В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . . . .. n-l .n,т]\IbТ ШiДИ ,что дл}i lfЫЧТТСlения lРf;ИШОДНЫХ Фунда\iента;lЬНУЮ роль играст понятие Прf·ff·ла ФУНК;;JIИ. Уточнение этого поH}iTH}i 13 перв\ ю f;'iередь с f}iзано с необходимостью БО;lее детаного выяснения с;\мого по lЯтия функ ;ли, переме lНОЙ величиныи В' шсствс llЮГО числа.[[СС[iЮ<;НИi[дi/'''<в"ы iислеiнов/ieияiipОИ>/[ТИ'i/ Сi/И/<в шросы<5аЙ\ii\[СЯВi/iЧИ/[/НИ/<<про/[водной/ируя :г и беря прои [вольноеiИИ:г, ш тучимЮIlХ= :2 L:Ш,I -)"\2а111 - .2~) sin(6x/2)2(::::'х/2)'~Y = cos хuXТаким обра:~ом, для вычисления прои:~водной функ ши у= sil1 Хв т )чке х нужно найти след'[/'щий предел:·11т6у-<..:,х---+о::::'х= l'1т [cos..:,Х---+Ох+ -::::'Х)Sin(6x/2] .2(1.1)(::::'х/2)Естественно ожидать, что при фиксированном хcos (х+ хшако не всякая функция у =х1im f..:,Х---+ОJ( х)- cos х.( .2 jобла щет свойством~) = f(x) .ФаКi И'iеСi/И Э'i о СВОЙС'i iЮ ОЗiiачает, что [/огда а! гуме;фУiiКЦИстремится к числу х, то соответствующее значениеiТОЙ функци стре\к числ' f(x)< ФУiiКЦИобладающие таким СiЮЙством, наiываются неnреР'Ы6н'ы,м,и в точке х).
Понятие неnреявляется одним из важнеЙi !ИХ математиче-pblGifOCm'uскиПОiiЯТИДля вычисления предела1.1), кроме пре< iела (1.2)нужновычислить еще пределsin( -'r х /21(6 ;1))( .3 jЭтот предел играет важную роль в математическом анализе.Ег() часто называют nС'рО'Ы", замс"члm[ ЛЪ1tt,/МДоказывается, ЧТОiТОТ предел равен едини [е, и по)тому предел1.1)pariei cos х.Итак,Ух(sil1 х)' = сон .в Ka'ieCTBe второго iipимера iiЬПИСЛИМ ПjЮИЗiЮДiiУЮ фУiiКЦИ= log a х. Фиксируя х > О и беря произвольное Д. х (такое, что+ д.х,ПОЛ' iИ\Д. У=Iog a+ Д. х-log aх=Iog a(+ хх"Т!о fснща1:[;для вычисления прои:во !Ной функ fИи Уl·,).КИМ= iog a[У;'КНО н, йти~ul ',Пl -1(1+-.10:';L.a6х---+О ~x)тот--~) lx] .ХРасс\ютри\ предел при х ---+ О fibIpa;'Kef ия, стоя негоных скобках.
Он сводится к пределутаf<же иг!)ает ва;,кн"лизе.-fелквадратроль в математическом affa~часто называют 6'J!'OpN.M, 3/i.м,е'ЧЛ'J!'еЛЫiъtМ nредело.м..Дока ъrвается, что . ;тот пре. fел существует. След.уя Эйлеру 1),число,юе это\' пределу, обозна',ают буквой е 2, . е.1im [(1!;---+ОfibI' ,ислеfв формулеСОfласноию ffредела1.5е.(служит величина(1.4)к е при д.х(1.5)l/h]+стремящаяся,О. Если логарифмическая ФУНКffИЯfепрерьш, а, TOloga[(i +---.::.) ~x стре\ШТС>f кiog a еО.
Iаким образом, для нахождения пре.fела (1Юfiать непреРf,!ВНОСТ"fеСf<ОЙ ФУffКЦИвать предел(1.5).нужно обос~и испо.ш,зо~Предполагая, что это сделано, мы получим,f)afief -1.!ogaчто пределД. х ---+е.Итак.;т;,1(log a х) = - 10g a е.хЗдесь мы не бу [ем вычислять производных fрУГИХ простейшихэле\!ентаРffЫХ ФУffКЦИЙ:= cos х, у - tg х, У - ctg х, У -= arcsil1x, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х. у = аХ и у = ха,где а-люб,!еfИСЛО.
ПриfibI'ислеfпр' !изв,щНf,'Э'f их ФУf [к-;ИЙ не во:~никает никаких новых тру !НостеЙ. кроме YKa:~aHHЫX1) Леонард Эйлер707- 783) - великий математик, член ПетербургскойАК;11\i:МИИ Н)1';К, большую ч 1ПЪ }кизни прове.;России, по происхождениюшвеЙцат,е,;.2) В § 16 гл. 8 БУ1\ет ука;ан способ вычисления числа е с любой степеньюточности. Та'" ;;;е нрипед' п Рi:ЗУЛhТ)1"f\Ы';ИС;;'ПИ'" ЧИСЛ)1 е на Э.f' ;;трощю~вычислительной машине с точносты;,10 590,~HaKOB после ,~апятоЙ.Вf,fПТ'<"'<нни.fТОС rейтпихдляЭ.m "'нт, liffbТX ФУffЮЛИ!fЬш"",мечательных пре fелаПрИ!,едемфунк шй[У fТОИ 'fЮД [ых fтостейптих эш "'нт, liffbТX(:1/")' = a:гa~ЛЮ()Оi число20.
(loga х)' = 1 loga е. в частности, если а = , то (loge .г)'=-.l'ххв частности, если а = е. те! (е Х )' = е Х •30.= аХ 10;';e а,4 о. (sin х уcos х.( cos х)' = - Hil1i . {' _16 0. ftgX}--2-'-СОБ1_70. "t.. gX i\' -___.,'SШ~ Х80. (arcsil1x)' = ~.9. (arccosx)'10 0.(агс= -~.1 - X~t·1g х}{' -_ --<-<2'110. (arcc1gx)'+,=--1-2'+хВf,fчислеНИif производш"ИРОfiОГО fiласса фУffКЦИЙслед.ует присое< шнить к указанной выше таблице производных3.nра6!IЛО д!Iффереi!.'Цu.рО6аi!.'UЯ СЛОЖ1lO'U фУ1l'К'Ц'U!I, а таfiже nра6!Iладuффере'tt'ЦUРО6mшя i ум.лiыl. РfiЗНОСП 'И. nРОUЗ6еденuя u 'Ч.астногофУ1l'К'Ц'UU.
СФОРil'ди l'фереfЩfiРО ,ан iif СЛОЖfЮЙФУНКiШИ У = ЛХ), гre х =y(t).Для 1lахождеi!.'UЯ nРО!IЗ60дi!.ОUСЛОЖjiОU фУ1l'К'Ц'UU У = J[y(t)] по пргументпу t 6 д:mноЛ П'о'Ч.!,е t (ледуепt,: 1) 6ыlч.uс--лить np0'U360a1l'if1O у' (t)= у( t) 6 то'Ч.'Ке t;6ы'Ч.!IСЛШnЬ nРО!IЗ60дЩj1О Гу = .f(x) 6 mл 'Ч.'Кi , х. гдс:г = y(t)· 3) nер,'.лiно.жuт'lJ У!дп! mныle nроuз60дны •. Iаким образом. производная СЛОЖfЮЙ= .t[y(t)] \южет бытьнайдена по формуле y'(t) = .f'(x)y'(t). Сле<fующие рассуждения)iаЗЪЯСНifЮТ СfIЮ)i\'УШiРОВafшое iiравило. Придадим a)irYMefв точке t произвольное приращениеt О.
Этому прираще~tию соответсл,ует ЩНiращеf ие L::l х =Х = y(t). Полученному приращениющеfше L::l.f(x L::lx) - /(х+)пуская случайх=0<i-+ L::l t)у( t) фУf fКЦИх соответствует прира.f(x) ТО' fie х.рассмотрим отношениеу!::,.!::,.у!::,.х"Т!1iш ~.6.(,---+0и:т;ffеf)ВОГО из Э'f их пр;щ ЛОВ ясно, Ч'f;) при ~1i~ ~ (ущ;ствует и Р;Ш;Н!\!---+f!Пр Ш{Щ'тj'(:T)<p'(I.)1tу(,)У!=j'(),(,):Г<р!'!ТШРf, ffрешила Дffфф; р; НЦИРОВ;!ffИЯllOСПi.
ПРОН,ШlденияЧ<1СПlOГОимеют ПРОИЗfЮДffые):[u.(x) ±\fbТ, ра,-(в предположении, что± vY(x),(х)х, ТОii(x)v'(x)+ и'и/(х)u(х)(х ),и(х)u/(х);2({)Покажем, например, как можно вывести вторую из . утих формул. Придадиарг\{еffТУ х ffРОffЗВОЛf,fюе ffриращеШfе ~ х /::которому соответствует~y=fриращение ~ у функ ши у(х)+~x)v(x+~x)-х+ ~x)[v(x + ~x=и(х)'и(х)-+v(x)[u(x+~x)п(х)]+~x)~v+v(x)~'U.Таким образо\!,~..1. аккакх = и(х+ ~x)существуют пре. fелы6х6+ 'и(х) 6х'~.l'lШ -,-и=,и{',х---+О .т Хии:~существованиячто liш и(х!\х---+Ои (х )t..' (х)+!'~x)=первогои(х), то 1iш.6.х---+Ои:~6. утихх.6011Ш.6.х---+Определовх=ясно.существует и равен(х) и' (х).Рассмотримнесколькопримеровпримененияуказанныхправил.1)IJычислим прои:~водную функции у = си(.г),[е с-некоторая пост\янная.
Леf ко проверить, что производная ш!стоянной равна нулю. Поэтому по формуле шфференцирования про-изведеню! ПОЛ' fИ\\У = си' (х\.2) IJычислим производную функции У =19 х. Так как tgsin х= - - то по формуле шфференцирования частного получимсос' х 'и(SiIl !() СОБ х - с! У Х ( СОБ х) I1( 19cos 2 Хх!) Если шаменательимеющей пре1\ел, стремится к нулю.
ТО ичислитель {той 1\роби стремится к нулю.Вf,fЧИ'ЛИ\"че'f<олеб,)KiieфУffКЦИ'OH(:,;t,rр,г,)р\'р"где А,iЮСТОЯНШ,fеть эту фуню щю как сложную функ шю ви-+У - А (ОНгщд По'ложной функции получимy'(t!где х =wt +(Асон'щliфереfЩi!IOi,'НЮiд)' = -(А\'. Поэто\"'y'(t)=д).-Awsin(wt!§ычислим прои:~водную функции у = aarctg .рас-сматривать эту функцию как сложн'функцию вида= аХ,где хarctg t. По правилу шфференцирования сложной функ=циiЮЛ'где х =iИ\"y'(t) = (a X )'(arc1gt)'arctg t.
Поэтому( а aгctg t), =(a'loge a )=аarctgt1"'rrg'еаС+Т 2 )'•t2Сформулированные выше fравила щфференцирования и таблица производных представлянп собой основной аппарат той частиматематического анаЛИiа которую обычно наiывают ()uфф,рен'Ц'uаЛЪi{Ы'r'!!,С'ч,'uслеj{,'uен. Таf<И\" образо\!, ОДfЮЙ из fiюrКffЫХ заfач дифферешщального исчисления является обоснование всехtlюРМУЛ таб.iiЩЫ производш"правилЩiiРОfiаНИfiсуммы, разности, произведения, частного и сложной функции.4, ВЫfiСff,fел iiJЮИЗfЮДfЮЙ.
С этойцелы, r расс\ютрю.у =х1) (рис. 1.!устьточка NI на графике функции соответствует фиксированномуЗffачеf ию aprr\,effTa х, а ,ritчка Р - зна'iеfШf rr хL:::,. х, где L:::,. х некоторое приращение аргумента. Прямую NI! бу [ем называтьСС'Х'i!jЩСU. Обозначим через tp(L:::,. х . геш, юлорый itбразует этасекущая с осью Ох (очеви, !.нО, что 'iTOT угол . ,ависит отх).КасателЪi!ОU Х' графu.Х'у фУ1lХ''Ц'U!!(х 6 то'ЧХ'ебуде ,r,'}-ш3ыl!J'п'ъъ nредеЛЪ'l-tое nОЛО.женuе С; !rущеunри с?лр,'.Л1,ленuuто'ЧХ"u Р Х' то'ЧХ'е М по графuХ''!/'Что то же самое. пр!!L:::,. х ---+ О). Из рис.
1.2 ясно, что+х)IaK Kaf<при L:::,. хPNJ.lvfNсек.' iiiаяЛХух)- лх!~NIPпереходит в касате, iЬH'х) =1)+~Те!tgtpo,ГрафЮiОМ ФУТТКiiИИ у = f( Х) ттаЗЫП:НiТ;','Г, ;;r,r(i"'РИЧССЮ:"точ,'"плоскости, ,i1.ЛЯ каЖ,i1.0Й и: которых ОР1\ината есть :~начение у :той функции,;;;;;ТПСТ; тю,'ЮЩСС :1[>СЦИССС Х.ве,' СТА!угол, [<отор ,fЙгойк, 'С1тельн,.ШОСf,Юдpy~CfOP )ffbТ,liш6х--+О19 ',0(6...1................................ю,оси' .......... ' .............................1........... ' .............1....=Г (.г)6хОТ, [те!tg'PoУГЛ)jЩШ\ ))йН<13ЫВd.ЮТ 7/2ЛО6Ы,Л1 ttооффu'Цuсн.mО,МJТUЙ прям()й.
Id.КИМобразом. nроuзвод'Н!iЛmслЪi ои 1i: графU1i:!!f'(x)ра.в'Н!! углово.Л1,У t,о)ффu'Цuе'Нmу r,;a.C!I~f(x) в mO"l1i:C М.у!(х+дх);[у=Лх+дх)-Лх)лх):7F=:.9N<роо<р(дх)хРис.§ 3.х+дхх1.Задача о восстановлении закона движения поекоросткксвгwзattнаяней м\)'С'ематическаяпроблеii\атикаiассмотрим сле fУЮЩУЮ фи:~ическую за. fачу. ПустьfЛЯлюбого \юмеffта вре\iени х задar а МГfЮfiеf [а\! скоростьшижущейся по оси Оу материальной точки и известно положе~ние уа этой точки в начальный момент времени х = :го. Требу~8'! сяайти заКОfдвижеНИ\f этои то' «и.fПоскольку l\!H новенная скорость(х) является прои шо.
!нойУ - р(х) опредеш(ющей зако(ия \iатериаль~ной точки по оси Оу. то задача сводится к разысканию по данной(щии {(х та«ой(щии р(х), ffjюиз(юД!(а\( р' хравна f(x).Отвлекаясь от кою<реТНОГ'i физичеСЮiГО смысла tl,iНКЦИЙи р(х), мы придем к математическим понятиям nервоо jр!iЗ~!!Ои1lеоnределе1l!fого 'u! {mеграла. Первообраз! <ои фУ1l1i:'ЦU\! Г (хf(:T)'но,зыl!iеп;;ра.в'Нп f (х) .ОчеВИДШimожа.л <l!у'Нr,;'Цuл l"(Х), nроuзвод'Н!iЛ р'(х) r,;on ороичт'i если функция р(хявляется первообразнойгде С - любая посто~хибо про~янная, та«же Я(iляеТС\t ffерtюобразtюй фуt tкцифункции ЛХ), то и функция р(:г)+изводная постоянной С равна нулю).оскно"'[ibI'[ш<а:~е' [Ъ, 'Л ,) ДВ'Оюйтой(I"ш<ции .f(:T)Не' iЮСТОЯНН"KiiM ')БIН:~()\i,если фунющя F(:T) является 'ЩН'iЙ и' перв ю(jрашых функЦИ.f (:Г),JI,'!обая nеи ;!)обра8if(],Я ф' [кцивидF(,T) с, ГД( СШii тоянная.НС"· ruрн(юб/ю,8'НЫ Т о )'НоЛ и1lазываеmся нГ'оnреаСЛС?l.1lЪJМ U?Jm, грало ',1"OH(H;yrl,H'!JCm,j,'Ци7) fи обо,!'Начасmся символо,м,.fСле ювательно.
если 1 (х)ЦИ .f(x), тоJ.J .fdx,одна из первообразных функ-х iJX =+ С.F(xВерне\iСЯ к ре[ [е[ ию поставленной в[лпе фИЗiiческой задачи. Интересующий нас закон движения точки, имеющей мгновенную скоростьF(x -гдеопределяется функцией у =.f(x), iTOУа = 1 (ха)первообразная фу[[кциF(:T)-+ С,[екоторая постоянная. Для определения постоянной С воспользуем-[eKOTOpajiна'iальш,'\юме[откуда С = Уа -F(xa).сующ iЙ нас зако[движе[ШjiУ =(х), а С[;реме[х-Ха,т.е.Iаким образом, интере-"еет видУа -F(x)F(xa).Рассмотрим нек fТopыe (Iшзические и математические примеры.1) Пусть м; новенная скорость материальной точки, движущейся по оси Оу, имеет вид .f (х) = сон .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
