В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (PDF) (1108896), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При этом cOBepfffeHHo не заБОТ<lТСЯ о том. с какойстороны (по f8доста'П'повзятые рациональныечис.fа приб.ш:tкают данные вещественные чис.fа а и Ь. Фактически ука;анныП практическиП способ с.юж:еНЮl вещественныхffсел ffредполагает. чтото'шее раUfюнаШ,1 ыеffCJIa/3приб.шж:ают (с любой стороны) вещественные чис.fа а и Ь соoTBeTcTf,eHHo .темТОЧffеесумма СУ+ПРИ{i.Шfжаеfтоf,ещественное ЧИGТIO, которое доллсно являться суммой вещественныхffсел аЬ.)Келание оправдать указанный практический способ с.юж:ениявещественныхчисе.естественно,приводитнаскс. [еДУН1-щему определению суммы двух вещественных чисел.ПУСТf,СУ2 -l<Ю<ffегодно раllfюнаШ,1 ые числа.
\fеждукоторыми ;аключено вещественное число а (т. е. СУ1 ~ аа/31l<Ю<ffeУ'одно раlfаш,ные числа. меми заКfючено вещественное число Ь (т. е.с\\юй вещеСТf,енныхffce.аЬы/31~ Ь ~СУ2)которы-.ТогдаfаЗОf,е\1 такое вещеСТf,ен-Нf\'Чf!'Ю:ГОО!!""лт!!рое+ (3!fiлючеш'\iеждуИными словами. С,м о йпациона.
ънымине. 'j,eC!JJfie'l-l?!"?Ш,30Ы~·i·! jjJ.(J,'f(;,!e i!i'щесrni!! 'jf.'!-юе?!Л/f.'Ь'l-lЫ! 'ч'/},С!вс<ми+ (32! )002ОО. 00',~"l!i,cei!(32, уд, !i!ЛiТn'НОРЯ!. !7Ч!"(J,(J,'/),ь .i7Ы!!'щn,ор,!е !!ля любы:г РОV;ШJ~ !!2.~'I-l; P(J,he'l-lспu О,М~(29)Уi}овлеmворяеm !ледуlО'ЩUМ 'I-lej·aee'l-l! mвам:++10)СУ"iествование такого Be"iecTBeHHoro числа ::с, и притом толькоодного, не вызывает сомнений, (Соответствyr'iщее доказательство ПРИВОДИТСil ниже.) Нетрудно убедиться в том, что такимf!CJIO\! 1; является то'шая f!ерхняяраш, \шожеСТf!а {оо!(3!}сумм всех рациона.ЪНЫХ чисе. 001 и (31 УДОВ.iеТВОРЯЮЩИХiевы[еравенс! вю! (2,9) 2),+1о, Пр;'ждр !ice;o !,едимсятом, что ука;анна" верхняя i!i;ШЬщеCaMOi! i!еле, фиксируе i ! произвот.ные ра'i!юнат.ные числа (12и ,82, удов." творяющие Щ ,;!БЫМ нера;iРШТ;iам (2.9), и рассмотрим ;iC' ;юзсгвует. В'/ож",,!е рационат,ныест;!!м(2.9),Из; войств!!'!i!сла (1,;1у,ювлеТВОРЯ/iiiii!е левым неравен>,траНiИТИ;iН;' ТИiнак!!"РИХОДИМ К ;iЫ;ЮДУ, что (11< (12<3 § 1,УСТ;ШО;iленного,а из этихHepa;ieHcT;iследует, что~ (1, +!2 (с/, конец п,1), Та !им образо'/ м!южество всех рациона..
!ЬНЫХ чисел {(11 + ,8 1 } u2Pu.H!· "'но св/рху и число i 2 + ,8, ю,л"ется однuйиз вер/них !']юне!! этого '/но!/!ества. По !еоре!/е 2. j у '/но!/!ества {(11 + 31}(11 +С; ществует точн"!верхняя! !i;ШЬ Ю!ТЩ" Ю мы. "!'пначимчерез;[, OiTaeTi'убеi! !ТhСЯ в то'/ что числоявляетсявеществе"ных чисел а и Ь,т, е, дш,лет;юр"ет нера;,ешт; ам (2.10),'!!МОМ де .. i Р по О"Рi'де .. iению точНОЙ ;,ерхней грани .
с"ра;,еДЛIШО ле;юе нера;,енст;ю (2.10), а спра;'еi!ЛИ;ЮСТЬ"ра; 0;0 не! ,;",енст;,;! (2,10) вытекает из ТО;О, что (1,,8, - одна из верх;;,ихграней, а ;[ -muчная верхняя 2Pu.H'b множеi.Т;iа {(11 + ,8 1 }.20. Установим теперh, что существует тОЛЬJ{;О одно веществеН!юе чист; х,Д;!Б ..
iетворяющее нера;iеШТ;iам (2,10). Будем О"Щ ,!!ТЬСЯ на след' ющую лем,/у !i!ЛЯ у,юбства до!!аза!еЛhСТВО этой ле,/мы Оiнесе!ю в !!о"е!!н!!! тоящего Пi нкта)!+Лемма. Если ;!Л'" дву' "аннъ!' ие ·и.ест ,енны! чисели Х2 ибого Hu.nepea взятого nоло:ж;ите ·'.ного раи,ио;;,а ·'.ного s "айдуmся двалю-анальных числа ~!<sточисла Х1и Х2и {2 maJ{;Ux что {1 ~~ ~f2, {1 ~~и {2 -~!ра;!нъ!,Пред!]!! южим, что С; ществуют дв!! вещ' ственных числ!!леТВОРЯЮЩi!Х неравенствам,81И,82,удоi(при тоб!,i"iетворяющих нера;iеШТ;iамное ра!!лональное число1)(2,10)Заметим, что;[1И Х2,числах(1дш i (12,лю[;';е!i ;.южите.iЬ-'огласно ут;iерждению, доказанномуп,4 § 1,элемрнтарном К; рс р с; мм!! Д;iУХ веЩi'ственных ЧИi.е.iО!iределялась аналогичным образом (см.
А. П. Киселев, Ал!ебра П, Учпед!из,1959,с,9),2) Ан!! ю!ичн; можно [iыт; бы бi'ДИТЫ'ТОМ что т!!ким числом ЮiЛ"-ется !о i!!ая "и!/!няя гран]', '/но!/!ества+ } СУ'/М все', рац юнат,ныхЧИСi'Л (12 и ,82ДШiлеТiЮР"ЮЩИХ !iраiiЫМ нераiiеШТiiам (2,9).ffCE'для вещр·· гвею юго. fисларационал .ные числа с1а и для раЦИОffалы юго числаи С12. что С11 ::;; а::;; С12 пр",.:ИЧН() д.Ш вещ.:'ственн()г() чи'гаf.:ие ращюнаш.ные числарац юнал .ными/32.
·по !1 ::;; Ь ::;;,r1 и/31+ )ичисламиfю) f),:шнаТакЕ: -K':fK=< 10/2.,а,пр" ,е'·;/32 -Ан ало-Haiin.: тся< 10/2Х2 б.: Д' т заключены м' ж(С12+раЗfЮСТhfюбое на':fер.:'д f,зят()е ,,',:южите .. fьн()е раЦИОН':f ,ьн.:е числ() , тоХ2 В силу СФОРf;улироваююй в .fше леf;МЫ.30. 'УСТ':ШOI'ИМ H':fKOHeff чт()':fрименении К двумСФОРf;улироваююе наf;И определеffие сум';'н()енаЙ;rУТГЯ та.: иеС12 -С1,а Ь и Д.ш раЦИОН':f ,ьн()г() чи'Т':fКИМ ,.:iiразом, оба .:р'щеfТ.:р нных ЧИfладу дву'.
Я...rпэлем,:'нтарнOIО'/ "Чf "н 'ЛЬНЫ.' !. ЧИСЛ':fМвешестве ,ных чисел и извест..р.:щи'шальных чиселnрг"о" ,'т 1;; о.:mом!/ и томурезулътату. В самом деле если а и Ь ""ffл()нальных ЧИСЛ':f. ДOI,леТfЮ! '3fЮЩИХ не! ..:",eHcTf'':fM С11::;;, 2,К.: рса OIfреде fРНи.:' С.: ммыдваj31а (а + Ь) - ~ . cYMf;a, получен fая по извеСТНОf;У из элемеfпарного::;; ь::;;курса определе fИЮ, то очевидно,·по(2.11).f':O что ДОf.:аза fHOf;y утвеРА!. е fИЮ, рационаш.ное3f еДИНСТf,енным f,ещеСТf,енным чи' ЮМ, уд()в.fРТfР':РЯЮШИМHepaf,eHcTf,aM (2.11).40.ДОf.:азываТh СФОРf;улироваЮfУЮ выше леМf;}' устаfЮВИ';пр" ,е'..согласно толл() (а+Ь) 'Ш.шет,след.: ющ.:'е ВfПОМ()Г':fТельное утверждение.<Ка1;;овъ! бы ни были д!.:а "е ''',ест ,енных 'tисла а и Ь та1;;ие.
"{то Ьа.найдется m"I~f·"Нu.ЛЬн"· "{uс.:о··,·''teHHoe . ··:нсду "и,.,,,.ие. та1;;ое<<"{то Ьс1а (а следователъно, на '!дется и беС1;;оне'tное MHOi'· ест!.:о разли i.НЧХ paf~uoHa ".нчх ·i.исел, за1;;!ЮЧ' нных .ч.е:нсдуЬ).ОчешI.:!НО, достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь неотри''''Р,;.'''.'О'.. ибоC.f' чаii. ко' Д':! и Ь оба неnоло:нси uе ··.НЫ, св()дится к казанfЮМУ случаff' посредство'; пере·'о.:.:а к модулям, а случай, ,.:огда одно 'tислоnоло:ж;ителъно, а др /гое отриf~ателъно, тривиален (в f.:ачестве с1 МОА':НОi'ЗЯТЬ Н' ,ь).... а n ... : Ь =Ь 1 Ь 2 ... Ь n ...n, дл3f кот()рых наруш fется р:шенств()а n = Ь n т.
е. аг = Ь о , а1 = Ь 1 ... ak-1 = bk-1 akbk.силу ДО:OIюренн::сти, ПРИН3fтоiiп. 3 § 1, м :жн:: считать, чт() все о..при nk не мо' !/т бъ!тъ равны н!/лю. ПУСТh Р - наименъши!! из fюмеровn прев()' ХОД3fЩИХ ,Д.ш кот()рых О.. > О, т. е.Итак, ПУСТh Ь~O; Ь<а; аП, 'тьk -= а,а1 а2Н:fИменьшиii rп номерOI'арТогда из правила сравнеffИЯ веществеюр'что р:щи()нальное чи' Ю а = "', а1 ...iЮР3fетHepai,eHCTi,aMЬ< с1найдут'3f ni,a< Х2.[уст]', теперh{1{2 -о (ар -1) 999 ...уд()" ,ет-,еммы, пред:ю южим. чт(),r1 '" Х2. ПустьТог.::а в силу ВСПОf.югател .ного утверждения""ffЛ шальных чи'Х1Hepai,eRi·.Ti,aMчисел непосредствеffНО Вf.пеf.:аеf00 ...а.
Вспомогательное утверждение доказано.ОГiраш f}fСЬ к док:rз:rтеЛЬСТi"ра.::" опре.::елен юсти...,а С11 и С12 таких, чт()<ка .:ие }ТО.::(2.1:7)10 рагюнаШ.ные числа. У, овлетворя" ,,,ие!2сопопаВЛ f "ия< 001ЛУЧИМ> по> 002 ~OO1, что пр пив !р)'чит Т !М),fЛ {"войства траfПИ ИВfЮСТ" ',,!а!!а!2,12)< /2,/1 ',соже!а)"2что разнос!!, /2 ~сдела !а ме,,!,ше тобого "аш'ре", взятого,,,!,южите,!ьного рацион!! !ьного чи, !а s ЛеМJ'vI!! доказан!!Uклре/к,рленираскаш,куПРОИЗ!!f'дения;юпрасы, вазю; <а;, 'щ;;еведения; ;ещественю,!рассматреннымичисешпривещественныхаснав! ю С,! савпада;от сапреде,!енииисрл.связ;; с апреде!е! !Иемсуммыпра;;звапраса!'!ве нественныхчисе,ы аграничимся JШШЬ краткай фарму.ш;ра;; <ай рез\!Ьтатав.()пределимсначалапраизведениечисел а и Ь.
Обазначим чере; 0:1тел!,ныерациаНiLт,ныеа ~ 0:2 /310:1Ьчисла,nоло;)fcuтелы-lы1;уда ;лет юря;ощ;;енера;;енст;;ам/32'Праишедением nОЛО;)fCшnел ,'Hъtyназавем вещественнае чисю0:1/31 ~двух0:2, /31 И /32 любые палажи1;"ве нественных чисел а иудавлетварянm~ее неравенствам0:2/32'Тачна таквещест;;еннаекак и ДеТ! суммы, устанавливается. что. такае;;сла х существует,притам то!ы<а адна. Лег;<а:tKe.,убедиться в там, что. таким чисюм!Ш!!lется тачна!l веРХНЯ!lгрань мнаж:ества} праизведений всех ра; ;ианальных чисел0:1 и /31 удавлетваряющих неравенствам О < 0:1 ~ а, 0</31 ~ Ь.Праизведение ве нественных чисел ЛlОi 'ого ,;наnа апреде,ся!Ю с!еду;още!'!!!!рави,1) счИ!~ют, ';та а· О =2)!!leT.а =lсчи!ают., 'па" аЬ= {lal'lb-1 а . Ь, 1есш;Ь ад! юга з!;ю<а,аесли а и Ь разных знакав.В зю<лючение атметим, что.
тачна так же, как и для суммы,мажнадаказать,лам а!!ределениеизэлементарнаганых ';исе,что.вприменениик двумра;;ианальным!!раиз;;едею;я вещест;;енныхкурсапнвадят капреде,!ениеаднамута''!)чис;;селиз;;ест!юепраизведенияра; ;ианаль,!)ерез\!Ьтату.3. Свойства !!ещественных чисел. В этам пую<те мыубедимся в справедливасти ДШl праизво!Ьных вещественных чисел все1; OCHOBHъt1; своиств, !!еречисленныхп. 1 § для рациана,!Ьных чисел.
"праведшвасть Двещественных чисе, свайства 1о уже устанавлена выше. 'I'аким абразам, нуж:на вы!lснитьш;шь вапрас а спра;;еДШlВасти для вещест ;енных ';иселcBai1cT;;20~130.егка убеДИТЬС!l в справедшвасти для вещественных чиселсвайств 2~5и 11, СВilзанных с паЮlтием суммы. Справедливасть свайств 20 ~Cнепасредственна вытекает из апределею;я сумм!,!;;еществею;;сел исвайств дш ра; ;ианальных чисел.;;з спра;;еДШlВасти;<азаюffCE'ШOiОпри дока:~а1елы1Bi'л' ммырацион ,льньu' ЧИСЛi,'1'1исла'шичисла'1кош'" П, чтотакИi,ЮЛОi1iитеШ,НQ)'ОраЦИОТТiiЛЫТi,1еСУ1СМиPi,1 на,().
>С1венного,И0i1а,'jj 1Ю1'Ота11Иfi,чтот'1ислатсм,2,сЕ(32 (см, утверждение, доказанное в п. 4 З 1),Пусть даш,п СУ2 инеравенствам СУ2 ;? а.;?чисел+,2су,;?алюбые l'ашюна'jj·1i'·Н' ',ис Ш, Донш'пюриющш'Тогда по определению суммы вещественных+с;?>>достаточно доказать, что СУ1 +~(1из неравенства ,2 -< СУ1~(1+ Т·++т,Дли доказаlеЛЬСlна того, 'ПО а- (32.+,2,,силу транзитИiШОСТ,З,1акано это неПОCi1едственно вы 1екае 1Заметим, что вопрос о вы'ч/uтnшн/uи вещественных чисел как)iiTHOMщ'йствии,(;е южснию , по'шостью исчсрпывастсяHi,iосновании свойств 20-50. Назове.лi раз н о с тn ъ 10 вещестnвенных 'Чисел а и Ь вещестnвенное 'Число с тna7);oe, 'ЧТnО сЬа.УfЩJl;ИМСЯ в том, что такой разносты, , является чиCiТIО са+ =+Ь', гдс Ь'-Ч.f1СЮ, ffрО'ГИ13 i 'fЮЬ.В самом 1I,еле используя свойствас= (а + Ь')Ь= а + (Ь 1Ь20-50Ь)= +можем записать= а + О = а.Убешмся в том, что существует ТnОЛЪ7);О одно вещественное число,являющеесяраЗНОСТЫiiШУХfанныхПРСДПiiJlОЖИI,), ч'Го К!ществует еще 01l,HOCTOpi'HbI, (11+b)+(Ьве "ественныхчисел.+ука'liiННОГi, Ш"IШС 'IИСШ,i= аЬ' сучисло d такое, что dЬ = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
