfCеСmва {х} удовлетво{ яет неравенству1; ~(1;rn).этам числа М (ч lСЮ тn) называется ве{ 1;неи 1-tИJfC1-tеu) гра1-tЬЮ мнажества {:r;}.Канечна.fюбае аграниченнае сверху мнажества {:r;} имеетбескане'ша \шаfа Bep1:Нf'раней.са\ЮМfе.
еСJШ вещеСТllеннае числа l'vl - веРХНШl грань мнаж:ества х, та любае вещеcTlleHHae lfСЮ l'vl*, бо f,шее lfCfa l'vl, так 'fie Яlшяется веР1:нейгранью мнажества {:r;}. Ана.югичнае :~амечание малсна сде.fать ватнашении нилених граней аграниченнага СНИЗl мнажества {1;}.1) Такое 'iHOAieCTBO обf.тчно называfОТ н,еnусmЪfJvt.) ОтмеТИ'i ЧТО ПОfштие 'iHOAieCTBa и его эле,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
